高考数学第一轮复习单元试卷15-空间中有关角

1 第十五单元 空间中有关角 距离的计算 一一 选择题选择题 1 已知则与的夹角等于 1 2 1 1 1 0 baab A 90 B 30 C 60 D 150 2 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是棱 AB BB1的中点 A1E 与 C1F 所成的角是 则 A 600 B 450 C 5 2 cos D 5 2 sin 3 设 A B C D 是空间不共面的四点 且满足 0 ACAB 则 BCD 是 0 ADAC0 ADAB A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 不确定 4 如图 长方体 ABCD A1B1C1D1中 AA1 AB 2 AD 1 点 E F G 分别是 DD1 AB CC1的中点 则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是 A B 5 15 arccos 4 C D 5 10 arccos 2 5 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起 当以 A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大 时 直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为 A 90 B 60 C 45 D 30 6 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 P 是侧面 BB1C1C 内一动点 若 P 到直线 BC 与直线 C1D1的 距离相等 则动点 P 的轨迹所在的曲线是 A 直线 B 圆 C 双曲线 D 抛物线 2 7 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 若 AB BB1 则 A B1与 C1B 所成角的大小为 2 A 60 B 90 C 105 D 75 8 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 若 AB 2 A A1 1 则点 A 到平面 A1BC 的距离为 A B C 4 3 2 3 4 33 D 3 9 将 600 边长为 1 的菱形 ABCD 沿对角线 AC 折成二面角 若 60 120 B 则折后两条对角线之间的距离的最值为 A 最小值为 最大值为 B 最小值为 最大值为4 3 2 3 4 3 4 3 C 最小值为 最大值为 D 最小值为 最大值为4 1 4 3 4 3 2 3 10 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 O 是底面 A1B1C1D1的中心 则 O 到 平面 AB C1D1的距离为 A B 2 1 4 2 C D 2 2 2 3 二二 填空题填空题 11 直三棱柱 ABC A1B1C1中 A1B1C1 90 且 AB BC BB1 E F 分别是 AB CC1的 中点 那么 A1C 与 EF 所成的角的余弦值为 12 如图 在三棱锥 P ABC 中 PA PB PC BC 且 则 PA 与底面 ABC 2 BAC 所成角为 13 如图 正方体的棱长为 1 C D 分别是两条棱的中点 A B M 是顶点 那么点 M 到截面 ABCD 的距离是 14 已知平面 和平面 交于直线 P 是空间一点 PA 垂足为 A PB 垂足l B 且 PA 1 PB 2 若点 A 在 内的射影与点 B 在 内的射影重合 则点 P 到 的距离l 3 为 三三 解答题解答题 15 如图 正三角形 ABC 的边长为 3 过其中心 G 作 BC 边的平行线 分别交 AB AC 于 将沿折起到的位置 使点在平面上 1 B 1 C 11C AB 11C B 111 CBA 1 ACCBB 11 的射影恰是线段 BC 的中点 M 求 二面角的大小MCBA 111 16 在三棱锥 S ABC 中 ABC 是边长为 4 的正三角形 平面 SAC 平面 ABC SA SC 2 3 M N 分别为 AB SB 的中点 证明 AC SB 求二面角 N CM B 的大小 求点 B 到平面 CMN 的距离 17 已知直四棱柱中 底面 ABCD 是直角梯形 1111 DCBAABCD 2 1 AA A 是直角 AB CD AB 4 AD 2 DC 1 求异面直线与 DC 所成角的大小 结 1 BC 果用反三角函数值表示 4 18 如图 3 所示 在四面体 P ABC 中 已知 PA BC 6 PC AB 10 AC 8 PB F 是线段 PB 上一点 点 E 在线段 AB34234 17 15 CF 上 且 EF PB 证明 PB 平面 CEF 求二面角 B CE F 的大小 5 B 参考答案参考答案 一选择题 1 D 解析 以 D 为原点建立坐标系 2 3 62 3 cos ba ba 0 150 2 C 解析 2 1 0 1 1 2 1 0 11 FCEA 5 2 cos 11 11 FCEA FCEA 3 C 解析 0 22 ABABADABABACADAC ABADABACBDBC 是锐角B0 cos 故 BDBC BDBC B 同理 D C 都是锐角 故 BCD 是锐角三角形 4 D 解析 以 D 为原点建立坐标系 1 1 1 1 0 1 1 GFEA 0 1 GFEA 异面直线 A1E 与 GF 所成的角是 2 5 C 6 B F 解析 D E A C 如图 当平面 BAC平面 DAC 时 三棱锥体积最大 取 AC 的中点 E 则 BE平面 DAC 故直线 BD 和平面 ABC 所成的角为DBE cosDBE DBE 450 2 2 BD BE 6 D 解析 P 到直线直线 C1D1的距离就是 P 到 C1的距离 点 P 到直线 BC 与点 C1的距离相等 故动点 P 的轨迹所在的曲线是以 C1为焦点 以直线 BC 为准线的抛物线 7 B 解析 以 A 为原点建立坐标系 AC AA1为 y z 轴 垂直于平面 AA1C1C 直线为 x 轴 则 2 2 1 2 3 2 2 1 2 3 11 ACAB 故 0 1 AB 1 AC 8 B 解析 点 A 到平面 A1BC 的距离为 h BCAAABCA VV 11 hSAAS BCAABC 1 3 1 3 1 1 h 2 3 1 13 3 1 2 3 h 9 B 解析 D E A C 由题设ED E F 分别是中点B 则折后两条对角线之间的距离为 EF 的长 在中 ED BE DE BED B 2 3 7 当 120 时 EF 的最小值为 当 60 时 EF 的最大值为 4 3 4 3 10 B 解析 过 O 作 EF C1D1分别交 A1C1 B1D1于 E F EF 平面 ABC1D1 O 到平面 AB C1D1的距离等于 E 到平面 AB C1D1的距离 而 E 到平面 AB C1D1的距离为 4 2 二填空题 11 3 2 解析 分别以 BA BC BB1为 ox oy oz 轴 则 2 1 1 2 1 1 1 1 1 EFCA 2 3 3 1 cos 1 1 1 EFCA EFCA EFCA 3 2 12 3 解析 PA PB PC P 在底面的射影 E 是ABC 的外心 又 2 BAC 故 E 是 BC 的中点 所以 PA 与底面 ABC 所成角为PAE 而PAE 3 13 3 2 解析 分别取 AB CD 的中点 E F 连 EF 过 M 作 MNEF 于 N 再作 EGMF 于 G 则 MN 的长为点 M 到截面 ABCD 的距离 先在EFG 中计算 3 22 sin 22tan CAMCAM 再在MFN 中计算 MN MF CAM sin 3 2 14 5 解析 点 A 在 内的射影与点 B 在 内的射影重合 设射影为点 C 点 P 到 的距离为 PC 的长 l 而 PC 为矩形 PACB 的对角线 PC 5 三解答题 15 解 连接 AM A1G 8 G 是正三角形 ABC 的中心 且 M 为 BC 的中点 A G M 三点共线 AM BC B1C1 BC B1C1 AM 于 G 即 GM B1C1 GA1 B1C1 A1GM 是二面角 A1 B1C1 M 的平面角 点 A1在平面 BB1C1C 上的射影为 M A1M MG A1MG 90 在 Rt A1GM 中 由 A1G AG 2GM 得 A1GM 90 即二面角 A1 B1C1 M 的大小是 60 16 解法一 取 AC 中点 D 连结 SD DB SA SC AB BC AC SD 且 AC BD AC 平面 SDB 又 SB 平面 SDB AC SB AC 平面 SDB AC 平面 ABC 平面 SDB 平面 ABC 过 N 作 NE BD 于 E NE 平面 ABC 过 E 作 EF CM 于 F 连结 NF 则 NF CM NFE 为二面角 N CM B 的平面角 平面 SAC 平面 ABC SD AC SD 平面 ABC 又 NE 平面 ABC NE SD SN NB NE 2 1 SD 2 1 22 ADSA 2 1 412 2 且 ED EB 在正 ABC 中 由平几知识可求得 EF 4 1 MB 2 1 在 Rt NEF 中 tan NFE EF EN 22 二面角 N CM B 的大小是 arctan22 在 Rt NEF 中 NF 22 ENEF 2 3 S CMN 2 1 CM NF 2 3 3 S CMB 2 1 BM CM 23 设点 B 到平面 CMN 的距离为 h VB CMN VN CMB NE 平面 CMB 3 1 S CMN h 3 1 S CMB NE h CMN CMB S NES A A 3 24 即点 B 到平面 CMN 的距离为 3 24 解法二 取 AC 中点 O 连结 OS OB SA SC AB BC AC SO 且 AC BO 平面 SAC 平面 ABC 平面 SAC 平面 ABC AC SO 面 ABC SO BO 9 如图所示建立空间直角坐标系 O xyz 则 A 2 0 0 B 0 23 0 C 2 0 0 S 0 0 22 M 1 3 0 N 0 3 2 AC 4 0 0 SB 0 2 3 22 AC SB 4 0 0 0 23 22 0 AC SB 由 得CM 3 3 0 MN 1 0 2 设 n x y z 为平 面 CMN 的一个法向量 则 CM n 3x 3y 0 取 z 1 则 x 2 y 6 n 2 6 1 MN n x 2z 0 又OS 0 0 22 为平面 ABC 的一个法向量 cos n OS OSn OSn 3 1 二面角 N CM B 的大小为 arccos 3 1 由 得MB 1 3 0 n 2 6 1 为平面 CMN 的一个 法向量 点 B 到平面 CMN 的距离 d n MBn 3 24 17 解法一 由题意 AB CD 是异面直线 BC1与 DC 所成的角 BAC1 连结 AC1与 AC 在 Rt ADC 中 可得 5 AC 又在 Rt ACC1中 可得 AC1 3 在梯形 ABCD 中 过 C 作 CH AD 交 AB 于 H 得13 3 2 90 CBHBCHCHB 又在中 可得 1 CBCRt 17 1 BC 在 17 173 arccos 17 173 2 cos 1 1 2 1 2 1 2 11 ABC BCAB ACBCAB ABCABC 中 异而直线 BC1与 DC 所成角的大小为 17 173 arccos 解法二 如图 以 D 为坐标原点 分别以 AD DC DD1所在直线为 x y z 轴建立直 角坐标系 10 则 C1 0 1 2 B 2 4 0 2 3 2 1 BC 所成的角为 CDBCCD与设 1 0 1 0 则 17 173 arccos 17 173 cos 1 1 CDBC CDBC 异面直线 BC1与 DC 所成角的大小为 17 173 arccos 18 I 证明 222 PC1006436ACPA PAC 是以 PAC 为直角的直角三角形 同理可证 PAB 是以 PAB 为直角的直角三角形 PCB 是以 PCB 为直角的直角三角形 所以 PA 平面 ABC 又 30610 2 1 BC AC 2 1 S PBC 而 PBC S30 1