北师大数学-初一上-数轴动点专题整理

明确以下几个问题 1 数轴上两点间的距离 即为这两点所对应的坐标差的绝对值 也即用右边的数减去 左边的数的差 即数轴上两点间的距离 右边点表示的数 左边点表示的数 2 点在数轴上运动时 由于数轴向右的方向为正方向 因此向右运动的速度看作正速 度 而向作运动的速度看作负速度 这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得 到运动后点的坐标 即一个点表示的数为 a 向左运动 b 个单位后表示的数为 a b 向右 运动 b 个单位后所表示的数为 a b 3 数轴是数形结合的产物 分析数轴上点的运动要结合图形进行分析 点在数轴上运 动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系 基础题 1 如图所示 数轴上一动点 A 向左移动 2 个单位长度到达点 B 再向右移动 5 个单位长度 到达点 C 点 1 求动点 A 所走过的路程及 A C 之间的距离 2 若 C 表示的数为 1 则点 A 表示的数为 1 题答案 1 2 5 7 AC 5 2 3 2 2 2 画个数轴 想一想 1 已知在数轴上表示 3 的点和表示 8 的点之间的距离为 5 个单位 有这样的关系 5 8 3 那么在数轴上表示数 4 的点和表示 3 的点之间的距离是 单位 2 已知在数轴上到表示数 3 的点和表示数 5 的点距离相等的点表示数 1 有这样的 关系 那么在数轴上到表示数的点和表示数的点之间距离相等的 1 1 35 2 ab 点表示的数是 3 已知在数轴上表示数的点到表示数 2 的点的距离是到表示数 6 的点的距离的 2x 倍 求数 x 2 题答案 考点 数轴 1 数轴上两点间的距离等于表示这两点的数中 较大的数减去较小的数 C BA 2 5 0 2 由数轴上表示数 x 的点到表示数 2 的点的距离是到表示数 6 的点的距离的 2 倍 可得 x 与 2 的差的 绝对值等于 x 与 6 的差的绝对值的 2 倍 应用题 1 1 已知数轴上有 A B C 三点 分别代表 24 10 10 两只电子蚂蚁甲 乙分别从 A C 两点同时出发相向而行 甲的速度为 4 个单位 秒 问多少秒后 甲到 A B C 的距离和为 40 个单位 若乙的速度为 6 个单位 秒 两只电子蚂蚁甲 乙分别从 A C 两点同时相向而行 问甲 乙在数轴上的哪个点相遇 在 的条件下 当甲到 A B C 的距离和为 40 个单位时 甲调头返回 问甲 乙还能在数轴上相遇吗 若能 求出相遇点 若不能 请说明理由 1 题答案 分析分析 如图 1 易求得 AB 14 BC 20 AC 34 设 x 秒后 甲到 A B C 的距离和为 40 个单位 此时甲表示的数为 24 4x 甲在 AB 之间时 甲到 A B 的距离和为 AB 14 甲到 C 的距离为 10 24 4x 34 4x 依题意 14 34 4x 40 解得 x 2 甲在 BC 之间时 甲到 B C 的距离和为 BC 20 甲到 A 的距离为 4x 依题意 20 4x 40 解得 x 5 20 16 12 8 420161284 0 即 2 秒或 5 秒 甲到 A B C 的距离和为 40 个单位 是一个相向而行的相遇问题 设运动 t 秒相遇 依题意有 4t 6t 34 解得 t 3 4 相遇点表示的数为 24 4 3 4 10 4 或 10 6 3 4 10 4 甲到 A B C 的距离和为 40 个单位时 甲调头返回 而甲到 A B C 的距离和为 40 个单位时 即的位置有两种情况 需分类讨论 甲从 A 向右运动 2 秒时返回 设 y 秒后与乙相遇 此时甲 乙表示在数轴上为同一 点 所表示的数相同 甲表示的数为 24 4 2 4y 乙表示的数为 10 6 2 6y 依题意有 24 4 2 4y 10 6 2 6y 解得 y 7 相遇点表示的数为 24 4 2 4y 44 或 10 6 2 6y 44 甲从 A 向右运动 5 秒时返回 设 y 秒后与乙相遇 甲表示的数为 24 4 5 4y 乙表示的数为 10 6 5 6y 依题意有 24 4 5 4y 10 6 5 6y 解得 y 8 不合题意 舍去 即甲从 A 点向右运动 2 秒后调头返回 能在数轴上与乙相遇 相遇点表示的数为 44 点评点评 分析数轴上点的运动 要结合数轴上的线段关系进行分析 点运动后所表示的 数 以起点所表示的数为基准 向右运动加上运动的距离 即终点所表示的数 向左运动 减去运动的距离 即终点所表示的数 2 动点 A 从原点出发向数轴负方向运动 同时 动点 B 也从原点出发向数轴正方向运动 4 秒后 两点相距 20 个单位长度 已知动点 A B 的速度比为 2 3 速度单位 单位长 度 秒 1 求出两个动点运动的速度 并在数轴上标出 A B 两点从原点出发运动 4 秒时的位置 2 若 A B 两点从 1 中标出的位置同时出发 按原速度向数轴负方向运动 求几秒钟 后原点恰好在两个动点的正中间 2 当 A B 两点从 1 中标出的位置出发向数轴负方向运动时 另一动点 C 也同时从原 点的位置出发向 A 运动 当遇到 A 后立即返回向 B 点运动 遇到 B 后又立即返回向 A 运动 如此往返 直到 B 追上 A 时 C 立即停止运动 若点 C 一直以 10 单位长度 秒的 速度匀速运动 求点 C 一共运动了多少个单位长度 2 题答案 3 如图 在射线 OM 上有三点 A B C 满足 OA 20cm AB 60cm BC 10cm 点 P 从点 O 出 发 沿 OM 方向以 1cm s 的速度匀速运动 点 Q 从点 C 出发在线段 CO 上向点 O 匀速运动 点 Q 运动到点 O 时停止运动 两点同时出发 1 当 PA 2PB 时 点 Q 运动到的位置恰好是线段 AB 的三等分点 求点 Q 的运动速度 2 若点 Q 的运动速度为 3cm s 经过多长时间 P Q 两点相距 70cm 3 题答案 4 如图 在数轴上 A 点表示数 a B 点表示数 b AB 表示 A 点和 B 点之间的距离 且 a b 满足 2 2 3 0aba 1 求 A B 两点之间的距离 2 若在数轴上存在一点 C 且 AC 2BC 求 C 点表示的数 3 若在原点 O 处放一挡板 一小球甲从点 A 处以 1 个单位 秒的速度向左运动 同 时另一小球乙从点 B 处以 2 个单位 秒的速度也向左运动 在碰到挡板后 忽略球的大 小 可看作一点 以原来的速度向相反的方向运动 设运动的时间为 t 秒 分别表示甲 乙两小球到原点的距离 用 t 表示 求甲 乙两小球到原点的距离相等时经历的时间 综合题 1 已知数轴上两点 A B 对应的数分别为 1 3 点 P 为数轴上一动点 其对应的数为 x 若点 P 到点 A 点 B 的距离相等 求点 P 对应的数 数轴上是否存在点 P 使点 P 到点 A 点 B 的距离之和为 5 若存在 请求出 x 的值 若不存在 请说明理由 当点 P 以每分钟一个单位长度的速度从 O 点向左运动时 点 A 以每分钟 5 个单位长 度向左运动 点 B 一每分钟 20 个单位长度向左运动 问它们同时出发 几分钟后 P 点到点 A 点 B 的距离相等 1 1 题答案题答案 答案 答案 如图 若点 P 到点 A 点 B 的距离相等 P 为 AB 的中点 BP PA 依题意 3 x x 1 解得 x 1 由 AB 4 若存在点 P 到点 A 点 B 的距离之和为 5 P 不可能在线段 AB 上 只能在 A 点左侧 或 B 点右侧 P 在点 A 左侧 PA 1 x PB 3 x 依题意 1 x 3 x 5 解得 x 1 5 P 在点 B 右侧 PA x 1 x 1 PB x 3 依题意 x 1 x 3 5 解得 x 3 5 点 P 点 A 点 B 同时向左运动 点 B 的运动速度最快 点 P 的运动速度最慢 故 P 点总位于 A 点右侧 B 可能追上并超过 A P 到 A B 的距离相等 应分两种情况讨论 设运动 t 分钟 此时 P 对应的数为 t B 对应的数为 3 20t A 对应的数为 1 5t B 未追上 A 时 PA PA 则 P 为 AB 中点 B 在 P 的右侧 A 在 P 的左侧 PA t 1 5t 1 4t PB 3 20t t 3 19t 依题意有 1 4t 3 19t 解得 t B 追上 A 时 A B 重合 此时 PA PB A B 表示同一个数 依题意有 1 5t 3 20t 解得 t 即运动或分钟时 P 到 A B 的距离相等 点评点评 中先找出运动过程中 P A B 在数轴上对应的数 再根据其位置关系确定两 点间距离的关系式 这样就理顺了整个运动过程 2 2 如图 已知 A B 分别为数轴上两点 A 点对应的数为 20 B 点对应的数为 100 求 AB 中点 M 对应的数 现有一只电子蚂蚁 P 从 B 点出发 以 6 个单位 秒的速度向左运动 同时另一只电子 蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发 以 4 个单位 秒的速度向右运动 设两只电子蚂蚁在数轴上的 C 点 相遇 求 C 点对应的数 若当电子蚂蚁 P 从 B 点出发时 以 6 个单位 秒的速度向左运动 同时另一只电子蚂 蚁 Q 恰好从 A 点出发 以 4 个单位 秒的速度也向左运动 设两只电子蚂蚁在数轴上的 D 点 相遇 求 D 点对应的数 2 2 题答案题答案 分析分析 设 AB 中点 M 对应的数为 x 由 BM MA 所以 x 20 100 x 解得 x 40 即 AB 中点 M 对应的数为 40 易知数轴上两点 AB 距离 AB 140 设 PQ 相向而行 t 秒在 C 点相遇 依题意有 4t 6t 120 解得 t 12 或由 P Q 运动到 C 所表示的数相同 得 20 4t 100 6t t 12 相遇 C 点表示的数为 20 4t 28 或 100 6t 28 设运动 y 秒 P Q 在 D 点相遇 则此时 P 表示的数为 100 6y Q 表示的数为 20 4y P Q 为同向而行的追及问题 依题意有 6y 4y 120 解得 y 60 或由 P Q 运动到 C 所表示的数相同 得 20 4y 100 6y y 60 D 点表示的数为 20 4y 260 或 100 6y 260 点评点评 熟悉数轴上两点间距离以及数轴上动点坐标的表示方法是解决本题的关键 是一个相向而行的相遇问题 是一个同向而行的追及问题 在 中求出相遇或追及 的时间是基础 3 3 已知数轴上两点 A B 对应的数分别为 1 3 点 P 为数轴上一动点 其对应的数为 x 若点 P 到点 A 点 B 的距离相等 求点 P 对应的数 数轴上是否存在点 P 使点 P 到点 A 点 B 的距离之和为 5 若存在 请求出 x 的值 若不存在 请说明理由 当点 P 以每分钟一个单位长度的速度从 O 点向左运动时 点 A 以每分钟 5 个单位长 度向左运动 点 B 一每分钟 20 个单位长度向左运动 问它们同时出发 几分钟后 P 点到点 A 点 B 的距离相等 3 3 题答案题答案 分析分析 如图 若点 P 到点 A 点 B 的距离相等 P 为 AB 的中点 BP PA 依题意 3 x x 1 解得 x 1 由 AB 4 若存在点 P 到点 A 点 B 的距离之和为 5 P 不可能在线段 AB 上 只能在 A 点左侧 或 B 点右侧 P 在点 A 左侧 PA 1 x PB 3 x 依题意 1 x 3 x 5 解得 x 1 5 P 在点 B 右侧 PA x 1 x 1 PB x 3 依题意 x 1 x 3 5 解得 x 3 5 点 P 点 A 点 B 同时向左运动 点 B 的运动速度最快 点 P 的运动速度最慢 故 P 点总位于 A 点右侧 B 可能追上并超过 A P 到 A B 的距离相等 应分两种情况讨论 设运动 t 分钟 此时 P 对应的数为 t B 对应的数为 3 20t A 对应的数为 1 5t B 未追上 A 时 PA PA 则 P 为 AB 中点 B 在 P 的右侧 A 在 P 的左侧 PA t 1 5t 1 4t PB 3 20t t 3 19t 依题意有 1 4t 3 19t 解得 t B 追上 A 时 A B 重合 此时 PA PB A B 表示同一个数 依题意有 1 5t 3 20t 解得 t 即运动或分钟时 P 到 A B 的距离相等 点评点评 中先找出运动过程中 P A B 在数轴上对应的数 再根据其位置关系确定两 点间距离的关系式 这样就理顺了整个运动过程 4 已知数轴上 A B 两点对应数分别为 2 4 P 为数轴上一动点 对应数为 x 若 P 为线段 AB 的三等分点 求 P 点对应的数 数轴上是否存在 P 点 使 P 点到 A B 距离和为 10 若存在 求出 x 的值 若不存 在 请说明理由 若点 A 点 B 和 P 点 P 点在原点 同时向左运动 它们的速度分别为 1 2 1 个单 位长度 分钟 则第几分钟时 P 为 AB 的中点 4 题答案 参考答案 0 或 2 4 或 6 2 5 5 如图 已知数轴上有三点如图 已知数轴上有三点 A B C AB 1 2AC A B C AB 1 2AC 点点 C C 对应的数是对应的数是 200200 1 若 BC 300 求点 A 对应的数 2 在 1 的条件下 动点 P Q 分别从 A C 两点同时出发向左运动 同时动点 R 从 A 点出发向右运动 点 P Q R 的速度分别为 10 单位长度每秒 5 单位长度每秒 2 单位长 度每秒 点 M 为线段 PR 的中点 点 N 为线段 RQ 的中点 多少秒时恰好满足 MR 4RN 不考 虑点 R 与点 Q 相遇之后的情形 3 在 1 的条件下 若点 E D 对应的数分别为 800 0 动点 P Q 分别从 E D 两点 同时出发向左运动 点 P Q 的速度分别为 10 单位长度每秒 5 单位长度每秒 点 M 为线 段 PQ 的中点 点 Q 在从是点 D 运动到点 A 的过程中 QC AM 的值是否发生变化 若不变 求其值 若不变 请说明理由 BC 300 AB AC 2 所以 AB 600 C 点对应 200 A 点 200 600 400 设 x 秒 MR 10 2 x 2 RN 600 5 2 x 2 MR 4RN 解 x 60 不变 速度 10 5 10 3 2 设经过的时间为 y 则 PE 10y QD 5y 于是 PQ 点为 0 800 10y 5y 800 5y 一半则是 800 5y 2 所以 AM 点为 800 5y 2 5y 400 15y 2 又 QC 200 5y 所以 3QC 2 AM 3 200 5y 2 15y 2 300 为定值 6 已知数轴上的三个点对应的数分别为 A B C 其中 C 比 B 大 3 B 比 A 小 7 且 A B C 13 则 A B C 的值为 6 题答案 C 比 B 大 3 即 C B 3 B 比 A 小 7 即 A B 7 所以有 A C 4 可得 A C B 且 A B C 13 1 设 A 0 B 0 C 0 则有 A B C 13 即 7 C 13 C 6 即 B 9 A 20 B 0 C0 矛盾 舍 3 设 A 0 B 0 C 0 A B C 13 7 B B 3 B 13 B 1 A 8 C 4 符合 故 A B C 8 4 1 13 4 设 A 0 B 0 C 0 即 A B C 13 A B C 13 7 B B 3 B 13 B 23 3 A 7 B 2 3 C 3 B 14 3 符合 则 A B C 13 综上所述 A B C 13 或 13 7 已知 b 是最小的正整数 且 a b 满足 请回答问题 2 5 0cab 1 请直接写出 a b c 的值 a b a 2 a b c 所对应的点分别为 A B C 点 P 为易动点 其对应的数为 x 点 P 在 0 到 2 之间运动时 即时 请化简式子 请写 02x 1 1 2 5 xxx 出化简过程 3 在 1 2 的条件下 点 A B C 开始在数轴上运动 若点 A 以每秒 1 个单位 长度的速度向左运动 同时 点 B 和点 C 分别以每秒 2 个单位长度和 5 个单位长度的速 度向右运动 假设 t 秒钟过后 若点 B 与点 C 之间的距离表示为 BC 点 A 与点 B 之间 的距离表示为 AB 请问 BC AB 的值是否随着时间 t 的变化而改变 若变化 请说明 理由 若不变 请求其值 8 如图 已知数轴上 A B 两点所表示的数分别对应为 x y 且 x y 满足 08 2 2 yx 1 求线段 AB 的长 2 若 P 为 A B 两点之间的一点 点 P 不与 A B 两点重合 M 为 PA 的中点 N 为 PB 的中点 当点 P 在线段 AB 上运动时 线段 MN 的长度是否发生改变 若不变 请求 出线段 MN 的长 若改变 请说明理由 3 若有理数 a b c 在数轴上的位置如图所示 且 d a b 2 b a 2c 5 试求 7 d 2c 2 2 d 2c 5 d 2c 2 3 d 2c 的值 9 已知多项式 含字母的项的系数为 多项式的次数为 常数项为 且 32 56m n abc 分别是点在数轴上对应的数 a b c A B C 1 求的值 并在数轴上标出 a b c A B C 2 若甲 乙 丙三个动点分别从三点同时出发沿着数轴负方向运动 它们的速 A B C 度分别是 单位长度 秒 通过计算说明 当出发秒时甲 乙 丙谁离原点最 11 2 24 44 7 远 3 在数轴上点左侧是否存在一点 使到的距离和等于 若存在 请CPP A B C20 直接指出点对应的数 若不存在 请说明理由 P 10 已知点 A 在数轴上对应的数为 a 点 B 对应的数为 b 且 a 4 b 1 2 0 A B 之间 的距离记作 AB 定义 AB a b 1 求线段 AB 的长 AB 2 设点 P 在数轴上对应的数为 x 当 PA PB 3 时 求 x 的值 3 若点 P 在 A 的左侧 M N 分别是 PA PB 的中点 当 P 在 A 的左侧移动时 下列两个结 论 PM PN 的值不变 PN PM 的值不变 其中只有一个结论正确 请判断出正 确结论 并求其值 11 如图 已知数轴上点 A 表示的数是 a B 是数轴上的一点 且 AB 的长为 b 动点 P 从 点 A 出发 以每秒 6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 设运动时间为 t t 0 秒 1 写出数轴上点 B 表示的数是 点 P 表示的数是 用含 a b t 的 代数式表示 M 为 AP 的中点 N 为 PB 的中点 点 P 在运动的过程中 线段 MN 的长度是否发生变 化 若变化 请说明理由 若不变 请你画出图形 并求出线段 MN 的长 2 若 b 10 动点 Q 从点 A 出发 以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 动 点 R 从点 B 出发 以每秒 4 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 若 P Q R 三动点 同时出发 当点 P 追上点 R 后 立即返回向点 Q 运动 遇到点 Q 后则停止运动 那么点 P 从开始运动到停止运动 行驶的路程是多少个单位长度 拓展题 1 1 点 A1 A2 A3 An n 为正整数 都在数轴上 点 A1在原点 O 的左边 且 A1O 1 点 A2在点 A1的右边 且 A2A1 2 点 A3在点 A2的左边 且 A3A2 3 点 A4在点 A3的右边 且 A4A3 4 依照上述规律点 A2008 A2009所表示的数分别为 A 2008 2009 B 2008 2009 C 1004 1005 D 1004 1004 分析分析 如图 点 A1表示的数为 1 点 A2表示的数为 1 2 1 点 A3表示的数为 1 2 3 2 点 A4表示的数为 1 2 3 4 2 点 A2008表示的数为 1 2 3 4 2007 2008 1004 点 A2009表示的数为 1 2 3 4 2007 2008 2009 1005 点评点评 数轴上一个点表示的数为 a 向左运动 b 个单位后表示的数为 a b 向右运动 b 个单位后所表示的数为 a b 运用这一特征探究变化规律时 要注意在循环往返运动过程 中的方向变化 2 电子跳蚤落在数轴上的某点 K0 第一步从 K0 向左跳一个单位到 K1 第二步由 K1向右跳 2 个单位到 K2 第三步由 K2向左跳 3 个单位到 K3 第四步由 K3向右跳 4 个单位到 K4 按 以上规律跳了 100 步时 电子跳蚤落在数轴上的 K100所表示的数恰是 19 94 试求电子跳 蚤的初始位置 K0点表示的数 提示 设 K0点表示的数为 x 用含 x 的式子表示出 K100所表示的数 建立方程 求 得 x 30 06 2 题答案 考点 一元一次方程的应用 专题 规律型 分析 易得每跳动 2 次 向右平移 1 个单位 跳动 100 次 相当于在原数的基础上加了 50 相应的等量关系为 原数字 50 19 94 解答 解 设 k0 点所对应的数为 19 94 100 99 98 97 6 5 4 3 2 1 30 06 故答案为 30 06 点评 考查一元一次方程的应用 得到每跳动 2 次相对于原数的规律是解决本题的突破 点 3 如图 点 A 从原点出发沿数轴向左运动 同时 点 B 也从原点出发沿数轴向右运动 3 秒后 两点相距 15 个单位长度 已知点 B 的速度是点 A 的速度的 4 倍 速度单位 单位长 度 秒 1 求出点 A 点 B 运动的速度 并在数轴上标出 A B 两点从原点出发运动 3 秒时 的位置 4 分 3 若 A B 两点从 1 中的位置开始 仍以原来的速度同时沿数轴向左运动 几秒时 原点恰好处在点 A 点 B 的正中间 4 分 4 如图 有一个玩具火车放置在数轴上 若将火车在数轴上水平移动 则当 A 点移动到 B 点时 B 点所对应的数为 12 当 B 点移动到 A 点时 A 点所对应的数为 3