流体力学教案第12章气体的二维超声速速流动

第十二章第十二章 气体的二维超声速流动气体的二维超声速流动 在航空和动力工程等实际问题中 除已讨论过的一维流动问题外 还常遇到三维流动 问题 一般说来 三维流动问题的分析和处理是比较困难的 因此 往往通过对二维流动 的研究来进一步了解可压缩流体流动的主要现象和特征 为处理三维流动问题奠定基础 本章主要讨论超声速流动的马赫波 膨胀波和斜激波等可压缩流体流动的最重要的物理现 象 并研究其特征和处理方法 这在气体动力学中具有典型意义 12 1 空间流场中微弱扰动波的传播空间流场中微弱扰动波的传播 通过对不同速度的流场中微弱扰动波的传播情况说明超声速流动和亚声速流动的差别 1 静止流场 静止流场 图 12 1 微弱扰动在流场中的传播 4a3a 2a a O 0 a 4a 3a 2a a O a 2 3 4 马赫锥 A B d 4a 3a 2a a O a 2 3 4 马赫锥 A B c 在静止流场中 空间某点存在一微弱扰动源 它所产生的扰动波以声速 a 向四周传播 形成以扰动源所在位置 O 为中心的同心球面波 如图 12 1a 所示 如果不考虑扰动波的传 播过程中的损失 随着时间的延长 扰动必将传遍整个流场 2 均匀亚声速流场 均匀亚声速流场 在均匀亚声速流场中 处于某一固定点上有一小扰动源 它所产生的扰动波如图 12 1b 所示 由于流体本身以速度 V 运动 故扰动波传播的绝对速度应是两个速度的矢量和 由于 Va 扰动波面由自扰 动源点出发的锥面的一系列内切球面所组成 通常称此锥为马赫锥 显然 扰动只能在马 赫锥内传播 永远不会传播到马赫锥以外的空间 马赫锥的半顶角称为马赫角 用 表示 由图可容易看出 它与马赫数的关系为 1 MV a1 sin 马赫锥通常也称为马赫波 马赫波就是超声速气流受到微弱扰动时 所形成的已受扰 动影响和未受扰动影响的分界面 三维流场形成锥形波面 二维流场则形成相交的平面波 而不呈锥形 故称马赫波比马赫锥具有更广泛的意义 穿过马赫波 气流状态参数发生微 变化 其变化过程为等熵过程 12 2 超声速气流的小角折转流动超声速气流的小角折转流动 均匀超声速气流沿平壁流动 在 O 点折转一小角度 如图 12 2 所示 由于壁面存 在折角 必然对气流产生扰动 折角即为一扰动源 根据上节讨论的超声速气流中扰动传 播特征 扰动将在由折转点 O 所发生的马赫波的下游区域内传播 马赫波上游的区域不 受扰动的影响 经马赫波 气流的速度由 V 变为 V 气流的方向也由水平方向折转一V 个小角度 沿平行于折转后的壁面的方向流动 为求出折角与速度变化量之间的关系 我们建立沿马赫波方向的动量方程 V 1 0coscos m VVVQ 式中 为穿过马赫波每单位面积上的质量流量 展开上式 考虑到 sin nm VVQ 故 并略去高阶小量 得 d dsin 1cos sin cosd d V V 由于 故 代入式中 得 M 1 sin 1 sin cos 2 M 2 V V M d 1d 2 因为超声速流动 M 1 根号下的值永远为正 故当 0 时 dV 0 即绕凸钝角流 d 为加速流动 或膨胀性流动 对应的马赫波为膨胀性马赫波 若 0 则 dV 1 图 12 4 物体头部的斜激波 M2 二 斜激波前后气流参数的关系二 斜激波前后气流参数的关系 平面超声速气流中存在一固定斜激波 见图 12 6 激波前气流参数分别为 1 V 1 p 和 激波后为 和 将激波前后的速度分解为与波面垂直的分速度 1 1 T 2 V 2 p 2 2 T 和 以及与波面平行的分速度和 1n V 2n V 1t V 2t V 由于通过激波波面的流量与沿波面的切向分速度和无关 故连续方程为 1t V 2t V 1 2n21n1 VV 切向动量方程为 2 0 t 1n11t2n22 VVVV 由上述两方程可得 3 tt 1t2 VVV 该式表明 斜激波前后的切向速度相同 这样 当气流穿过激波时 只有法向速度发 生突变 因此 可以将斜激波看成是法向速度的正激波 波前速度 波后速度 sin 11n VV 为 以 M1sin 代替正激波关系式 便可得斜激波前后气流参数间的关 sin 22n VV 系 4 1sin 1 2 1 22 1 1 2 M k k p p 5 2sin 1 sin1 22 1 22 1 2n n1 1 2 Mk Mk V V 1t V n1 V 2n V 2t V 1 V 2 V 图 12 6 斜激波前后的速度 6 1sin sin 1 1sin 1 2 1 22 1 22 1 2 22 1 1 2 M Mk kMk T T 7 0102 TT 8 1 1 22 1 1 22 1 22 1 01 02 01 02 1 sin2 1 sin 1 sin 1 kk k kkM k Mk Mk p p 9 1 1 sin 1 2 sin 1 2sin 1 ln 22 1 22 1 22 1 V22 k k M k k Mk Mk CSS k 斜激波前后的马赫数关系类似正激波 但需以 M2n M2sin 和 M1n M1sin 分别代 替式中的 M2和 M1而得到 10 1 sin2 2sin 1 sin 22 1 22 122 2 kkM Mk M 对于兰金一雨贡钮式 因其中不包含马赫数 也不包含激波倾角 所以对正激波 和斜激波都适用 三 激波倾角三 激波倾角 与气流折角与气流折角 的关系的关系 由图 12 6 的几何关系知 1t 1n tg V V t V V 2 n2 tg 又知 故可得到 2t1t VV n1 n2 tg tg V V 利用 5 式 得 cossin1 2sin1 tg 2 1 22 1 Mk Mk 整理后 可以得到 11 1 sin 2 1 1sin ctgtg 22 1 22 1 k M M 为便于应用 将关系式 11 绘成曲线 如图 12 7 所示 由图可以看出 曲线为 双值函数 1 在下面两种情况下 气流折角 0 当 即时 也就是激波倾角等于马赫角时 激波强度为无01sin 22 M 1 1 sin M 限小 激波成为马赫波 当 ctg 0 即 时 这是正激波情况 2 可见 马赫波和正激波都是斜激波的两种极限情况 2 对于每一个给定的马赫数 M1 气流偏转角都存在一个极大值 max 3 对于每一个给定的马赫数 M1 当时 对应有两个 值 小值对应于较 max 0 弱的激波 大值对应于较强激波 4 波后的气流马赫数 M2 可能小于 1 也可能大于 1 它取决于激波倾角 气流 折角和马赫数 M1 四 脱体激波四 脱体激波 由图 12 7 可以看出 对于确定的来流马赫数 M1 对应一个最大的偏转角 当壁 max 面偏转角时 在图中的曲线上没有交点 在楔尖处不存在斜激波 而是在前部一 max 定距离处形成一道曲线形激波 如图 12 8 所示 这就是脱体激波 脱体激波的形状和位 置取决于物体的几何形状 下游条件和来流马赫数 脱体波的中间部分为正激波 经正激 波后的流动为亚声速流动 由中间向两侧延伸的激波逐渐倾斜 激波倾角逐渐减少 激波 强度逐渐减弱 故脱体激波为非等强度激波 超声速气流中的钝头物体 如图 12 8c 所示 只要来流马赫数大于 1 必然在其前方 出现脱体激波 12 5 拉伐尔喷管的非设计工况流动分析拉伐尔喷管的非设计工况流动分析 在变截面流一节中 已讨论过气体在拉伐尔喷管中按设计工况流动时 背压必须 b p 等于计算出口压强 否则 得不到予计的超声速气流 见图 12 9 若时 喷管 e1 p e1b pp 内为完全亚声速流动 下面我们讨论当背压在和之间的情况 b p e1 p e2 p 当出口背压略低于 如为时 在喉部下游某处产生一正激波 激波后气流为 b p 2e p f p 亚声速 随通道截面的扩张而减速 增压 在出口压强达到 随着背压的降低 激 f p b p 波向下游移动 直到当时 激波移动到管口处 若管口压强再降低 激波将逐步 db pp 变成斜激波 此外 如果管口外面的环境压强 背压 低于时 将会在管口外继续膨胀 形成如 e1 p 图所示的膨胀波 后面还会发生波