对数函数及其性质

对数函数对数函数 优秀教案优秀教案 一 教材分析一 教材分析 对数函数是在学习指数函数 对数的基础上引入的 由此我制定了这样的教学目标 1 通过指数与对数的联系 掌握对数函数的概念 图象 性质并能简单应用 2 在教学过程中 通过数形结合 分类讨论等数学思想方法 发展学生的逻辑思维 能力 提高他们的信息检查和整合能力 教学教学重点重点 对数函数的概念 图象和性质 教学难点教学难点 由对数函数与指数函数互为反函数的关系 利用指数函数图像和性质得 到对数函数的图像和性质 二 指导思想和教学方法二 指导思想和教学方法 利用多媒体辅助教学 通过讨论启发学生归纳对数函数的概念图像及性质 同时在 教学中渗透 类比联想 数形结合 及 分类讨论 的数学思想方法 三 教学过程三 教学过程 1 1 提出问题 提出问题 我们来看下上节课的 2 1 2 的例 8 截止到 1999 年底 我国人口约 13 亿 如果今 后能将人口年平均增长率控制在 1 那么经过 20 年后 我国人口数最多为多少 1999 年底 我国人口约 13 亿 经过 1 年 即 2000 年 人口数为 13 13 1 13 1 1 亿 经过 2 年 即 2001 年 人口数为 13 1 1 13 1 1 1 13 1 1 2 亿 经过 3 年 即 2002 年 人口数为 13 1 1 2 13 1 1 2 1 13 1 1 3 亿 所以经过 x 年 人口数为 y 亿 x 11 13 x 01 1 13 当 x 20 时 亿 1601 1 13 20 y 所以经过 20 年后我国人口数最多为 16 亿 咱们上节课的例题 我们能从关系式中 算出任意一个年头 x 的人口总 x y01 1 13 数 那反之 如果问 哪一年的人口数可达到 18 亿 20 亿 30 亿 该如何解决 上述问题实际上就是从 中分别求出 x 即已知 xxx 01 1 13 30 01 1 13 20 01 1 13 18 底数和幂的值 求指数这是我们这节课将要学习的对数函数问题 通过我们学习的对数表示方法 咱们可以把上面的式子表示成 其中xy 01 1 log y 人口数 13 y 是自变量 x 是 y 的函数 但习惯上 用 x 表示自变量 y 表示它的函 数 因此对上式进行改写 xy 01 1 log 说明 这里 以学生熟悉的问题为背景 以旧有知识为基点 顺利切入学生的最近 发展区 使学生亲历了对数函数模型的形成过程 初步理解对数函数的概念 感受研究 对数函数的意义 2 2 探究新知 探究新知 根据上面的讨论 引出对数函数的定义 一般地 函数叫做log 0 1 a yx aa 对数函数 它的定义域是 0 在类比联想的基础上 进行以下探究 探究探究 1 1 函数 函数与函数与函数的定义域 值域之间有什么关系 的定义域 值域之间有什么关系 logayx x ya 0 1 aa 说明 定义域 值域是函数的两大要素 再加上对数函数和指数函数的关系 因此 有必要对此问题进行讨论 这里 让学生探究并汇报问题的结果 的定义域和logayx 值域分别是的值域和定义域 显示 通过比较 进一步感受指数函数与对数函 x ya 数的内在联系 探究探究 2 2 描点作图 画出下列两组函数的图象 并观察各组函数的图象 给出它们 描点作图 画出下列两组函数的图象 并观察各组函数的图象 给出它们 之间的关系之间的关系 2 1 2 log x yyx 1 2 1 2 log 2 x yyx 说明 图像是研究 验证性质的工具之一 也是函数的表示方法之一 这里 要求 学生自主绘出 的图像 指数函数的图像给出 目的有三 一是培 2 logyx 1 2 logyx 养学生的动手能力 二是让学生进一步感受指数函数与对数函数的关系 三是为下面学 生探索对数函数的性质奠定基础 在学生观察 讨论或动手翻折的基础上得出图像之间 的关系 关于直线关于直线对称 对称 并由特殊到一般 得出 显示 当时 函数yx 0 1aa 与的图像关于直线对称 x ya logayx yx 根据探究 1 2 的讨论 适时给出反函数的概念 不展开讲述 指出指数函数和对 数函数互为反函数 我们把称为的反函数 称为的反函 x ya logayx logayx x ya 数 即它们互为反函数 一般地 函数的反函数记作 yf x 1 yfx 探究探究 3 3 观察图形 类比联想指数函数的性质 你发现了对数函数的那些性质 观察图形 类比联想指数函数的性质 你发现了对数函数的那些性质 说明 这是本节课的重点 教学中 我准备这样处理 1 留给学生足够的时间进行探索 交流 讨论 探索性质可以借助学生自己绘制 的图像 也可利用老师给出的图像 显示 2 引导学生在类比联想指数函数的图像特征和函数性质基础上 由特殊到一般 充分发表意见 并与周围的人交流思维的过程和结果 通过观察 分析 类比 交流讨 论 使原来相互矛盾的意见 模糊不清的知识得以明朗 一致 3 让学生把自己总结出的结果和图像 整合整合 成知识图表 使学生头脑中的知识 进一步条理化 系统化 表 对数函数的图像与性质 1a 01a 图象 0 1 0 x y 0 1 0 x y 图1 图象的位置 在y轴的右侧 2 图象过定点 1 0 3 图象向上无限延伸 向下无限接近 y轴 3 图象向下无限延伸 向上无限接近 y轴 4 随着x增大 图象是上升的4 随着x增大 图象是下降的 象 特 征5 时 函数图象在x轴的上方 1x 时 函数的图象在x轴的下01x 方 5 时 函数图象在x轴的下方 1x 当时 函数的图象在x轴的01x 上方 定义域 0 值 域 R 单调性单调递增单调递减 函 数 性 质奇偶性非奇非偶 探究探究 4 4 再仔细观察对数函数图象 你还有其他新的发现吗 再仔细观察对数函数图象 你还有其他新的发现吗 在学生深入观察 讨论 交流的基础上 总结自己的发现 这里主要指出两点发现 1 从特殊到一般 得出 函数与函数的图象关于 x 轴对称 logayx 1 log a yx 2 2 底数 a 的变化对对数函数图象的影响 当 a 1 时 a 越大 图像在第一象 限内曲线越靠近 x 轴 在第四象限内的曲线越靠近 y 轴 当 0 a 1 时 a 越小 图像在第四象限内曲线越靠近 x 轴 在第一象限内的曲线越 靠近 y 轴 对第二个发现 在学生充分发言后 教师通过课件演示 进一步印证学生的发现 并给学生更加直观的感受 3 3 例题讲述 例题讲述 例 1 求下列函数的定义域 1 2 0 2 log 4 yx log1 0 1 a yxaa 说明 通过例 1 要让学生明确 求解对数函数定义域问题的关键是要抓住 真数大真数大 于零于零 当真数为某一代数式时 可将其看作一个整体单独提出来求其大于零的解集即该 函数的定义域 例 2 利用对数函数的性质 比较下列各组数中两个数的大小 log 23 4 log 28 5 log 0 31 8 log 0 32 7 log a5 1 log a5 9 a 0 a 1 例 3 比较下列各组中两个值的大小 log 67 log 7 6 log 3 log 2 0 8 说明 例 2 例 3 考察学生利用对数函数性质解决问题的能力 讲解时 先让学生回 顾利用指数函数比较大小时的处理方法 然后引导学生采用类似的方法解决本题 即 即 如果两个对数值同底 应构造一个同底的对数函数 利用它的单调性直接判断 如果底如果两个对数值同底 应构造一个同底的对数函数 利用它的单调性直接判断 如果底 不同 应构造两个对数函数 借助两个对数函数的单调性和中间值不同 应构造两个对数函数 借助两个对数函数的单调性和中间值 1 1 或或 0 0 进行判进行判 断 断 本题解决后 让学生反思明白 要想利用性质解决问题 关键要做到 脑中有图 以 形 促 数 同时 形成这类问题的一般解题流程 识别识别 判断判断 比较比较 其中 识别 指 模式识别模式识别 这也是波利亚所提倡的一种重要数学解题思想 在教学中 渗透这样的数学思想 是发展学生数学素质的一项重要的基本训练 4 4 巩固练习 巩固练习 根据课堂具体情况 处理课后相关练习题 5 5 课堂小结 课堂小结 主要请学生