2011高考数学课下练兵 立体几何

用心 爱心 专心 1 第七章第七章 立体几何立体几何 时间时间 120120 分钟 满分分钟 满分 150150 分分 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 2010 1 2010 浙大附中模拟浙大附中模拟 已知某空间几何体的主视图 侧视图 俯视图均为如图所示的等腰已知某空间几何体的主视图 侧视图 俯视图均为如图所示的等腰 直角三角形 如果直角三角形的直角边长为直角三角形 如果直角三角形的直角边长为 1 1 那么这个几何体的表面积为 那么这个几何体的表面积为 A A B B C C D D 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 解析 根据三视图可以画出该几何体的直观图如图所示 解析 根据三视图可以画出该几何体的直观图如图所示 CDCD垂直于等腰直角三角形垂直于等腰直角三角形ABCABC 所在平面 于是 易得所在平面 于是 易得S S S S ABCABC S S ACDACD S S CBDCBD 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 2 2 3 3 3 3 2 2 答案 答案 D D 2 2 已知 已知a a b b为两条不同的直线 为两条不同的直线 为两个不同的平面 且为两个不同的平面 且a a b b 则下列命 则下列命 题中为假命题的是题中为假命题的是 A A 若 若a a b b 则 则 B B 若 若 则 则a a b b C C 若 若a a b b相交 则相交 则 相交相交 D D 若 若 相交 则相交 则a a b b相交相交 解析 若解析 若 相交 则相交 则a a b b既可以是相交直线也可以是异面直线 既可以是相交直线也可以是异面直线 答案 答案 D D 3 3 设 设 是三个互不重合的平面 是三个互不重合的平面 m m n n是两条不重合的直线 则下列命题中正确是两条不重合的直线 则下列命题中正确 的是的是 A A 若 若 则 则 B B 若 若 m m m m 则 则m m C C 若 若 m m 则 则m m D D 若 若m m n n 则 则m m n n 解析 解析 A A 中中 与与 可以平行 可以平行 C C 中可能有中可能有m m D D 中中m m与与n n可以平行 可以平行 答案 答案 B B 4 4 已知两条不同直线 已知两条不同直线l l1 1和和l l2 2及平面及平面 则直线 则直线l l1 1 l l2 2的一个充分条件是的一个充分条件是 A A l l1 1 且且l l2 2 B B l l1 1 且且l l2 2 C C l l1 1 且且l l2 2 D D l l1 1 且且l l2 2 解析 根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行可知解析 根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行可知 B B 为为l l1 1 l l2 2的一个充分条件 的一个充分条件 答案 答案 B B 5 5 若平面 若平面 满足 满足 l l P P P P l l 则下列命题中的假命题为 则下列命题中的假命题为 A A 过点 过点P P垂直于平面垂直于平面 的直线平行于平面的直线平行于平面 用心 爱心 专心 2 B B 过点 过点P P在平面在平面 内作垂直于内作垂直于l l的直线必垂直于平面的直线必垂直于平面 C C 过点 过点P P垂直于平面垂直于平面 的直线在平面的直线在平面 内内 D D 过点 过点P P垂直于直线垂直于直线l l的直线在平面的直线在平面 内内 解析 根据面面垂直的性质定理 有选项解析 根据面面垂直的性质定理 有选项 B B C C 正确 对于正确 对于 A A 由于过点 由于过点P P垂直于平面垂直于平面 的直线必平行于的直线必平行于 内垂直于交线的直线 因此平行于平面内垂直于交线的直线 因此平行于平面 因此因此 A A 正确 正确 答案 答案 D D 6 6 用一些棱长是用一些棱长是 1 1 cmcm 的小正方体堆放成一个几何体 其正视图和俯视图如图所示 则这的小正方体堆放成一个几何体 其正视图和俯视图如图所示 则这 个几何体的体积最多是个几何体的体积最多是 A A 6 6 cmcm3 3 B B 7 7 cmcm3 3 C C 8 8 cmcm3 3 D D 9 9 cmcm3 3 解析 由正视图与俯视图可知小正方体最多有解析 由正视图与俯视图可知小正方体最多有 7 7 块 故体积最多为块 故体积最多为 7 7 cmcm3 3 答案 答案 B B 7 7 过平行六面体 过平行六面体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1任意两条棱的中点作直线 其中与平面任意两条棱的中点作直线 其中与平面DBBDBB1 1D D1 1平行的直线平行的直线 共有共有 A A 4 4 条条 B B 6 6 条条 C C 1212 条条 D D 8 8 条条 解析 如图 解析 如图 P P E E F F H H分别为分别为ADAD ABAB A A1 1B B1 1 A A1 1D D1 1的中点 则平面的中点 则平面PEFHPEFH 平面平面DBBDBB1 1D D1 1 所以 所以 四边形四边形 PEFHPEFH 的任意两顶点的连线都平行于平面的任意两顶点的连线都平行于平面DBBDBB1 1D D1 1 共共 6 6 条 同理在另一侧面也有条 同理在另一侧面也有 6 6 条 共条 共 1212 条 条 答案 答案 C C 8 8 2010 2010 皖中模拟皖中模拟 已知三棱锥的三个侧面两两垂直 三条侧棱长分别为已知三棱锥的三个侧面两两垂直 三条侧棱长分别为 4 4 4 4 7 7 若此 若此 三棱锥的各个顶点都在同一个球面上 则此球的表面积是三棱锥的各个顶点都在同一个球面上 则此球的表面积是 A A 8181 B B 3636 C C D D 144144 8 81 1 4 4 解析 补成长方体易求解析 补成长方体易求 4 4R R2 2 8181 S S 4 4 R R2 2 8181 答案 答案 A A 9 9 如图 在正方体 如图 在正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中 中 P P为棱为棱DCDC的中点 则的中点 则D D1 1P P与与BCBC1 1所在直线所成角的所在直线所成角的 余弦值等于余弦值等于 用心 爱心 专心 3 A A 4 5 B B C C D D 1 10 0 5 5 1 1 2 2 5 5 1 10 0 解析 过解析 过C1C1作作D1PD1P的平行线交的平行线交DCDC的延长线于点的延长线于点F F 连结 连结BFBF 则 则 BC1FBC1F或其补角等于异或其补角等于异 面直线面直线D1PD1P与与BC1BC1所成的角 设正方体的棱长为所成的角 设正方体的棱长为 1 1 由由P P为棱为棱DCDC的中点 则易得的中点 则易得BCBC1 1 2 C C1 1F F 2222 1515 1 1 2222 BF 在在 BC1BC1F F 中 中 cos cos BC1FBC1F 222 55 2 10 22 55 22 2 答案 答案 B B 10 10 理理 如图 在正三棱柱如图 在正三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中 已知中 已知ABAB 1 1 D D在棱在棱BBBB1 1上 且上 且BDBD 1 1 则 则ADAD与平与平 面面AAAA1 1C C1 1C C所成角的正弦值为所成角的正弦值为 A A B B C C D D 6 6 4 4 3 3 4 4 6 6 2 2 7 7 2 2 解析 如图 取解析 如图 取C C1 1A A1 1 CACA的中点的中点E E F F 连接 连接B B1 1E E与与BFBF 则 则B B1 1E E 平面平面CAACAA1 1C C1 1 过过D D作作DHDH B B1 1E E 则 则DHDH 平面平面CAACAA1 1C C1 1 连接 连接AHAH 则 则 DAHDAH为所求的为所求的 DHDH B B1 1E E 3 2 DADA 2 所以 所以 sin sin DAHDAH 6 4 DH DA 答案 答案 A A 文文 如右图所示 在立体图形如右图所示 在立体图形D ABCD ABC中 若中 若AB BCAB BC AD CDAD CD E E是是ACAC的中点 则下列命的中点 则下列命 题中正确的是题中正确的是 A A 平面 平面ABCABC 平面平面ABDABD B B 平面 平面ABDABD 平面平面BDCBDC C C 平面 平面ABCABC 平面平面BDEBDE 且平面 且平面ADCADC 平面平面BDEBDE D D 平面 平面ABCABC 平面平面ADCADC 且平面 且平面ADCADC 平面平面BDEBDE 用心 爱心 专心 4 解析 解析 BEBE ACAC DEDE ACAC ACAC 平面平面BDEBDE 故平面 故平面ABCABC 平面平面BDEBDE 平面 平面ADCADC 平面平面BDEBDE 答案 答案 C C 1111 已知直线 已知直线m m n n及平面及平面 其中 其中m m n n 那么在平面 那么在平面 内到两条直线内到两条直线m m n n距离相等的距离相等的 点的集合可能是 点的集合可能是 1 1 一条直线 一条直线 2 2 一个平面 一个平面 3 3 一个点 一个点 4 4 空集 其中正确的是空集 其中正确的是 A A 1 2 3 1 2 3 B B 1 4 1 4 C C 1 2 4 1 2 4 D D 2 4 2 4 解析 如图解析 如图 1 1 当直线 当直线m m或直线或直线n n在平面在平面 内时不可能有符合题意的点 如图内时不可能有符合题意的点 如图 2 2 直线 直线 m m n n到已知平面到已知平面 的距离相等且两直线所在平面与已知平面的距离相等且两直线所在平面与已知平面 垂直 则已知平面垂直 则已知平面 为符合题意的点 如图为符合题意的点 如图 3 3 直线 直线m m n n所在平面与已知平面所在平面与已知平面 平行 则符合题意的点为平行 则符合题意的点为 一条直线 从而选一条直线 从而选 C C 答案 答案 C C 1212 设有如下三个命题 设有如下三个命题 甲 相交直线甲 相交直线l l m m都在平面都在平面 内 并且都不在平面内 并且都不在平面 内 内 乙 直线乙 直线l l m m中至少有一条与平面中至少有一条与平面 相交 相交 丙 平面丙 平面 与平面与平面 相交 相交 当甲成立时当甲成立时 A A 乙是丙的充分而不必要条件 乙是丙的充分而不必要条件 B B 乙是丙的必要而不充分条件 乙是丙的必要而不充分条件 C C 乙是丙的充分且必要条件 乙是丙的充分且必要条件 D D 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 解析 当甲成立 即解析 当甲成立 即 相交直线相交直线l l m m都在平面都在平面 内 并且都不在平面内 并且都不在平面 内内 时 若时 若 l l m m中至少有一条与平面中至少有一条与平面 相交相交 则 则 平面平面 与平面与平面 相交相交 成立 若成立 若 平面平面 与平面与平面 相交相交 则 则 l l m m中至少有一条与平面中至少有一条与平面 相交相交 也成立 故选也成立 故选 C C 答案 答案 C C 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分 请把正确答案填在题中横线上分 请把正确答案填在题中横线上 1313 2009 2009 辽宁高考辽宁高考 设某几何体的三视图如下设某几何体的三视图如下 尺寸的长度单位为尺寸的长度单位为 m m 则该几何体的体积为则该几何体的体积为 m m3 3 解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥 且三棱锥的高为解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥 且三棱锥的高为 2 2 底面三角形的一边长 底面三角形的一边长 用心 爱心 专心 5 为为 4 4 且该边上的高为 且该边上的高为 3 3 故所求三棱锥的体积为故所求三棱锥的体积为V V 1 3 2 2 1 2 3 4 4 3 4 4 m3m3 答案 答案 4 4 1414 理理 如图 如图 ADAD 平面平面BCDBCD BCDBCD 90 90 ADAD BCBC CDCD a a 则二面角 则二面角C C ABAB D D的大小的大小 为为 解析 取解析 取BDBD的中点的中点E E 连结 连结CECE 则 则CECE 面面ABDABD 作 作EFEF ABAB CFCF ABAB得得 CFECFE为所求 为所求 又又CECE 2 2 a a CFCF 6 3 a sin sin CFECFE 3 2 CE CF 答案 答案 60 60 文文 如图 正方体如图 正方体ABCD AABCD A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中 中 M A1BM A1B N N B1CB1C A1M B1NA1M B1N 有以下四个结论 有以下四个结论 A1A MNA1A MN AC MNAC MN MNMN与平面与平面ABCDABCD成成 0 0 角 角 MNMN与与ACAC是异面直线 是异面直线 其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是 解析 易知解析 易知 正确 正确 答案 答案 1515 母线长为 母线长为 1 1 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 则该圆锥的体积为 则该圆锥的体积为 4 4 3 3 解析 圆锥的侧面展开图扇形的弧长 即底面圆的周长为解析 圆锥的侧面展开图扇形的弧长 即底面圆的周长为 1 1 于是设底面圆 于是设底面圆 4 4 3 3 4 4 3 3 的半径为的半径为r r 用心 爱心 专心 6 则有则有 2 2 r r 所以 所以r r 4 4 3 3 2 2 3 3 于是圆锥的高为于是圆锥的高为h h 1 1 f f 2 2 3 3 2 2 5 5 3 3 故圆锥的体积为故圆锥的体积为V V 4 4 5 5 8 81 1 答案 答案 4 4 5 5 1 18 8 1616 2009 2009 江南测试江南测试 棱长为棱长为a a的正方体的正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的的 8 8 个顶点都在球个顶点都在球O O的表面上 的表面上 E E F F分别是棱分别是棱AAAA1 1 DDDD1 1的中点 则直线的中点 则直线EFEF被球被球O O截得的线段长为截得的线段长为 解析 因为正方体内接于球 所以解析 因为正方体内接于球 所以 2 2R R 222 aaa R R 3 2 a 过球心过球心O O和点和点E E F F的大圆的截面图如图所示 的大圆的截面图如图所示 则直线被球截得的线段为则直线被球截得的线段为QRQR 过点 过点O O作作OPOP QRQR 于点于点P P 所以 在 所以 在 QPOQPO中 中 QRQR 2 2QPQP 2 2 22 31 2 22 aaa 答案 答案 2a 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 共小题 共 7474 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤骤 1717 本小题满分本小题满分 1212 分分 2010 2010 泉州模拟泉州模拟 如图所示是一个几何体的直观图 正视图 俯如图所示是一个几何体的直观图 正视图 俯 视图 侧视图视图 侧视图 其中正视图为直角梯形 俯视图为正方形 侧视图为直角三角形 尺其中正视图为直角梯形 俯视图为正方形 侧视图为直角三角形 尺 寸如图所示寸如图所示 1 1 求四棱锥求四棱锥P P ABCDABCD的体积 的体积 2 2 证明 证明 BDBD 平面平面PECPEC 用心 爱心 专心 7 3 3 若若G G为为BCBC上的动点 求证 上的动点 求证 AEAE PGPG 解 解 1 1 由几何体的三视图可知 底面由几何体的三视图可知 底面ABCDABCD是边长为是边长为 4 4 的正方形 的正方形 PAPA 平面平面 ABCDABCD PA EBPA EB 且 且PAPA 4 4 BEBE 2 2 ABAB ADAD CDCD CBCB 4 4 2 22 2 V VP P ABCDABCD PAPA S SABCD ABCD 4 4 4 4 4 4 1 1 3 3 1 1 3 32 2 6 64 4 2 2 3 3 2 2 证明 连结证明 连结ACAC交交BDBD于于O O点 点 取取PCPC中点中点F F 连结 连结OFOF EB PAEB PA 且 且EBEB PAPA 1 1 2 2 又又OF PAOF PA 且 且OFOF PAPA 1 1 2 2 EB OFEB OF 且 且EBEB OFOF 四边形四边形EBOFEBOF为平行四边形 为平行四边形 EF BDEF BD 又又EFEF 平面平面PECPEC BDBD 平面平面PECPEC 所以 所以BDBD 平面平面PECPEC 3 3 连结连结BPBP EBAEBA BAPBAP 90 90 E EB B A AB B B BA A P PA A 1 1 2 2 EBAEBA BAPBAP PBAPBA BEABEA PBAPBA BAEBAE BEABEA BAEBAE 90 90 PBPB AEAE 又又 BCBC 平面平面APEBAPEB BCBC AEAE AEAE 平面平面PBGPBG AEAE PGPG 18 18 本小题满分本小题满分 1212 分分 已知直角梯形已知直角梯形ABCDABCD中 中 ABAB CDCD ABAB BCBC ABAB 1 1 BCBC 2 2 CDCD 1 1 过 过A A作作AEAE CDCD 垂足为 垂足为E E G G F F分别为分别为ADAD CECE的中点 现将的中点 现将 ADEADE沿沿AEAE折叠 使折叠 使 3 3 DEDE ECEC 1 1 求证 求证 BCBC 平面平面CDECDE 2 2 求证 求证 FGFG 平面平面BCDBCD 3 3 求四棱锥求四棱锥D D ABCEABCE的体积的体积 解 解 1 1 证明 由已知得 证明 由已知得 DEDE AEAE DEDE ECEC DEDE 平面平面ABCEABCE DEDE BCBC 又又BCBC CECE CECE DEDE E E 用心 爱心 专心 8 BCBC 平面平面DCEDCE 2 2 证明 取证明 取ABAB中点中点H H 连结 连结GHGH FHFH GH BDGH BD FH BCFH BC GH GH 平面平面BCDBCD FH FH 平面平面BCDBCD 又又GHGH FHFH H H 平面平面FHG FHG 平面平面BCDBCD FG FG 平面平面BCDBCD 由线线平行证明亦可由线线平行证明亦可 3 3 V V 1 2 1 2 1 1 3 33 3 2 2 3 3 3 3 19 19 本小题满分本小题满分 1212 分分 2010 2010 徐州模拟徐州模拟 如图 如图 PAPA垂直于矩形垂直于矩形ABCDABCD所在的平面 所在的平面 ADAD PAPA 2 2 CDCD 2 2 E E F F分别是分别是ABAB PDPD的中点的中点 2 2 1 1 求证 求证 AFAF 平面平面PCEPCE 2 2 求证 平面求证 平面PCEPCE 平面平面PCDPCD 3 3 求四面体求四面体PEFCPEFC的体积的体积 解 解 1 1 证明 设证明 设G G为为PCPC的中点 连结的中点 连结FGFG EGEG F F为为PDPD的中点 的中点 E E为为ABAB的中点 的中点 FGFG CDCD AEAECDCD 1 1 2 2 1 1 2 2 FGFG AEAE AF GEAF GE GEGE 平面平面PECPEC AF AF 平面平面PCEPCE 2 2 证明 证明 PAPA ADAD 2 2 AFAF PDPD 又又 PAPA 平面平面ABCDABCD CDCD 平面平面ABCDABCD PAPA CDCD ADAD CDCD PAPA ADAD A A CDCD 平面平面PADPAD 用心 爱心 专心 9 AFAF 平面平面PADPAD AFAF CDCD PDPD CDCD D D AFAF 平面平面PCDPCD GEGE 平面平面PCDPCD GEGE 平面平面PECPEC 平面平面PCEPCE 平面平面PCDPCD 3 3 由由 2 2 知 知 GEGE 平面平面PCDPCD 所以所以EGEG为四面体为四面体PEFCPEFC的高 的高 又又GF CDGF CD 所以 所以GFGF PDPD EGEG AFAF GFGF CDCD 2 2 1 1 2 22 2 S S PCFPCF PDPD GFGF 2 2 1 1 2 2 得四面体得四面体PEFCPEFC的体积的体积V V S S PCFPCF EGEG 1 1 3 3 2 2 2 2 3 3 20 20 理理 本小题满分本小题满分 1212 分分 如图所示 四棱锥如图所示 四棱锥P P ABCDABCD中 中 ABAB ADAD ADAD DCDC PAPA 底面底面 ABCDABCD PAPA ADAD DCDC ABAB 1 1 M M为为PCPC的中点 的中点 N N点在点在ABAB上且上且ANAN NBNB 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 证明 证明 MNMN 平面平面PADPAD 2 2 求直线求直线MNMN与平面与平面PCBPCB所成的角所成的角 解 解 1 1 证明 过证明 过M M作作MEME CDCD交交PDPD于于E E 连接连接AEAE ANAN NBNB 1 1 3 3 ANAN ABAB DCDC EMEM 1 1 4 4 1 1 2 2 又又EM DC ABEM DC AB EMEMANAN AEMNAEMN为平行四边形 为平行四边形 MN AEMN AE 又 又AEAE 平面平面PADPAD MNMN 平面平面PADPAD MN MN 平面平面PADPAD 用心 爱心 专心 10 2 2 过过N N点作点作NQNQ APAP交交BPBP于点于点Q Q NFNF CBCB交交CBCB于点于点F F 连接连接QFQF 过 过N N点作点作NHNH QFQF交交QFQF于于H H 连接 连接MHMH 易知易知QNQN 平面平面ABCDABCD QNQN BCBC 而 而NFNF BCBC BCBC 平面平面QNFQNF BCBC NHNH 而 而NHNH QFQF NHNH 平面平面PBCPBC NMHNMH为直线为直线MNMN与平面与平面PCBPCB所成的角所成的角 通过计算可得通过计算可得MNMN AEAE QNQN NFNF 2 2 2 2 3 3 4 4 3 3 4 4 2 2 NHNH Q QN N N NF F Q QF F Q QN N N NF F Q QN N2 2 N NF F2 2 6 6 4 4 sin sin NMHNMH NMHNMH 60 60 N NH H M MN N 3 3 2 2 直线直线MNMN与平面与平面PCBPCB所成的角为所成的角为 60 60 文文 本小题满分本小题满分 1212 分分 2009 2009 南通模拟南通模拟 如图 已知在三棱柱如图 已知在三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中 中 AAAA1 1 平平 面面ABCABC ACAC BCBC M M N N P P Q Q分别是分别是AAAA1 1 BBBB1 1 ABAB B B1 1C C1 1的中点的中点 1 1 求证 平面求证 平面PCCPCC1 1 平面平面MNQMNQ 2 2 求证 求证 PCPC1 1 平面平面MNQMNQ 证明 证明 1 1 ACAC BCBC P P为为ABAB的中点 的中点 ABAB PCPC 又又CCCC1 1 AAAA1 1 AAAA1 1 平面平面ABCABC CCCC1 1 平面平面ABCABC CCCC1 1 ABAB 又又 CCCC1 1 PCPC C C ABAB 平面平面PCCPCC1 1 由题意知由题意知MNMN ABAB 故 故MNMN 平面平面PCCPCC1 1 MNMN在平面在平面MNQMNQ内 内 平面平面PCCPCC1 1 平面平面MNQMNQ 2 2 连接连接ACAC1 1 BCBC1 1 BCBC1 1 NQNQ ABAB MNMN 又又BCBC1 1 ABAB B B 平面平面ABCABC1 1 平面平面MNQMNQ PCPC1 1在平面在平面ABCABC1 1内 内 PCPC1 1 平面平面MNQMNQ 21 21 理理 本小题满分本小题满分 1212 分分 2009 2009 西安八校联考西安八校联考 如图 在直三棱柱如图 在直三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中 中 ACAC BCBC CCCC1 1 2 2 ACAC BCBC D D为为ABAB的中点的中点 1 1 求证 求证 ACAC1 1 平面平面B B1 1CDCD 用心 爱心 专心 11 2 2 求二面角求二面角B B B B1 1C C D D的正弦值的正弦值 解 解 1 1 证明 如图 连接证明 如图 连接BCBC1 1交交B B1 1C C于点于点E E 则则E E为为BCBC1 1的中点的中点 D D为为ABAB的中点 的中点 在在 ABCABC1 1中 中 ACAC1 1 DEDE 又又ACAC1 1 平面平面B B1 1CDCD DEDE 平面平面B B1 1CDCD ACAC1 1 平面平面B B1 1CDCD 2 2 ACAC BCBC D D为为ABAB的中点 的中点 CDCD ABAB 又平面又平面ABCABC 平面平面ABBABB1 1A A1 1 CDCD 平面平面ABBABB1 1A A1 1 平面平面B B1 1CDCD 平面平面B B1 1BDBD 过点过点B B作作BHBH B B1 1D D 垂足为 垂足为H H 则 则BHBH 平面平面B B1 1CDCD 连接连接EHEH B B1 1C C BEBE B B1 1C C EHEH BEHBEH为二面角为二面角B B B B1 1C C D D的平面角的平面角 在在 Rt Rt BHEBHE中 中 BEBE BHBH 2 2 B BB B1 1 B BD D B B1 1D D 2 2 3 3 则则 sin sin BEHBEH B BH H B BE E 6 6 3 3 即二面角即二面角B B B B1 1C C D D的正弦值为的正弦值为 6 6 3 3 文文 本小题满分本小题满分 1212 分分 已知已知ABCDABCD是矩形 是矩形 ADAD 4 4 ABAB 2 2 E E F F分别是线段分别是线段ABAB BCBC的的 中点 中点 PAPA 平面平面ABCDABCD 1 1 证明 证明 PFPF FDFD 2 2 在在PAPA上找一点上找一点G G 使得 使得EGEG 平面平面PFDPFD 解 解 1 1 证明 连接证明 连接AFAF 则 则AFAF 2 2 DFDF 2 2 2 22 2 又又ADAD 4 4 DFDF2 2 AFAF2 2 ADAD2 2 DFDF AFAF 又又PAPA 平面平面ABCDABCD DFDF PAPA 又 又PAPA AFAF A A DFPAF DFPF PFPAF 平平面面 平平面面 2 2 过点过点E E作作EH FDEH FD交交ADAD于点于点H H 则 则EH EH 平面平面PFDPFD且且AHAH ADAD 1 1 4 4 用心 爱心 专心 12 再过点再过点H H作作HG DPHG DP交交PAPA于点于点G G 则 则HG HG 平面平面PFDPFD且且AGAG APAP 1 1 4 4 平面平面EHG EHG 平面平面PFDPFD EG EG 平面平面PFDPFD 从而满足从而满足AGAG APAP的点的点G G为所求为所求 1 1 4 4 22 22 理理 本小题满分本小题满分 1414 分分 2009 2009 东北四市模拟东北四市模拟 如图 正四棱柱如图 正四棱柱ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中 中 AAAA1 1 2 2ABAB 4 4 点 点E E在在CCCC1 1上 且上 且CECE CC CC1 1 1 1 为何值时 为何值时 A A1 1C C 平面平面BEDBED 2 2 若若A A1 1C C 平面平面BEDBED 求二面角 求二面角A A1 1 BDBD E E的余弦值的余弦值 解 法一 解 法一 1 1 连接连接B B1 1C C交交BEBE于点于点F F 连接 连接ACAC交交BDBD于点于点G G ACAC BDBD 由垂直关系得 由垂直关系得 A A1 1C C BDBD 若若A A1 1C C 平面平面BEDBED 则 则A A1 1C C BEBE 由垂直关系可得由垂直关系可得B B1 1C C BEBE BCEBCE B B1 1BCBC C CE E B BC C B BC C B BB B1 1 1 1 2 2 CECE 1 1 C CE E C CC C1 1 1 1 4 4 2 2 连接连接A A1 1G G 连接 连接EGEG交交A A1 1C C于于H H 则 则A A1 1G G BDBD A A1 1C C 平面平面BEDBED A A1 1GEGE是二面角是二面角A A1 1 BDBD E E的平面角的平面角 A A1 1G G 3 3 EGEG A A1 1E E 2 23 31 17 7 cos cos A A1 1GEGE 1 18 8 3 3 1 17 7 2 2 3 3 3 3 2 2 6 6 9 9 法二 法二 1 1 以以D D为坐标原点 射线为坐标原点 射线DADA为为x x轴的正半轴 射线轴的正半轴 射线DCDC为为y y轴的正半轴 射线轴的正半轴 射线 DDDD1 1为为z z轴的正半轴 建立如图所示直角坐标系轴的正半轴 建立如图所示直角坐标系D D