高考数学常用公式、定理、结论109条

第 1 页 共 9 页 高考数学常用公式高考数学常用公式 1 德摩根公式 UUUUUU CABC AC B CABC AC B 2 UU ABAABBABC BC A U AC B U C ABR 3 card ABcardAcardBcard AB card ABCcardAcardBcardCcard ABcard BCcard CAcard ABC 4 二次函数的解析式的三种形式 一般式 2 0 f xaxbxc a 顶点式 零点式 2 0 f xa xhk a 12 0 f xa xxxxa 5 设那么 2121 xxbaxx 上是增函数 1212 0 xxf xf x 12 12 0 f xf x f xa b xx 在 上是减函数 1212 0 xxf xf x 12 12 0 f xf x f xa b xx 在 设函数在某个区间内可导 如果 则为增函数 如果 则为减函 xfy 0 x f xf0 x f xf 数 6 函数的图象的对称性 函数的图象关于直线对称 yf x yf x xa f axf ax 函数的图象关于直线对称 2 faxf x yf x 2 ab x f amxf bmx f abmxf mx 7 两个函数图象的对称性 函数与函数的图象关于直线 即轴 对称 函数 yf x yfx 0 x y 与函数的图象关于直线对称 函数和的 yf mxa yf bmx 2 ab x m xfy 1 xfy 图象关于直线 y x 对称 8 分数指数幂 且 且 1 m n nm a a 0 am nN 1n 1 m n m n a a 0 am nN 1n 9 log 0 1 0 b a NbaN aaN 10 对数的换底公式 推论 log log log m a m N N a loglog m n a a n bb m 11 数列的前 n 项的和为 1 1 1 2 n nn sn a ssn n a 12nn saaa 12 等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前 n 项和公式 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 13 等比数列的通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前 n 项的和公式或 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 14 等比差数列 的通项公式为 n a 11 0 nn aqad ab q 第 2 页 共 9 页 其前 n 项和公式为 1 1 1 1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 1 1 1 1 111 n n nbn nd q s dqd bn q qqq 15 分期付款 按揭贷款 每次还款元 贷款元 次还清 每期利率为 1 1 1 n n abb x b anb 16 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 17 正弦 余弦的诱导公式 2 1 2 1 sin sin 2 1 s n n n co 2 1 2 1 s s 2 1 sin n n co n co 18 和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan 平方正弦公式 22 sin sin sinsin 22 cos cos cossin 辅助角所在象限由点的象限决定 sincosab 22 sin ab a btan b a 19 二倍角公式 sin2sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 20 三角函数的周期公式 函数 x R 及函数 x R A 为常数 且sin yx cos yx A 0 0 的周期 函数 A 为常数 且 2 T tan yx 2 xkkZ A 0 0 的周期 T 21 正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 22 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 23 面积定理 1 分别表示 a b c 边上的高 111 222 abc Sahbhch abc hhh 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 3 22 1 2 OAB SOAOBOA OB 24 三角形内角和定理 在 ABC 中 有 222 CAB ABCCAB 222 CAB 25 平面两点间的距离公式 A B A B d ABAB AB 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy n 为偶数 n 为奇数 n 为偶数 n 为奇数 第 3 页 共 9 页 26 向量的平行与垂直 设 a a b b 且 b b0 0 则 11 x y 22 xy a a b bb b a a A 1221 0 x yx y a ab ab a0 0 a a b b 0 1212 0 x xy y 27 线段的定比分公式 设 是线段的分点 是实数 且 111 P x y 222 P xy P x y 12 PP 12 PPPP 则 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 28 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 则 ABC 的重 11 A x y 22 B x y 33 C x y 心的坐标是 123123 33 xxxyyy G 29 点的平移公式 图形 F 上的任意一点 P x y 在平移后 xxhxxh yykyyk OPOPPP 图形上的对应点为 且的坐标为 F P x y PP h k 30 常用不等式 1 当且仅当 a b 时取 号 a bR 22 2abab 2 当且仅当 a b 时取 号 a bR 2 ab ab 3 333 3 0 0 0 abcabc abc 4 柯西不等式 22222 abcdacbda b c dR 5 bababa 31 极值定理 已知都是正数 则有yx 1 如果积是定值 那么当时和有最小值 xypyx yx p2 2 如果和是定值 那么当时积有最大值 yx syx xy 2 4 1 s 32 一元二次不等式 如果与同号 则其 2 0 0 axbxc 或 2 0 40 abac a 2 axbxc 解集在两根之外 如果与异号 则其解集在两根之间 简言之 同号两根之外 异号两根a 2 axbxc 之间 121212 0 xxxxxxxxx 121212 0 xxxxxxxxxx 或 33 含有绝对值的不等式 当 a 0 时 有 或 2 2 xaxaaxa 22 xaxaxa xa 34 无理不等式 1 0 0 f x f xg xg x f xg x 2 2 0 0 0 0 f x f x f xg xg x g x f xg x 或 第 4 页 共 9 页 3 2 0 0 f x f xg xg x f xg x 35 指数不等式与对数不等式 1 当时 1a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 2 当时 01a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 36 斜率公式 21 21 yy k xx 111 P x y 222 P xy 37 直线的四种方程 1 点斜式 直线 过点 且斜率为 11 yyk xx l 111 P x yk 2 斜截式 b 为直线 在 y 轴上的截距 ykxb l 3 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 12 xx 4 一般式 其中 A B 不同时为 0 0AxByC 38 两条直线的平行和垂直 1 若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb A 1212 1llk k 2 若 且 A1 A2 B1 B2都不为零 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 111 12 222 ABC ll ABC A 121212 0llA AB B 39 夹角公式 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线时 直线 l1与 l2的夹角是 12 ll 2 40 点到直线的距离 点 直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 41 圆的四种方程 1 圆的标准方程 222 xaybr 2 圆的一般方程 0 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 3 圆的参数方程 cos sin xar ybr 4 圆的直径式方程 圆的直径的端点是 1212 0 xxxxyyyy 11 A x y 22 B xy 42 椭圆的参数方程是 22 22 1 0 xy ab ab cos sin xa yb 43 椭圆焦半径公式 22 22 1 0 xy ab ab 2 1 c a xePF 2 2 x c a ePF 第 5 页 共 9 页 44 双曲线的焦半径公式 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 1 a PFe x c 2 2 a PFex c 45 抛物线上的动点可设为 P或 P 其中 pxy2 2 2 2 y p y 或 2 2 2 ptptP x y 2 2ypx 46 二次函数的图象是抛物线 1 顶点坐标为 2 22 4 24 bacb yaxbxca x aa 0 a 2 焦点的坐标为 3 准线方程是 2 4 24 bacb aa 2 41 24 bacb aa 2 41 4 acb y a 47 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 22 1212 ABxxyy 弦端点 A 2222 211212 1 1tan 1tABkxxxxyyco 2211 yxByx 由方程 消去 y 得到 为直线的倾斜角 为直线的斜率 0 y x F bkxy 0 2 cbxax0 ABk 48 圆锥曲线的两类对称问题 1 曲线关于点成中心对称的曲线是 0F x y 00 P xy 00 2 2 0Fx xyy 2 曲线关于直线成轴对称的曲线是 0F x y 0AxByC 2222 2 2 0 A AxByCB AxByC F xy ABAB 49 四线 一方程 对于一般的二次曲线 用代 用代 22 0AxBxyCyDxEyF 0 x x 2 x 0 y y 用代 用代 用代即得方程 2 y 00 2 x yxy xy 0 2 xx x 0 2 yy y 曲线的切线 切点弦 中点弦 弦中点方程 0000 00 0 222 x yxyxxyy Ax xBCy yDEF 均是此方程得到 50 共线向量定理 对空间任意两个向量 a b b 0 a b存在实数 使 a b 51 对空间任一点 O 和不共线的三点 A B C 满足 OPxOAyOBzOC 则四点 P A B C 是共面 1xyz 52 空间两个向量的夹角公式 cos a a b b a a b b 1 1223 3 222222 123123 aba ba b aaabbb 123 a a a 123 b b b 53 直线与平面所成角 为平面的法向量 ABsin AB m arc AB m m 54 二面角的平面角或 为平面 的法向量 l cos m n arc m n cos m n arc m n m n 55 设 AC 是 内的任一条直线 且 BC AC 垂足为 C 又设 AO 与 AB 所成的角为 AB 与 AC 所成的角为 1 AO 与 AC 所成的角为 则 2 12 coscoscos 56 若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 与二面角的棱所成的角 1 2 是 则有 当且 2222 1212 sinsinsinsin2sinsincos 1212 180 仅当时等号成立 90 57 空间两点间的距离公式 若 A B 则 111 x y z 222 xyz 第 6 页 共 9 页 A B d ABAB AB 222 212121 xxyyzz 58 点到直线 距离 点在直线 上 直线 的方向向量 a a 向量 b b Ql 22 1 ha ba b a PllPA PQ 59 异面直线间的距离 是两异面直线 其公垂向量为 分别是上任一点 CD n d n 12 l ln CD 12 l l 为间的距离 d 12 l l 60 点到平面的距离 为平面的法向量 是经过面的一条斜线 B AB n d n n AB A 61 异面直线上两点距离公式 222 2cosddmnmn 两条异面直线 a b 所成的角为 其公垂线段的长度为 h 在直线 a b 上分别取两点 E F AA AEm AFn EFd 62 2222 123 llll 222 123 coscoscos1 长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 夹角分别为 立l 123 lll 123 几中长方体对角线长的公式是其特例 63 面积射影定理 平面多边形及其射影的面积分别是 它们所在平面所成锐二面角的 cos S S S S 为 64 欧拉定理 欧拉公式 简单多面体的顶点数 V 棱数 E 和面数 F 2VFE 65 球的半径是 R 则其体积是 其表面积是 3 4 3 VR 2 4SR 66 分类计数原理 加法原理 12n Nmmm 67 分步计数原理 乘法原理 12n Nmmm 68 排列数公式 N N 且 m n A 1 1 mnnn mn n nmmn 69 排列恒等式 1 2 3 1 1 mm nn AnmA 1 mm nn n AA nm 1 1 mm nn AnA 4 5 1 1 nnn nnn nAAA 1 1 mmm nnn AAmA 70 组合数公式 N N 且 m n C m n m m A Am mnnn 21 1 1 mnm n nmmn 71 组合数的两个性质 1 2 m n C mn n C m n C 1 m n C m n C 1 72 组合恒等式 1 2 3 1 1 mm nn nm CC m 1 mm nn n CC nm 1 1 mm nn n CC m 4 5 n r r n C 0 n 2 1 121 r n r n r r r r r r CCCCC 73 排列数与组合数的关系是 mm nn Am C 74 二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba 222110 二项展开式的通项公式 rrnr nr baCT 1 210 nr 75 等可能性事件的概率 m P A n 第 7 页 共 9 页 76 互斥事件 A B 分别发生的概率的和 P A B P A P B 77 个互斥事件分别发生的概率的和 P A1 A2 An P A1 P A2 P An n 78 独立事件 A B 同时发生的概率 P A B P A P B 79 n 个独立事件同时发生的概率 P A1 A2 An P A1 P A2 P An 80 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 1 kkn k nn P kC PP 81 离散型随机变量的分布列的两个性质 1 2 0 1 2 i Pi 12 1PP 82 数学期望 1 122nn Ex Px Px P 83 数学期望的性质 1 2 若 则 E abaEb B n pEnp 84 方差 222 1122nn DxEpxEpxEp 85 标准差 D 86 方差的性质 1 2 3 若 则 22 DEE 2 D aba D B n p 1 Dnpp 87 正态分布密度函数式中的实数 0 是参数 分别表示 2 2 26 1 2 6 x f xex 个体的平均数与标准差 88 标准正态分布密度函数 2 2 1 2 6 x f xex 89 对于 取值小于 x 的概率 2 N x F x 12201 xxPxxPxxxP 21 F xF x 21 xx 90 回归直线方程 其中 yabx 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y b xxxnx aybx 91 相关系数 1 22 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 1 2222 11 n ii i nn ii ii xxyy xnxyny r 1 且 r 越接近于 1 相关程度越大 r 越接近于 0 相关程度越小 92 特殊数列的极限 1 0 1 lim11 11 n n q qq qq 不存在或 2 1 10 1 10 0 lim kk kkt tt n ttk kt a nanaa kt bnb nbb kt 不存在 3 无穷等比数列 的和 1 1 1 lim 11 n n aq a S qq S 1 1 n a q 1q 第 8 页 共 9 页 93 这是函数极限存在的一个充要条件 0 lim xx f xa 00 lim lim xxxx f xf xa 94 函数的夹逼性定理 如果函数 f x g x h x 在点 x0的附近满足 1 2 常数 则 g xf xh x 00 lim lim xxxx g xah xa 0 lim xx f xa 本定理对于单侧极限和的情况仍然成立 x 95 两个重要的极限 1 2 e 2 718281845 0 sin lim1 x x x 1 lim 1 x x e x 96 在处的导数 或变化率或微商 xf 0 x 0 00 0 00 limlim x x xx f xxf xy fxy xx 97 瞬时速度 00 limlim tt ss tts t s t tt 98 瞬时加速度 00 limlim tt vv ttv t av t tt 99 在的导数 xf ba dydf fxy dxdx 00 limlim xx