北师大版九年级上《相似图形》教案

第 1 页 共 18 页 第三章 相似图形 1 成比例线段 一 目标导航 1 了解两条线段的比的概念 1 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB CD 的长度分别是 m n 那么就说这两条线段的 比 AB CD m n 或写成 n m B A 2 若线段dcba 则线段dcba 叫做成比例线段 或比例线段 3 d c b a 与bcad 在指定条件下可以互相转化 即比例式与等积式可以互相转化 二 基础过关 1 若 2x 5y 0 则y x x yx 2 如果 5 3 b ba 那么 b a 3 若a 2 b 3 c 33 则a b c的第四比例项d为 4 若 753 zyx 则 zyx zyx 5 在一张地图上 甲 乙两地的图上距离是 3 cm 而两地的实际距离为 1500 m 那么这张地 图的比例尺为 三 能力提升 6 若 AE AC AD AB 且 AB 12 AC 3 AD 5 则 AE 7 已知 O 点是正方形 ABCD 的两条对角线的交点 则 AO AB AC 8 已知 yx 23 那么下列式子成立的是 A 3x 2y B xy 6 C 3 2 y x D 3 2 x y 9 把ab 2 1 cd写成比例式 不正确的写法是 A b d c a 2 B b d c a 2 C b d c a 2 D d a b c2 10 已知线段x y满足 x y x y 3 1 那么x y等于 A 3 1B 2 3 C 2 1D 3 2 第 2 页 共 18 页 11 已知直角三角形的两条直角边长的比为a b 1 2 其斜边长为 45cm 那么这个三角 形的面积是 cm2 A 32 B 16 C 8 D 4 12 等腰梯形 ABCD 的周长是 104 cm AD BC 且 AD AB BC 2 3 5 则这个梯形的 中位线的长是 cm A 72 8 B 51 C 36 4D 28 13 已知四条线段a b c d的长度 试判断它们是否成比例 1 a 16 cm b 8 cm c 5 cm d 10 cm 2 a 8 cm b 5 cm c 6 cm d 10 cm 四 聚沙成塔 在 ABC 中 D 是 BC 上一点 若 AB 15 cm AC 10 cm 且 BD DC AB AC BD DC 2 cm 求 BC 的长 4 1 线段的比 2 一 目标导航 1 合比性质 如果 d c b a 那么 d dc b ba 2 等比性质 如果 n m d c b a 0 ndb 那么 b a ndb mca 二 基础过关 1 若 d c b a 3 b d 0 则 db ca 2 已知 3 2 f e d c b a b f 0 则 fb ea 第 3 页 共 18 页 3 已知 3 4 2 x yx y x 三 能力提升 4 已知 d c b a 则下列式子中正确的是 A a b c2 d 2 B a d c b C a b a c b d D a b a d b d 5 若ac bd 0 ac 则下列各式一定成立的是 A d c b a B c cb d da C c d b a 2 2 D d a cd ab 6 已知 0 432 cba 则 c ba 的值为 A 5 4 B 4 5 C 2 D 2 1 7 若 875 cba 且 3a 2b c 3 则 2a 4b 3c的值是 A 14 B 42 C 7 D 3 14 8 若 572 zyx 设 A zyx y B y zx C x zyx 则 A B C 的大小顺序为 A A B C B A B C C C A B D A C B 9 若点 P 在线段 AB 上 点 Q 在线段 AB 的延长线上 AB 10 求线段 PQ 的 3 2 APAQ BPBQ 长 10 已知 3 a 5 b 7 c 求 b cba 的值 ca cba 32 的值 第 4 页 共 18 页 11 已知 x y z 2 3 4 求 y yx2 zyx x 532 3 zyx zyx 23 32 12 若 6 5 43 2 cba 且 2a b 3c 21 试求a b c 四 聚沙成塔 13 已知实数a b c满足 c ba b ac a cb 求 a cb 的值 第 5 页 共 18 页 2 平行线分线段成比例 1 如图 任意画两条直线 l1 l2 再画三条与 l1 l2相交的平行线 l3 l4 l5 分别量度 l3 l4 l5在 l1上截得的两条线段 AB BC 和在 l2上截得的 两条线段 DE EF 的长度 AB BC 与 DE EF 相等吗 任意平移 l5 再量度 AB BC DE EF 的长度 AB BC 与 DE EF 相等吗 2 问题 AB AC DE BC AC DF 3 归纳总结 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 三条 截两条直线 所得的 线段的比 例 1 如图 若 AB 3cm BC 5cm EK 4cm 写出 EK KF 求 FK 的长 AB AC 平行线分线段成比例定理推论平行线分线段成比例定理推论 思考 1 如果把图中 l1 l2两条直线相交 交点 A 刚好落到 l3上 如图 1 所得的对应线段的比 会相等吗 2 如果把图中 l1 l2两条直线相交 交点 A 刚好落到 l4上 如图 2 所得的对应线段的比会相等 吗 3 归纳总结 平行于三角形一边的直线截其他两边 归纳总结 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边延长线或两边延长线 所得的 所得的 线段的比线段的比 3 相似多边形 图形的相似 例 1 如图 下面右边的四个图形中 与左边的图形相似的是 第 6 页 共 18 页 例 2 一张桌面的长a 1 25m 宽b 0 75m 那么长与宽的比是多少 1 如果a 125cm b 75cm 那么长与宽的比是多少 2 如果a 1250mm b 750mm 那么长与宽的比是多少 小结 上面分别采用 m cm mm 三种不同的长度单位 求得的的值是 的 所以说 a b 两条线段的比与所采用的长度单位 但求比时两条线段的长度单位必须 例 3 已知 一张地图的比例尺是 1 32000000 量得北京到上海的图上距离大约为 3 5cm 求 北京到上海的实际距离大约是多少 km 分析 根据比例尺 可求出北京到上海的实际距离 图上距离 实际距离 巩固练习 1 如图 从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗 2 如图 图形a f 中 哪些是与图形 1 或 2 相似的 3 下列说法正确的是 A 小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似 B 商店新买来的一副三角板是相似的 C 所有的课本都是相似的 D 国旗的五角星都是相似的 能力提升 1 如图 请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽 第 7 页 共 18 页 1 小 长是 cm 宽是 cm 大 长是 cm 宽是 cm 2 小 大 周 周 周 周 3 你由上述的计算 能得到什么结论吗 2 在比例尺是 1 8000000 的 中国政区 地图上 量得福州与上海之间的距离是 7 5cm 那么福州 与上海之间的实际距离是多少 3 AB 两地的实际距离为 2500m 在一张平面图上的距离是 5cm 那么这张平面地图的比例尺是多 少 相似多边形 如图的左边格点图中有一个四边形 请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形 问题 对于图中两个相似的四边形 它们的对应角 对应边的比是否相等 结论 1 相似多边形的特征 相似多边形的对应角 对应边的比 反之 如果两个多边形的对应角 对应边的比 那么这两个多边形 几何语言 在ABC 和A1B1C1中 若 111 CCBBAA 111111 CA AC CB BC BA AB 则ABC 和A1B1C1相似 2 相似比 相似多边形 的比称为相似比 问题 相似比为 1 时 相似的两个图形有什么关系 结论 相似比为 1 时 相似的两个图形 第 8 页 共 18 页 例 1 下列说法正确的是 A 所有的平行四边形都相似 B 所有的矩形都相似 C 所有的菱形都相似 D 所有的正方形都相似 例 2 如图 四边形 ABCD 和 EFGH 相似 求角的大小和 EH 的长度 和x 巩固练习 1 在比例尺为 1 10 000 000 的地图上 量得甲 乙两地的距离是 30 cm 求两地的实际距离 2 如图所示的两个直角三角形相似吗 为什么 3 如图所示的两个五边形相似 求未知边 的长度 abcd 能力提升 1 ABC 与 DEF 相似 且相似比是 则 DEF 与 ABC 与的相似比是 3 2 A B C D 3 2 2 3 5 2 9 4 2 下列所给的条件中 能确定相似的有 1 两个半径不相等的圆 2 所有的正方形 3 所有的等腰三角形 4 所有的等边三角形 5 所有的等腰梯形 6 所有的正六边形 A 3个 B 4个 C 5个 D 6个 3 已知四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1相似 四边形 ABCD 的最长边和最短边的长分别是 10cm 和 4cm 如果四边形 A1B1C1D1的最短边的长是 6cm 那么四边形 A1B1C1D1中最长的边长是 多少 第 9 页 共 18 页 4 如图 AB EF CD CD 4 AB 9 若梯形 CDEF 与梯形 EFAB 相似 求 EF 的长 4 探索三角形相似的条件 四四 相似三角形相似三角形 1 在相似多边形中 最为简简单的就是相似三角形 2 对应角相等 对应边成比例的三角形叫做相似三角形 相似三角形对应边的比叫做相似比 3 全等三角形是相似三角的特例 这时相似比等于 1 注意 证两个相似三角形 与证两个全等 三角形一样 应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 4 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 5 相似三角形周长的比等于相似比 6 相似三角形面积的比等于相似比的平方 五五 探索三角形相似的条件探索三角形相似的条件 1 相似三角形的判定方法 一般三角形直角三角形 基本定理 平行于三角形的一边且和其他两边 或两边的延长线 相交的直线 所 截得的三角形与原三角形相似 两角对应相等 两边对应成比例 且夹角相等 三边对应成比例 一个锐角对应相等 两条边对应成比例 a 两直角边对应成比例 b 斜边和一直角边对应成比例 第 10 页 共 18 页 相似三角形 在相似多边形中 最简单的就是相似三角形 在 ABC 与 A B C 中 如果 A A B B C C 且 ABBCCA k A BB CC A 我们就说 ABC 与 A B C 相似 记作 ABC A B C k 就是它们的相似比 反之如果 ABC A B C 则有 A B C 且 AC CA CB BC BA AB 问题 如果 k 1 这两个三角形有怎样的关系 巩固练习 如图 在 ABC 中 DE BC AC 4 AB 3 EC 1 求 AD 和 BD 能力提升 1 如图 ABC AED 其中 DE BC 找出对应角并写出对应边的比例式 2 如图 ABC AED 其中 ADE B 找出对应角并写出对应边的比例式 反思归纳 三角形相似的预备定理 这个定理揭示了有三角形一边的平行线 必构成相似三角形 因此 在三角形相似的解题中 常作平行线构造三角形与已知三角形相似 相似比是带有顺序性和对应性的 如 ABC A B C 的相似比 那k AC CA CB BC BA AB 么 A B C ABC 的相似比就是 它们的关系是互为倒数 kCA AC BC CB AB BA1 第 11 页 共 18 页 思考 如图 在 ABC 中 DE BC DE 分别交 AB AC 于点 D E 问题 1 由 DE BC 的条件可得到哪些线段的比相等 2 根据以前学习的知识如何把 DE 移到 BC 上去 作辅助线 EF AB 你能证明 AE AC DE BC 吗 3 写出 ABC ADE 的证明过程 归纳总结 判定三角形相似的 预备 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交 所成的三角形与原来三角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边相交 所成的三角形与原来三角形相似 例 1 如图 在 ABC 中 DE BC AD EC DB 1cm AE 4cm BC 5cm 求 DE 的长 分析 由 DE BC 可得 ADE ABC 再由相似三角形的性质 有 又由 AD EC 可求出 AD 的 AC AE AB AD 长 再根据求出 DE 的长 AB AD BC DE 巩固练习 1 下列各组三角形一定相似的是 A 两个直角三角形 B 两个钝角三角形 C 两个等腰三角形 D 两个等边三角 形 2 如图 DE BC EF AB 则图中相似三角形一共有 A 1 对 B 2 对 C 3 对 D 4 对 第 12 页 共 18 页 3 如图 AB EF CD 图中共有 对相似三角形 写出来并说明理由 4 如图 在 ABCD 中 EF AB DE EA 2 3 EF 4 求 CD 的长 能力提升 1 如图 DE BC 1 如果 AD 2 DB 3 求 DE BC 的值 2 如果 AD 8 DB 12 AC 15 DE 7 求 AE 和 BC 的长 2 如图 小明在打网球时 使球恰好能打过网 而且落在离网 5 米的位置上 求球拍击球的高度 h 设网球是直线运动 相似三角形相似三角形 一 选择题一 选择题 第 13 页 共 18 页 1 如图所示 在 ABC 中 DE BC 若 AD 1 DB 2 则的值为 BC DE A B C D 3 2 4 1 3 1 2 1 2 如图所示 ABC 中 DE BC 若 AD DB 1 2 则下列结论中正确的是 A B 2 1 BC DE 2 1 周周周 周周周 ABC ADE C D 周周周 周周周 ABC ADE 3 1 周周周 周周周 ABC ADE 3 1 3 如图所示 在 ABC 中 BAC 90 D 是 BC 中点 AE AD 交 CB 延长线于 E 点 则下列结 论正确的是 A AED ACBB AEB ACD C BAE ACED AEC DAC 4 如图所示 在 ABC 中 D 为 AC 边上一点 若 DBC A AC 3 6 BC 则 CD 长为 A 1B C 2D 2 3 2 5 5 若 P 是 Rt ABC 的斜边 BC 上异于 B C 的一点 过点 P 作直线截 ABC 截得的三角形与原 ABC 相似 满足这样条件的直线共有 A 1 条B 2 条C 3 条D 4 条 6 如图所示 ABC 中若 DE BC EF AB 则下列比例式正确的是 A B BC DE DB AD AD EF BC BF C D FC BF EC AE BC DE AB EF 8 如图所示 ABC 中 AD BC 于 D 对于下列中的每一个条件 B DAC 90 B DAC CD AD AC AB AB2 BD BC 其中一定能判定 ABC 是直角三角形的共有 A 3 个B 2 个C 1 个D 0 个 二 填空题二 填空题 9 如图 9 所示 身高 1 6m 的小华站在距路灯杆 5m 的 C 点处 测得她在灯 光下的影长 CD 为 2 5m 则路灯的高度 AB 为 第 14 页 共 18 页 10 如图所示 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 F 是 AD 边上一点 且 6 1 EB AE 射线 CF 交 AB 于 E 点 则等于 FD AF 11 如图所示 ABC 中 DE BC AE EB 2 3 若 AED 的面积是 4m2 则四边形 DEBC 的面积为 12 若两个相似多边形的对应边的比是 5 4 则这两个多边形的周长比是 三 解答题三 解答题 13 已知 如图 ABC 中 AB 2 BC 4 D 为 BC 边上一点 BD 1 1 求证 ABD CBA 2 作 DE AB 交 AC 于点 E 请再写出另一个与 ABD 相似的三角形 并直接写出 DE 的长 15 如图所示 在由边长为 1 的 25 个小正方形组成的正方形网格上有一个 ABC 试在这个网格 上画一个与 ABC 相似 且面积最大的 A1B1C1 A1 B1 C1三点都在格点上 并求出这个三角形 的面积 18 已知 如图 ABC 中 BAC 90 AB AC 1 点 D 是 BC 边上的一个动点 不与 B C 点重合 ADE 45 1 求证 ABD DCE 2 设 BD x AE y 求 y 关于 x 的函数关系式 第 15 页 共 18 页 3 当 ADE 是等腰三角形时 求 AE 的长 19 已知 如图 ABC 中 AB 4 D 是 AB 边上的一个动点 DE BC 连结 DC 设 ABC 的 面积为 S DCE 的面积为 S 1 当 D 为 AB 边的中点时 求 S S 的值 2 若设试求 y 与 x 之间的函数关系式及 x 的取值范围 y S S xAD 5 相似三角形判定定理的证明 6 黄金分割 4 2 黄金分割 一 目标导航 1 黄金分割定义 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC 如果 AC AB BC AC 那么称线段 第 16 页 共 18 页 AB 被点 C 黄金分割 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 AC 与 AB 的比叫做黄金比 2 618 0 2 15 AB AC 二 基础过关 1 若点 P 是 AB 的黄金分割点 则线段 AP PB AB 满足关系式 2 黄金矩形的宽与长的比大约为 精确到 0 001 3 电视节目主持人在主持节目时 站在舞台的黄金分割点处最自然 得体 若舞台 AB 长为 20m 试计算主持人应走到离 A 点至少 m处 如果他向 B 点再走 m 也处在比较得体的位 置 结果精确到 0 1m 三 能力提升 4 有以下命题 如果线段 d 是线段 a b c 的第四比例项 则有 d c b a 如果点 C 是线 段 AB 的中点 那么 AC 是 AB BC 的比例中项 如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点 且 AC BC 那么 AC 是 AB