【备战】2012高考数学 应考能力大提升17.3

用心 爱心 专心 1 备战备战 20122012 数学应考能力大提升数学应考能力大提升 典型例题 例 1 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 1 求A B两点的横坐标之积和纵坐标之积 2 求证 直线AB过定点 3 求弦AB中点P的轨迹方程 4 求 AOB面积的最小值 解 设A x1 y1 B x2 y2 中点P x0 y0 1 kOA kOB y1 x1 y2 x2 OA OB kOA kOB 1 x1x2 y1y2 0 y 2px1 y 2px2 y1y2 0 2 12 2 y2 1 2p y2 2 2p y1 0 y2 0 y1y2 4p2 x1x2 4p2 2 y 2px1 y 2px2 2 12 2 y1 y2 y1 y2 2p x1 x2 kAB y1 y2 x1 x2 2p y1 y2 2p y1 y2 直线AB y y1 x x1 2p y1 y2 y y1 2px y1 y2 2px1 y1 y2 y 2px y1 y2 y2 1 2px1 y1y2 y1 y2 y 2px1 y1y2 4p2 y 2 1 2px y1 y2 4p2 y1 y2 y x 2p 2p y1 y2 AB过定点 2p 0 3 如图 设OA y kx 代入y2 2px得 x 0 或x 2p k2 用心 爱心 专心 2 A 同理 以 代k得B 2pk2 2pk 1 k 设中点坐标P x0 y0 Error k2 2 2 2 2 1 k2 x0 p 即y px0 2p2 2 0 中点P的轨迹方程为y2 px 2p2 4 设M 2p 0 S AOB S AOM S BOM OM y1 y2 p y1 y2 1 2 2p 4p2 当且仅当 y1 y2 2p时 等号成立 y1y2 例 2 已知抛物线C y2 2px p 0 过点A 1 2 1 求抛物线C的方程 并求其准线方程 2 是否存在平行于OA O为坐标原点 的直线l 使得直线l与抛物线C有公共点 且直 线OA与l的距离等于 若存在 求直线l的方程 若不存在 说明理由 5 5 解 1 将 1 2 代入y2 2px 得 2 2 2p 1 所以p 2 故所求抛物线C的方程为y2 4x 其准线方程为x 1 2 假设存在符合题意的直线l 其方程为y 2x t 由得y2 2y 2t 0 2 2 4 yxt yx 因为直线l与抛物线C有公共点 所以 4 8t 0 解得t 1 2 由直线OA与l的距离d 可得 解得t 1 5 5 t 5 1 5 因为 1 1 所以符合题意的直线l存在 其方程为 2x y 1 0 用心 爱心 专心 3 创新题型 1 已知抛物线 C y 2x2 直线 y kx 2 交 C 于 A B 两点 M 是线段 AB 的中点 过 M 作 x 轴的 垂线交 C 于点 N 1 证明抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行 2 是否存在实数 k 使 若存在 求 k 的值 若不存在 请说明理由 0 NBNA 2 已知抛物线 x2 4y 的焦点为 F A B 是抛物线上的两动点 且 0 过FBAF A B 两点分别作抛物线的切线 设其交点为 M 1 证明为定值 ABFM 2 设 ABM 的面积为 S 写出 S f 的表达式 并求 S 的最小值 用心 爱心 专心 4 答案 将 y 2x2代入上式得 2x2 mx 0 84 2 kmk 直线 l 与抛物线 C 相切 m2 8 m2 2mk k2 m k 2 0 84 2 kmk m k 即 l AB 2 存在 假设存在实数 k 使 则 NA NB 0 NBNA 又 M 是 AB 的中点 MN AB 2 1 由 1 知 yM 2 4 4 2 2 1 4 2 1 22 2 1 2 1 22 212121 kk xxkkxkxyy MN x 轴 MN yM yN 8 16 8 2 4 222 kkk 又 AB x1 x2 2 1k 21 2 21 2 4 1xxxxk 用心 爱心 专心 5 1 4 2 1 22 k k 161 2 1 22 kk 161 4 1 8 16 22 2 kk k 解得 k 2 即存在 k 2 使 0 NBNA 2 解 1 由已知条件得 F 0 1 设 A x1 y1 B x2 y2 由 0 FBAF 即 x1 1 y1 x2 y2 1 得 1 1 4 1 4 1 21 21 2 22 2 11 yy xx xy xy 有由 y 得 y 4 1 21 2 1 xx y y 4 2 x 2 x 经过 A B 两点的切线方程分别是 2 1 4 2 1 4 22 2 2 11 2 1 xxx x yxxx x y 解出两条切线交点 M 的坐标为 即 4 2 2121 xxxx 2 2 21 xx 因此 ABFM 0 22 4 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 12 21 xxxxxx xx xx 所以为定值 0 ABFM 用心 爱心 专心 6 2 由 1 知在 ABM 中 AB FM FM 22 21 2 2 xx 24 2 1 44 2121 2 2 2 1 yyxx xx 2 1 又 AB AF BF