高中数学2009年7月真题详解

高等数学 一 试卷 第 1 页 共 9 页 全国 2009 年 7 月高等教育自学考试 高等数学 一 试题 课程代码 00020 一 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题 2 分 共 10 分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的 括号内 错选 多选或未选均无分 1 函数 f x 是 2 1 sin2 x x A 奇函数B 偶函数 C 有界函数D 周期函数 知识点 函数有界性 答案 C 解 2 2sin 2sin2sin3 1 x f xxx x 2 设 f x 2x 则 f x A 2x ln22B 2x ln4 C 2x 2D 2x 4 知识点 高阶导数 答案 解 f x 2x ln f x 2x ln22 3 函数 f x x 的极大值点为 3 3 x A x 3B x 1 C x 1D x 3 知识点 函数极值 答案 解 高等数学 一 试卷 第 2 页 共 9 页 2 12 11 11 11 22 1 10 11 220 220 1 xx xx fxx xx fxx fxx x 令 解得驻点 是函数的极大值点 4 下列反常积分收敛的是 A B 1 d x x 1 d x x C D 1 1 d x x 1 2 1 d x x 知识点 反常积分 答案 解 1 1 1 1 1 1 21 1 22 lim2 lim 1 lnlim ln0 lim ln ln 1lim ln 1ln2 lim ln 1 1 arctanlimarctan 14244 xx xx xx x dx xxx x dxxxx x dx xxx x dx xx x 而不存在 积分发散 而不存在 积分发散 而不存在 积分发散 5 正弦曲线的一段 y sin x 与 x 轴所围平面图形的面积为 x0 A 1B 2 C 3D 4 知识点 平面图形的面积 答案 B 解 0 0 sin dcos2x xx 二 填空题 本大题共 10 小题 每小题 3 分 共 30 分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 6 设 f x 3x g x x2 则函数 g f x f g x 高等数学 一 试卷 第 3 页 共 9 页 知识点 复合函数 答案 2 2 33 xx 解 g f x f g x 222 2 3333 xxxx 7 函数 f x 间断点的个数为 xxx 23 1 知识点 间断点 答案 1 解 32 0 1 lim x f x f x xxx 是一个初等函数 除x 0外有定义 由于 从而x 0是的间断点 该函数只有这一个间断点 8 极限 x x x 2 0 21 lim 知识点 函数极限 答案 4 e 解 4 21 4 2 00 lim 1 2 lim 1 2 e xx xx xx 9 曲线 y x ln x 在点 1 1 处的切线方程为 知识点 曲线切线方程 答案 21yx 解 1 1 1 12 12 1 21 x x y x yx yx 切线方程为 即 高等数学 一 试卷 第 4 页 共 9 页 10 设函数 y ln x 则它的弹性函数 Ex Ey 知识点 弹性函数 答案 11 ln xy 或 解 11 lnln Eyxx y Exyx xx 11 函数 f x x2e x的单调增加区间为 知识点 函数单调性判定 答案 或 0 2 0 2 解 2 22 0 0 2 xxx fxxex exex 令 解得0 x 2 所以原函数的单调增加区间为 12 不定积分 32 d x x 知识点 不定积分 答案 1 ln 23 2 xC 解 d 23d11 ln 23 232232 xx xC xx 13 设 f x 连续且 则 f x x xxttf 0 22 cosd 知识点 变限积分的导数 答案 2sin2xx 解 22 0 d cos 22cos sin2sin2 x f xf ttxxxxxxx 14 微分方程 xdy ydx 2dy 的通解为 知识点 可分离变量微分方程 答案 2 yC x 高等数学 一 试卷 第 5 页 共 9 页 解 2 2 lnln 2 ln 2 dydx yx dydx yx yxC yC x 原方程变形为 方程两边同时积分得 即 则 15 设 z xexy 则 yx z 2 知识点 偏导数 答案 2 2 xy exx y 解 2 22 2 xyxy xyxyxyxy z exye x z xexex yeexx y x y 三 计算题 一 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 16 设函数 f x 在 x 0 处连续 试求常数 k 013 0e xx xk x 知识点 函数连续性 答案 2 解 高等数学 一 试卷 第 6 页 共 9 页 00 00 lim lim 311 lim lime1 0 1 0 11 2 xx x xx f xx f xkk f f x k k 又在x处连续 17 求函数 f x x arctan的导数 x x 2 sin e x 知识点 函数导数 答案 3 esin2cos tan sin2 1 x xxx arcx xx 解 2 2 4 3 e tan sin e sin2e sin cos1 tan sin21 esin2cos tan sin2 1 x xx x fxxarcx x xxx arcxx xxx xxx arcx xx 18 求极限 xx x x x sine lim 2 0 知识点 函数极限 答案 1 解 解 2 00 0 2 limlim esineecos 2 lim1 eeesin xxx xx xxx x xx xxxx xx 高等数学 一 试卷 第 7 页 共 9 页 19 计算定积分 2 0 2 d2sinxx 知识点 定积分 答案 解 22 2 2 0 00 200 22 sin2 dsin dsincos t x x xtt tttt 令 t 则x dx t dt 当x 时 t 当x 时 t 20 求不定积分dx 2 1 1 x x 知识点 不定积分 答案 2 1 arctanln 1 2 xxC 解 22 222 11111 1arctanln 1 112 12 x dxdxdxxxC xxx 四 计算题 二 本大题共 3 小题 每小题 7 分 共 21 分 21 求函数 f x x3 6x2 9x 4 在闭区间 0 2 上的最大值和最小值 知识点 函数的最值 答案 0 4 解 2 12 31293310 31 0 4 1 0 2 2 3 4 0 2 04 fxxxxx xx ffff 令 解得驻点 又 原函数在上的最大值为 最小值为 22 已知 f 3x 2 2xe 3x 计算 5 2 d xxf 知识点 复合函数与定积分 答案 3 2 1 4 3 e 解 解 高等数学 一 试卷 第 8 页 共 9 页 2 553 2 220 3 3 0 222 32 33 22 d2d2d 33 22 11 4 33 t xt t tt xtf te f xxxextet tee 令 则x 所以 23 计算二重积分 其中 D 是由直线 y x x 1 以及 x 轴所围的区域 D yxyxdd 2 知识点 二重积分 答案 1 10 解 1 111 245 222 0000 00 1 1 111 325 22 00 0 1 d d 221010 11 d d 332510 x x D Dy y yxx x y x yxydy dxxdxdx xyy x y x yyx dx dyydy 五 应用题 本大题 9 分 24 已知矩形相邻两边的长度分别为 x y 其周长为 4 将矩形绕其一边旋转一周得一旋转体 如图 问当 x y 各为多少时可使旋转体的体积最大 题 24 图 知识点 函数最值 答案 4 3 2 3 解 高等数学 一 试卷 第 9 页 共 9 页 2 223 2 4 4 2 4 2 2 2 4 430 0 460 42 x x xy xy Vx y Vxxxx V