经济数学(导数与微分习题及答案)

1 第三章第三章 函数的导数与微分函数的导数与微分 习题习题 3 1 1 根据定义求下列函数的导数 1 x y 1 2 xycos 3 baxy a b 为常数 4 xy 解解 1 因为 00 limlim xx yf xxf x y xx x xxx x 11 lim 0 0 1 lim x xx x 2 1 x 所以 2 1 y x 2 因为 00 cos cos limlim xx yxxx y xx 0 2sin sin 22 limsin x xx x x x 所以 sinyx 3 因为 00 limlim xx ya xxbaxb y xx x xa x 0 lim a 所以 ya 4 因为 00 limlim xx yxxx y xx lim 0 xxxx x x 0 11 lim 2 x xxxx 所以 1 2 y x 2 下列各题中假定 0 xf 存在 按照导数的定义观察下列极限 指出 A 表示什么 1 A x xfxxf x lim 00 0 2 A x xf x lim 0 其中 0 0 f 且 0 f 存在 3 A x ftxf x 0 lim 0 其中 0 f 存在 2 4 A h hxfhxf h lim 00 0 解解 1 因为 x xfxxf x lim 00 0 x xfxxf x lim 00 0 0 xf 故 0 xfA 2 因为 x xf x lim 0 0 0 lim 0 x fxf x 0 f 故 0 fA 3 因为 x ftxf x 0 lim 0 tx ftxf t x 0 0 lim 0 0 tf 故 0 tfA 4 因为 00 0 lim h f xhf xh h 0000 0 0000 00 lim limlim h hh f xhf xf xhf x hh f xhf xf xhf x hh 0 0 xfxf 2 0 xf 故 2 0 xfA 3 已知 2 x y x 1 1 x x 求 d d y x 解解 由已知易得 当 1 x 时 xy2 当 1x 时 1 y 又 1 1 lim 1 1 x fxf f x 1 1 lim 1 x x x 1 1 1 lim 1 1 x fxf f x 1 1 lim 2 1 x x x 2 1 1 ff 即 1 f 不存在 故 2 1 x fx 1 1 x x 4 如果 f x 为偶函数 且 0 f 存在 证明 0 0 f 证证 由于 f x 为偶函数 所以 f x f x 则 00 0 0 0 limlim 00 xx f xffxf f xx 0 0 lim 0 0 t f tf txf t 故 0 0 f 3 5 讨论下列函数在 0 x 处的连续性和可导性 1 2 1 sin 0 x yx 0 0 x x 2 cosyx 3 2 x y x 0 0 x x 解解 1 因为 0 0 0 lim 0 x f xf f x 2 00 1 sin 1 limlim sin0 xx x x x xx 所以函数 2 1 sin 0 x yx 0 0 x x 在 0 x 处可导 从而也连续 2 因为 0 0 0 lim 0 x f xf f x 0 coscos0 lim x x x 2 00 2sin cos1 2 limlim0 xx x x xx 所以函数 cosyx 在 x 0 处可导 从而也连续 3 因为 2 00 lim lim0 0 xx f xxf 00 lim lim 0 0 xx f xxf 所以函数 xf 在 0 x 处连续 又因为 2 00 0 0 0 limlim0 00 xx f xfx f xx 00 0 0 0 limlim1 00 xx f xfx f xx 0 0 ff 故 0 f 不存在 即函数 xf 在 0 x 不可导 6 设函数 2 1 1 xx f x axbx 为使函数 f x 在 x 1 处连续且可导 a b 应取什 么值 解解 由题意 有 11 lim lim 1 1 1 xx f xf xf ff 首先可得 a b 1 即 b 1 a 又因为 2 1 1 1 lim2 1 x x f x 4 11 111 1 limlim 11 xx axbaxa fa xx 所以 a 2 于是 b 1 故当 a 2 b 1 时 函数 f x 在 x 1 处连续且可导 7 求曲线 2 xy 在点 1 1 处的切线方程 解解 因 1 2 2 x yxy 故 曲线 2 xy 在点 1 1 处的切线方程为 12 1 yx 即 21yx 8 设曲线 f x xn 在点 1 1 处的切线与 x 轴的交点为 an 0 求 lim n n f a 解解 因为 1 1 n x fnxn 所以曲线 n f xx 在点 1 1 处的切线方程为 y 1 n x 1 切线与 x 轴的交点为 1 1 0 n 即 1 1 n a n 从而 1 1 n n f a n 习题习题 3 2 1 求下列函数的导数 1 524 23 xxy 2 xy x ln2 3 xxysin2 3 4 4tan3 xy 5 32 23 xxy 6 xx x y ln 1ln 7 xx e y x 2 2 8 t t y cos1 sin1 解解 1 xxy412 2 2 x xy x x 2 2 2 lnln 3 xxxxycos2sin6 32 4 xy 2 sec3 5 3 23 32 2 xxy x125 6 x x x xx x y 22 ln 1 ln 1 xxx x 22 ln 1ln1 7 2 42 22 xx e xe x y xx 4 22 22 x xxeex xx 8 2 cos1 sin sin1 cos1 cos t tttt yt 2 cossin1 1cos tt t 5 2 求下列函数在给定点的导数 1 x xey 求 0 x y 2 cos 2 1 sin 求 0 3 55 3 2 x x xf 求 0 f 和 2 f 解解 1 因为 xx xeey 所以 10 00 0 eey x 2 因为 11 sincossinsincos 22 所以 2 11 sincos 22222 3 因为 x x x xf 5 2 5 5 3 2 x x5 2 5 3 所以 5 3 0 f 5 1 2 f 3 求 21 123 1 n xxnxx 的和 解解 注意到 1 nn xnx 有 1 212 1 2 1 123 1 1 1 1 1 1 n nn nn x xxnxxxx x nxnx x x 4 求曲线 2 sinxxy 上横坐标为 0 x 的点处的切线方程和法线方程 解解 当 0 x 时 0 y 且有 xxy2cos 则 00cos 0 x y 1 习题习题 3 3 1 求下列函数的导数 1 2 23xy 2 3 2x ey 3 xyarcsin 4 ln 22 xaxy 5 2 cosln x ey 6 x y 1 arctan 解解 1 4 232 1 2 x x y 2 2 32 x x 2 33 2222 6 6 xx yexx e 3 xx y 2 1 1 1 1 2 1 xx 6 4 222222 121 1 2 x y xaxaxax 5 2222 2 1 sin 2 2tan cos xxxx x yeexxee e 6 1 1 1 1 2 2 x x y 2 1 1 x 2 求下列函数的导数 1 xey x 2cos 2 2 ln ln ln xxy 3 nxxy n cossin 4 xxy 22 ln2 解解 1 22 1 cos2 sin2 2 2 xx yexex 2 1 cos24sin2 2 x exx 2 1 ln ln ln ln ln lnyxxx 3 nxxxny n coscossin 1 nnxx n sin sin 1 sincos cossin sin n nxxnxxnx sincos 1 n nxnx 4 xxy 2 ln22 ln22 1 2 2 x x x x 1 ln2 xx 2 ln22 x xx 2 ln2 ln 3 设 f 可导 求下列函数的导数 d d y x 1 ex xefy 2 sin2cos 2 xfxy 3 n axfy 2 4 ln xxffy 5 arctan 1 x x f ey 解解 1 1 dy d xexe fexeex x 2 2 d 2sin2 sin d y xfx x xxcossin2 xxfx2sin sin2sin2 2 2 sin22 sin xfx 3 212 d 2 d n y n f xafxax x 1 22 2 n nx f xafxa 7 4 d1 1 ln ln dx y ff xxfxx x 5 1 arctan d d fx x y e x arctan 1 x x f 1 11 22 xx 1 arctan 22 11 arctan 1 fx x fx e xxx 4 设 2 ln 1 0 0 0 sin 0 xx f xxfx x x x 求 解解 当 x 0 时 1 ln 1 1 fxx x 当 x 0 时 22 2 sinsin2sin xxxx fx xx 当 x 0 时 由 00 0 ln 1 0 limlim 0 xx f xfx f xx 1 0 limln 1 ln1 x x xe 2 2 000 sin 0 sin 0 lim limlim1 0 xxx x f xfx x f xxx 得 0 1 f 故 2 2 1 0 1 1 0 sin2sin 0 x x fxx xxx x x 5 设 2 1 ln fx yafx f xa 且 证明 2yy 证证 由复合函数的求导法则 得 2 ln2 fx yaaf x fx 将 1 ln fx f xa 代入上式 可得 22 1 ln2 22 ln fxfx yaaf xay f xa 即 2yy 6 设函数 f 可导 且 y f a t f a t 求 0 d d t y t 8 解解 因为 d d y fatatfatat t fatfat 故 0 d 2 d t y fafafa t 7 设 lim x x xt f tt xt 求 f t 解解 因为 1 limlim 1 x x xx t xt x t xt x 2 lim 1 lim 1 x t x t xt x t ex e e t x 所以 2 limlim xx t xx xtxt f tttt e xtxt 故 22 12 tt f tt eet 习题习题 3 4 1 求下列函数的二阶导数 1 x xey 2 2 1ln 2 xy 3 xyarctan 4 21 sin2xy 5 1ln 2 xxy 6 2 1 arctanyxx 解解 1 222 2 12 xxx yexeex 222 2 12 24 1 xxx yexeex 2 因为 1ln 2 xy 1ln 1ln xx 所以 y xx 1 1 1 1 y 2 2222 112 1 1 1 1 x xxx 3 y 2 1 1 x y 22 1 2 x x 4 2sin 12 cos 12 22sin2 12 yxxx 2cos2 1248cos2 12yxx 9 5 y 2 22 2 1 1 2 1 11 x x xxx 2 3 22 2 2 2 2 1 1 1 x x x y x x 6 y 2 2 1 1 arctan2 x x xx 1arctan2 xx y 2 2 2arctan 1 x yx x 2 已知 xf 存在 且 0 xf 求 2 2 d d y x 1 2 axfy 2 ln xfy 解解 1 22 d 22 d y fxaxxfxa x 2 22 2 d 2 2 2 d y fxaxfxax x 222 2 4 fxax fxa 2 d1 d y fx xf x 2 2 222 d d yfx f xfx fxfx f xfx xfxfx 3 设 f x 的 n 阶导数存在 求 n f axb 解解 因 f axbfaxbaafaxb 2 f axbafaxba faxb 故 n nn f axba faxb 4 验证函数 xey x sin 满足关系式 022 yyy 解解 因 xey x sin xexcos sin x yex xexcos xexcos xexsin xexcos2 故 22yyy xexcos2 xexsin 2 cosxex xexsin2 0 5 求下列函数的 n 阶导数的一般表达式 1 lnyxx 2 3xy 解解 1 因 4 23 112 ln1 yxyyy xxx 故 1 1 2 2 n n n n yn x 10 2 2 3ln3 3ln 3 xx yy 故 3 ln3 nxn y 6 设 2 2 41 1 x y x 求 y 100 解解 2 22 413311 44 11211 x y xxxx 而 100 100 101101 1100 1100 11 1 1 xxxx 100 101101 101101 2101 3100 100 2 1 1 3 100 1 1 2 1 y xx xx x 故 习题习题 3 5 1 求由下列方程确定的隐函数的导数 y 1 yx exy 2 arctan 2 xyxyx 3 1 y xey 4 0 33 ayx a为常数 解解 1 方程两边同时对x求导 得 1 yexyy yx 解方程得 y yx yx ex ye 2 方程两边同时对x求导 得 2xyyx 22 1yx xyy 解方程得 322 22 22xyx y y x y 3 方程两边同时对x求导 得 0 yxeey yy 解方程得 y y y xe e 1 4 方程两边同时对x求导 得 033 22 yyx 解方程得 y 2 2 y x 2 求曲线 2 ln cot0 2 y yxxe 在点 e 1 处的切线方程 解解 将方程 2 ln cot0 2 y yxxe 两边对 x 求导 得 11 2 1 2cot csc0 222 yy yyxey x 当 x e y 1 时 可得 1 1 2 e y e 故所求切线方程为 11 1 222 x yxey ee 即 3 设 2 ufxy 其中 x y 满足方程 y yexf xx 且 均可导 求 d d u x 解解 由复合函数的求导法则 可得 2 dd 2 dd uy fxyxy xx 1 因 x y 满足方程 y yex 所以将方程 y yex 两边对 x 求导 得 ddd1 1 ddd1 y y yyy e xxxe 即 2 将 2 代入 1 并整理得 2 2 1 y duy fxyx dxe 4 用对数求导法求下列函数的导数 1 y 32 1 1 2 3 xx x x 2 y x x x 1 3 y x xln 解解 1 取已知函数的绝对值的对数 ln ln y 32 1 1 2 3 xx x x 即 ln y ln x 1 ln 2 3 x 1 ln 2 1 2 x 32 ln 2 1 x 两端同时对x求导 得 y y x 1 1 2 3 x 2 1x x 32 2 3 x 3 22 1 133 2 1 2 23 1 1 23 xx yx xxx xxx 故 2 取已知函数的绝对值的对数 ln y ln xx 1 lnxx 两端同时对x求导 得 y y ln x x x 1 lnx x x 1 1 ln 11 x xx 故 1 ln 111 x xx y xxx 3 取已知函数的对数 12 lnlnlnyxx 两端同时对x求导 得 y y x x x x ln ln 1 x xln2 故 lnln1 2ln 2ln xx x yxxx x 5 设 1 1 1 2 2 y x x x yy 求 解解 在等式两边取对数 得 1 ln 2 1 ln 2 x xyy 两边对 x 求导 得 1 ln2 1 ln 2 yxy yxy yx 注意到当 x 1 时 y 1 将其代入上式 可求得 1 1 x y 6 设 0 33 x eyx 求 0 y 解解 方程两端同时对x求导 得 033 22 x eyyx 1 解方程得 2 2 3 3 y xe y x 注意到当 0 x 时 1 y 可得 1 0 3 y 由 1 式变形有 22 33 x y yex 对其两边同时求导 得 22 6 36 x y yyyex 即 2 2 66 3 x exy y y y 故 1 0 9 y 题题 3 6 1 求下列函数的微分 1 x exy 22 2 xey x2 sin 3 xyarctan 4 2 1lnxy 5 y xey 1 6 yxyarccos 2 解解 1 d dyfxx 2222 22 d2 1 d xxx xex exxexx 2 d dyfxx 2 sin 2sin cos d xx exexxx 2 sinsin2 d x exxx 13 3 d dyfxx 111 dd 1 22 1 xx x xxx 4 d dyfxx 22 2 1 d 12 1 x x xx 2 d 1 x x x 5 方程两边同时微分 得 ddd yy yexxey dd 1 y y e yy xe 即 6 方程两边同时微分 得 2 1 2 ddd 1 y yxy y 2 1 dd 1 2 1 yx y y 即 2 2 1 d 211 y x yy 2 设 xxxycosln 22 求1 d xy 解解 因为 d dyfxx 22 2 2 2 lnsin d x xxxxx x 2 2 ln2sin dxxxxx 所以 1 d 2sin1 d x yx 3 设4 arctan 2 yxy 求0 d xy 解解 方程两边同时微分 得 2 2 1 d2dd0 1 yxxy yy y 即 2 2 d d 1 2 1 yx y xy y 22 2 1 d 2 1 1 yy x xyy 又因当 0 x 时 1 y 故 0 d 2d x yx 综合习题三综合习题三 1 选择填空 1 设 f x 可导且下列极限均存在 则 成立 2 1 2 lim 0 00 0 xf x xfxxf x 0 0 lim 0 f x fxf x lim 0 00 0 xf x xfxxf x 2 lim 0 af h afhaf h 2 下列函数在 x 1 处可导的是 14 x x y 1 1 x x y 1 1 y 1 x 1yx 3 已知函数 0 01 xe xx xf x 则 f x 在 x 0 处 导数 0 1 f 间断 导数 0 f 1 连续但不可导 4 已知 1 ln y u x 则 y u x u x 1 u x u x u x 5 设函数 f x 在点 x a 处可导 则 lim xa xf aaf x xa afa f aafa afa f aafa 6 设 1ln 2 xxy 则 y 1 1 2 xx 1 1 2 x 1 2 2 xx x 1 2 x x 7 设 y ln f sinx 其中 f 为可微函数 则 cos d sin x yx fx cos d d sin sin x yfx fx sin dd sin fx yx fx sin ddsin sin fx yx fx 8 设 2 cos yx 则 2 d d y x 2 2 sinxx 2 sin x 2 2 sinxx 2 sin x 9 曲线 2 2yxx 上切线平行于 x 轴的点是 0 0 1 1 1 1 1 1 10 设函数 1 0 0 0 1 0 x f xx x 则其导函数 fx 的定义域是 0 0 0 0 解解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 2 已知 0 0 00 1 lim 2 x x fx f xxf xx 求 解解 由导数定义 有 0000 0 020 2 limlim 2 xx f xxf xf xxf x fx xx 则 0 00 lim 2 x x f xxf xx 0000 00 1 2 2lim lim 2 xx f xxf xf xxf x xx 000 11 1 2 fxfxfx 3 设曲线 axxxf 3 与 cbxxg 2 都经过点 1 0 且在 1 0 有公共切 线 求常数a b c 解解 由 xf 与 xg 均过 1 0 点 得 0 1 3 a 即 01 a 1 0 1 2 cb 即 0 cb 2 又由 axxf 2 3 bxxg2 且 xf 与 xg 在点 0 1 有 公共切线 得 1 x xf 1 x xg 即 a 2 1 3 1 2 b 亦即 023 ba 3 故联立求解 1 2 3 得 1 1 1abc 4 设 axax axxay a为常数 求 2 2 d d y x 解解 设 x ay 1 a xy 2 x xy 3 a ay 4 则 1 ln x yaa 2 1 ln x yaa 1 2 a axy 2 2 1 a ya ax lnln 3 ln1 xxxx yeex ln2ln21 3