高一数学：函数知识点总结

1 函数复函数复习习主要知主要知识识点点 一 函数的概念与表示 1 映射 1 映射 设 A B 是两个集合 如果按照某种映射法则 f 对于集合 A 中的任一个元素 在集合 B 中 都有唯一的元素和它对应 则这样的对应 包括集合 A B 以及 A 到 B 的对应法则 f 叫做集合 A 到集合 B 的映射 记作 f A B 注意点 1 对映射定义的理解 2 判断一个对应是映射的方法 一对多不是映射 多对一是映射 2 函数 构成函数概念的三要素 定义域 对应法则 值域 两个函数是同一个函数的条件 三要素有两个相同 例 1 下列各对函数中 相同的是 A B xxgxxflg2 lg 2 1lg 1lg 1 1 lg xxxg x x xf C D f x x v v vg u u uf 1 1 1 1 2 xxf 例 2 给出下列四个图形 其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关 30 20 yyNxxM 系的有 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 xxxx 1 2111222 1111 2222 y y yy 3 O OOO 二 函数的解析式与定义域 1 求函数定义域的主要依据 1 分式的分母不为零 2 偶次方根的被开方数不小于零 零取零次方没有意义 3 对数函数的真数必须大于零 4 指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1 例 05 江苏卷 函数的定义域为 2 0 5 log 43 yxx 2 求函数定义域的两个难点问题 例 3 1 x已知f的定义域是 2 5 求f 2x 3 的定义域 2 21 xx已知f 的定义域是 1 3 求f 的定义域 2 例 4 设 则的定义域为 2 lg 2 x f x x 2 2 x ff x 变式练习 求的定义域 2 4 2 xxf xf 三 函数的值域三 函数的值域 1 求函数值域的方法 直接法 从自变量 x 的范围出发 推出 y f x 的取值范围 适合于简单的复合函数 换元法 利用换元法将函数转化为二次函数求值域 适合根式内外皆为一次式 判别式法 运用方程思想 依据二次方程有根 求出 y 的取值范围 适合分母为二次且 R 的分式 x 分离常数 适合分子分母皆为一次式 x 有范围限制时要画图 单调性法 利用函数的单调性求值域 图象法 二次函数必画草图求其值域 利用对号函数 几何意义法 由数形结合 转化距离等求值域 主要是含绝对值函数 例 1 直接法 2 2 1 23 y xx 2 2242f xxx 3 换元法 4 法 12 xxy 4 3 2 x x y 5 6 分离常数法 1 1 y 2 2 x x 1 x x y 31 24 21 x yx x 7 单调性 3 1 3 2 yxx x 3 8 结合分子 分母有理化的数学方法 1 11 y xx 11yxx 9 图象法 10 对号函数 2 32 12 yxxx 8 2 4 yxx x 11 几何意义 21yxx 四 四 函数的奇偶性 1 定义 定义 设 y f x x A 如果对于任意 A 都有 则称 y f x 为偶函数 x fxf x 如果对于任意 A 都有 则称 y f x 为奇函数 x fxf x 2 性质性质 y f x 是偶函数y f x 的图象关于轴对称 y f x 是奇函数y f x 的图象关于原点对称 y 若函数 f x 的定义域关于原点对称 则 f 0 0 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 两函数的定义域D1 D2 D1 D2要关于原点对称 3 奇奇偶偶性性的的判判断断 看定义域是否关于原点对称 看f x 与f x 的关系 例 例 1 已知函数是定义在上的偶函数 当时 则当时 xf 0 x 4 xxxf 0 x xf 2 已知定义域为的函数是奇函数 R 1 2 2 x x b f x a 求的值 若对任意的 不等式恒成立 求的取值范围 a btR 22 2 2 0f ttftk k 3 已知在 1 1 上有定义 且满足 xf 1 1 1 xy yx fyfxfyx 有 证明 在 1 1 上为奇函数 xf 4 若奇函数满足 则 Rxxf 1 2 f 2 2 fxfxf 5 f 4 五 函数的单调性五 函数的单调性 1 函数单调性的定义 2 设是定义在 M 上的函数 若 f x 与 g x 的单调性相反 则在 M 上是减函数 若 xgfy xgfy f x 与 g x 的单调性相同 则在 M 上是增函数 xgfy 例 例 1 判断函数的单调性 3 Rxxxf 2 函数对任意的 都有 并且当时 xfRnm 1 nfmfnmf0 x1 xf 求证 在上是增函数 若 解不等式 xfR4 3 f2 5 2 aaf 3 函数的单调增区间是 26 log 2 1 0 xxy 4 高考真题 已知是上的减函数 那么的取值范围是 31 4 1 log 1 a axa x f x x x a A B C D 0 1 1 0 3 1 1 7 3 1 1 7 六 函数的周期性 1 定义定义 若是周期函数 T 是它的一个周期 0 TxfTxf xf 说明 nT 也是的周期 推广推广 若 则是周期函数 是它的一个周期 xf bxfaxf xfab 对照记忆 对照记忆 说明 f xaf xa 说明 f axf ax 2 若 则周期是 2 xfaxf 1 xf axf 1 xf axf xfa 5 例 例 1 已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f x 2 f x 则 f 6 的值为 A 1 B 0 C 1 D 2 2 定义在 R 上的偶函数 满足 在区间 2 0 上单调递减 设 f x 2 2 fxfx 则的大小顺序为 1 5 2 5 afbfcf a b c 3 已知 f x 是定义在实数集上的函数 且则 f 2005 32 1 1 1 2 f xf xf xf若 4 已知是 上的奇函数 当 01 时 f x x 则 f 7 5 xf 2 xfxf x 5 设是定义在 R 上的奇函数 且对任意实数 x 恒满足 当时 xf 2 xfxf 2 0 x 2 2 xxxf 求证 是周期函数 当时 求的解析式 计算 xf 4 2 x xf 七 反函数七 反函数 1 只有单调的函数才有反函数 反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域 2 求反函数的步骤 1 解 2 换 3 写定义域 3 关于反函数的性质 1 y f x 和 y f 1 x 的图象关于直线 y x 对称 2 y f x 和 y f 1 x 具有相同的单调性 3 已知 y f x 求 f 1 a 可利用 f x a 从中求出 x 即是 f 1 a 4 f 1 f x x 5 若点 a b 在 y f x 的图象上 则 b a 在 y f 1 x 的图象上 6 y f x 的图象与其反函数 y f 1 x 的图象的交点一定在直线 y x 上 例 设函数的反函数为 且的图像过点 则的图像必过 yf x 1 yfx 21 yfx 1 1 2 1 yfx A B C D 1 1 2 1 1 2 1 0 0 1 八 二次函数 涉及二次函数问题必画图分析 1 二次函数 f x ax2 bx c a 0 的图象是一条抛物线 对称轴 顶点坐标 a b x 2 4 4 2 2 a bac a b 2 二次函数与一元二次方程关系 6 一元二次方程的根为二次函数 f x ax2 bx c a 0 的的取值 0 0 2 acbxax0 yx 一元二次不等式的解集 a 0 0 0 2 cbxax 二次函数 情况一元二次不等式解集 Y ax2 bx c a 0 b2 4ac ax2 bx c 0 a 0 ax2 bx c0 0 21 xxxxx 或 21 xxxx 0 0 xxx 图 象 与 解 0 a 1 互为反函数 名称指数函数对数函数 一般形式Y ax a 0 且 a 1 y logax a 0 a 1 定义域 0 值域 0 过定点 1 1 指数函数 y ax与对数函数 y logax a 0 a 1 图象关于 y x 对称 图象 单调性 a 1 在 上为增函数 a1 在 0 上为增函数 a1 y0 y 0 2 比较两个幂值的大小 是一类易错题 解决这类问题 首先要分清底数相同还是指数相同 如果底数相 同 可利用指数函数的单调性 指数相同 可以利用指数函数的底数与图象关系 对数式比较大小同理 记住下列特殊值为底数的函数图象 8 3 研究指数 对数函数问题 尽量化为同底 并注意对数问题中的定义域限制 4 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题 讨论复合 函数的单调性是解决问题的重要途径 例 例 1 1 的定义域为 2 的值域为 35lg lgxxy 3 1 2 x y 3 的递增区间为 值域为 lg 2 xxy 2 1 则0 4 1 log 2 1 2 x x 3 要使函数在上恒成立 求的取值范围 ay xx 421 1 x0 ya 4 若 a2x ax 0 a 0 且 a 1 求 y 2a2x 3 ax 4 的值域 2 1 2 1 十一 函数的图象变换十一 函数的图象变换 1 1 平移变换 平移变换 左 左 右右 上 上 下下 即 即 kxfyxfy hxfyxfy kk hh 0 0 0 0 上移下移 左移右移 对称变换 对称变换 对称谁 谁不变 对称原点都要变 1 xfyxfy xfyxfy xfyxfy xfyxfy xfyxfy xfyxfy xx y xy y x 轴下方图上翻轴上方图 将保留 边部分的对称图轴右边不变 左边为右 原点 轴 轴 例 例 1 f x 的图象过点 0 1 则 f 4 x 的反函数的图象过点 A 3 0 B 0 3 C 4 1 D 1 4 2 作出下列函数的简图 1 y log x 2 2 y 2x 1 3 y 2