高中三角函数复习大全

1 三角函数三角函数 一 一 三角函数的概念 同角诱导公式的简单应用 1 正角 负角 零角 象限角的概念 2 与角终边相同的角的集合 Zkk 2 3 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 r l 4 4 弧长公式弧长公式 5 5 扇形面积公式扇形面积公式 R Rn l 180 lR Rn S 2 1 360 2 6 设是一个任意角 它的终边与单位圆交于点 那么 yxP x y xy tan cos sin 设点为角终边上任意一点 那么 设 00 y xA 2 0 2 0 yxr r y0 sin r x0 cos 0 0 tan x y 7 在四个象限的符号和三角函数线的画法 sin cos tan 8 诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 9 特殊角 0 30 45 60 90 180 270 的三角函数值 6 4 3 sin cos tan 10 同角三角函数的基本关系式 平方关系 sin2 cos2 1 商数关系 tan sin cos 典型例题 例例 1 1 已知角的终边关于轴对称 则与的关系为 y 例例 2 2 以下命题正确的是 A 小于 90 的角是锐角 B A k 180 k Z B k 90 k Z 则 AB C 950 12 是第三象限角 D 终边相同 则 例例 3 3 已知点 P tan cos 在第三象限 则角 的终边在第 象限 2 例例 4 4 已知 2 求下列式子的值 sin 2cos 3sin cos 2 4sin2 3sin cos 5cos2 1 sin cos 例例 5 5 已知 1 求 tanx 的值 5 1 cossin 0 2 xxx 2 求的值 22 3sin2sincoscos 2222 1 tan tan xxxx x x 例例 6 6 已知 f 1 化简 f 2 若 cos 求 f 的值 3 若 求 f 的值 3 2 1 5 31 3 例例 7 7 若 0 证明 sin tan 2 例例 8 8 解不等式组解不等式组 课堂练习 1 已知锐角终边上一点 A 的坐标为 2 cos3 2 sin3 求角的弧度数 2 已知 sin cos 试确定角 所在的象限 2 3 5 2 4 5 3 已知角 的终边过点 P 4m 3m m 0 则 2sin cos A 1 或者 1 B 或者 C 1 或者 D 1 或者 2 5 2 5 2 5 2 5 4 sin cos 且 0 则 sin cos sin cos 1 5 sin3 cos3 5 已知 f 则 f sin cos 2 cos tan 31 3 6 已知是第三象限角 化简 sin1 sin1 sin1 sin1 7 已知 2 求 1 的值 2 的值tan 2 tan 4 6sincos 3sin2cos 8 若集合 则 3 Ax kxkkZ 22Bxx 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 BA 3 12 25 7 5 37 125 1 2 1 7 3 4 三角函数三角函数 二 二 三角变换及求值三角变换及求值 知识梳理 1 两角和与差的三角函数 sincoscossin sin sinsincoscos cos tantan tan 1tantan 2 二倍角公式 cossin22sin 2222 sin211cos2sincos2cos 2 2tan tan2 1tan 3 三角函数式的化简 常用方法 直接应用公式进行降次 消项 切割化弦 异名化同名 异角化同角 三角公式的逆用等 2 化简要求 能求出值的应求出值 使三角函数种数尽量少 使项数尽量少 尽量使分母不含三角函数 尽量使 被开方数不含三角函数 1 降幂公式 2 辅助角公式 2sin 2 1 cossin 2 2cos1 sin2 2 2cos1 cos2 22 sincossinaxbxabx 2222 sincos ba abab 其中 4 三角函数的求值类型有三类 1 给角求值 一般所给出的角都是非特殊角 要观察所给角与特殊角间的关系 利用三角变换消去非特殊角 转 化为求特殊角的三角函数值问题 2 给值求值 给出某些角的三角函数式的值 求另外一些角的三角函数值 解题的关键在于 变角 如 等 把所求角用含已知角的式子表示 求解时要注意角的范围的讨论 2 3 给值求角 实质上转化为 给值求值 问题 由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得 角 典型例题 例例 1 化简 1 sin 3x cos 3x cos 3x sin 3x 4 3 6 4 2 1 sin8 2 2cos82 例例 2 求值 1 tan20 tan40 tan20 tan40 cos15 sin15 cos15 sin15 3 例例 3 已知 sin cos2 求 sin 及 tan 4 7 25 3 例例 4 4 1 已知 0 且 cos sin 求 cos 2 2 1 9 2 2 3 的值 5 2 已知 0 且 tan tan 求 2 的值 1 2 1 7 例例 5 5 2cos2cos 2 1 coscossinsin 2222 化简 例 6 求证 tan 1 sin2 cos2 1 sin2 cos2 例 7 40cos270tan10sin310cos20cot 课堂练习 1 已知 cos x x 求 的值 4 3 5 17 12 7 4 sin2x 2sin2x 1 tanx 2 求证 2cos sin 2 sin sin sin 3 已知 0 Z 0 是 R 上的偶函数 其图象关于点 0 对称 且在区间 0 上是单调函数 求 和 的值 3 4 2 例 9 是正实数 函数 f x 2sin x 在区间 上递增 那么 3 4 第七题图 8 A 0 B 0 2C 00 的解的个数 个 x 2 例 11 已知函数 f x sin 2x cos 2x 2cos2x 1 求 f 的值 2 求 6 3 12 f x 的最大值及相应的值 2 求求函数 f x 在区间 0 上的取值范围 x 2 3 课堂练习 1 为了得到函数sin 2 3 yx 的图像 只需把函数sin 2 6 yx 的图像 A 向左平移 4 个长度单位 B 向右平移 4 个长度单位 C 向左平移 2 个长度单位 D 向右平移 2 个长度单位 2 2 设 0 函数 y sin x 2 的图像向右平移个单位后与原图像重合 则 3 3 4 的最小值是 A B C D 3 2 3 4 3 3 2 3 3 已知函数的部分图象如sin 0 2 yx 题 6 图所示 则 A 1 B 1 6 6 C 2 D 2 6 6 4 4 设函数 则在下列区间中函数不存在零点的是 4sin 21 f xxx f x A B C D 4 2 2 0 0 2 2 4 5 函数 y lgsin 2x 的单调递减区间为 6 A k k k Z B k k k Z 6 3 6 12 C k k k Z D k k k Z 3 5 6 7 12 5 6 6 已知 f x 2cosxsin x sin2x sinxcosx 33 1 求函数的最小正周期 2 求 f x 的最大值与最小值 9 7 已知函数 f x 2sin xcos x 2cos2 x x R 0 相邻两条对称轴之间的距离 等于 求 f 的值 当 x o 时 求函数 f x 的最大值和最小值及相 2 4 2 应的 x 值 三角函数三角函数 四 四 2 3 8 2 2 解斜三角形 知识梳理 解斜三角形的主要依据是 设 ABC 角 A B C 的对边为 a b c 外接圆半径为 R 内切圆半径为 r 面积为 S 则 角的关系 A B C 边的关系 a b c b c a c a b 边角关系 正弦定理 余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA 等 R C c B b A a 2 sinsinsin 三角形的形状 ABC 设 a bc2 ABC 设 a b c 为直角三角形 a2 b2 c2 ABC 设 a b c 为钝角三角形a2 b2 sinA cosB sinB cosA 5 在解三角形时 三角形内角的 2 正弦值一定为正 但该角不一定是锐角 也可能为钝角 或直角 这往往造成有两解 应注意分类讨论 但三角形内角的 余弦为正 该角一定为锐角 且有惟一解 因此 在解三角形中 若有求角问题 应尽量避免求正弦值 常见数据常见数据6262 sin15cos75 sin75cos15 44 tan15cot7523 tan75cot1523 典型例题 例 1 已知 则 是 的 0 0 sinsin A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要 条件 例 2 1 已知 ABC 三边成等差数列 求 B 的范围 2 已知 ABCcba 三边成等比数列 求角 B 的取值cba 范围 10 例 3 在中 求的面积 ABC 30 2 3 2BABAC ABC 例 4 E F 是等腰直角 ABC 斜边 AB 上的三等分点 则 tanECF A 16 27 B 2 3 C 3 3 D 3 4 例 5 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 且 2cos cos ca b C B 求角 B 的大小 若 求 ABC 的面积 4 13 cab 例 6 在 ABC 中 已知 a b c b c a 3bc 且 sinA 2sinBcosC 试确定 ABC 的形 状 例 7 在海岸A处 发现北偏东 45 方向 距离A 1 n mile 的B处有一艘走 3 私船 在A处北偏西 75 的方向 距离A 2 n mile 的C处的缉私船奉命以 10 n 3 mile h 的速度追截走私船 此时 走私船正以 10 n mile h 的速度从B处向北偏东 30 方向逃窜 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船 课堂练习 1 若 的三个内角满足 则 ABCABCsin sin sin5 11 13ABC A 一定是锐角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形 D 可能是锐角三角形 也可能是钝角三角形 2 ABC 中 角 A B 都是锐角 且 cosA sinB 则 ABC 的形状是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 3 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别是 a b c 若 a2 b2 bc sinC 2sinB 33 则 A A B C D 0 30 0 60 0 120 0 150 4 在 ABC 中 a 15 b 10 A 60 则 cosB A B C D 5 在 ABC 中 若 sin A cos B 则 sin C 3 5 5 13 6 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 a b c 成等比数列 且 cosB 1 求 的值 2 设 求 a c 的值 3 4 1 tanA 1 tanC BA BC 3 2 7 如图 A B 是海面上位于东西方向相距 5 3 海 3 里的两个观测点 现位于 A 点北偏东 45 B 点北偏西 60 的 D 处有一货船遇险 在 B 点南偏西 60 且与 B 点相距 20 海里的 C 点的救援船立即前往营救 其航行速度为 30 海 3 11 里 小时 该救援船达到 D 点需要多长时间 17 本小题满分12分 如图 在 ABC中 ABC 90 AB BC 1 P为 ABC内一点 3 BPC 90 1 若 PB 求 PA 1 2 2 若 APB 150 求 tan PBA 平面向量平面向量 63 65 知识梳理 1 1 几个概念几个概念 零向量零向量 单位向量单位向量 与共线的单位向量是 特别 平行平行 AB 共线共线 向量向量 无传递性 是因为有 相等向量相等向量 有传递性 相反向量相反向量 向量垂直向量垂直 0 2 2 向量的平行与垂直 向量的平行与垂直 设 x1 y1 x2 y2 且 则 a b b 0 两非零向量平行两非零向量平行 共线共线 的充要条件的充要条件 2 2 x1y2 x2y1 0 a b a b a b a b 两个非零向量垂直的充要条件两个非零向量垂直的充要条件 0 2 x1x2 y1y2 0 a b a b a b a b 特别 零向量和任何向量共线 是向量平行的充分不必要条件 a b 3 a b a b cos x x2 y1y2 注 a cos叫做 a 在 b 方向上的投影 1 即 1212 22 22 cos x xy ya b abaa b b xy 在上的投影 b b cos叫做 b b 在 a a 方向上的投影 a ba b 的几何意义 a ba b 等于 a a 与 b b 在 a a 方向上的投影 b b cos的乘积 4 4 三点共线的充要条件 P A B 三点共线 xy1OPxOAyOB 且 常见三角形中的性质 常见三角形中的性质 ABCABC 中 1 3 PGPAPBPC G为 ABC的重心 特别 0PAPBPCP 为 ABC的重心 PA PBPB PCPC PAP 为 ABC的垂心 0 ACAB ABAC 所在直线过 ABC的内心 是BAC 的角平分线所在直线 典型例题 12 例 1 下列命题 1 若 则 2 若共线 则 ab bc ac ba ba 3 若 则 4 若 则 其中正确的是 ab ab ba a b 例 2 下列命题 是夹 cbacba cbba ca 0a b ba 角为钝角的必要非充分条件 其中正确的是 例 3 已知 2 3 2 如果与的夹角为锐角 则的取值范围 a b a b 是 例 4 已知 ABC 是等腰直角三角形 C 90 AC BC 2 则 AB BC 例 5 已知两点 A 3 1 B 1 3 若点 C 满足 1 2 其中 1 2 R 且 OC OA O