机械振动 习题解答

物理系 2015 09 大学物理大学物理 AII 作业作业 No 01 机械振动机械振动 班级班级 学号学号 姓名姓名 成绩成绩 一 一 判断题 判断题 用 T 表示正确和 F 表示错误 1 3 5 2 4 F F 1 只有受弹性力作用的物体才能做简谐振动 解 解 如单摆在作小角度摆动的时候也是简谐振动 其回复力为重力的分力 F F 2 2 简谐振动系统的角频率由振动系统的初始条件决定 解 解 P5 根据简谐振子角频率公式 可知角频率是一个完全由振动系统本身 m k 性质决定的常量 与初始条件无关 我们也将角频率称为固有角频率 F F 3 单摆的运动就是简谐振动 解 解 P14 15 单摆小角度的摆动才可看做是简谐振动 T T 4 孤立简谐振动系统的动能与势能反相变化 解 解 P9P9 孤立孤立的谐振系统 机械能守恒 动能势能反相变化 F F 5 两个简谐振动的合成振动一定是简谐振动 解解 同向不同频率的简谐振动的合成结果就不一定是简谐振动 总结 1 3 5 小题均为简谐振动的定义简谐振动的定义性判断 简谐运动是最基本也是最简单的一种机械振动 当某物体进行简谐运动时 物体所受的简谐运动是最基本也是最简单的一种机械振动 当某物体进行简谐运动时 物体所受的 力跟位移成正比 并且力总是指向平衡位置 力跟位移成正比 并且力总是指向平衡位置 二 选择题 二 选择题 1 把单摆从平衡位置拉开 使摆线与竖直方向成一微小角度 然后由 静止放手任其振动 从放手时开始计时 若用余弦函数表示其运动方程 则该单摆振动的初相位为 C A B C 0 D 2 3 2 1 解解 对于小角度摆动的单摆 可以视为简谐振动 其运动方程为 根据题意 t 0 时 摆角处于正最大处 即 0 cos tt m m 01coscos 0000 类似公式 0 cos tAtx 2 一个简谐振动系统 如果振子质量和振幅都加倍 振动周期将是原来的 D A 4 倍 B 倍8 C 2 倍 D 倍2 解 解 P5P5 公式公式 12 1 8 12 1 8 所以选 D D mTkmT mk T 2 2 3 水平弹簧振子 动能和势能相等的位置在 C A B C D 4 A x 2 A x 2 A x 3 A x 解 解 P9 对于对于孤立的谐振系统孤立的谐振系统 机械能守恒 动能势能反相变化 那么动能势能相等时 机械能守恒 动能势能反相变化 那么动能势能相等时 有 有 所以选 所以选 C 22 1 4 1 2 1 22 A xkxkAEEE pk 4 一弹簧振子作简谐振动 总能量为 如果简谐振动振幅增加为原来的两倍 重物 1 E 的质量增加为原来的四倍 则它的总能量变为E D A 4 B 2 C 2 D 4 1 E 1 E 1 E 1 E 解解 法 1 原来的弹簧振子的总能量 k 不变 振动增加为 所 2 11 2 1 kAE 12 2AA 以总能量变为 12 4EE 法 2 原来的弹簧振子的总能量 振动增加为 质量增加为 k 2 1 2 11 2 11 2 1 2 1 AmkAE 12 2AA 12 4mm 不变 角频率变为 所以总能量变为 1 12 2 2 1 4 m k m k 1 2 1 2 11 2 1 2 1 1 2 2 2 222 4 2 1 42 2 4 2 1 2 1 EAmAmAmE 5 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线 若这两个简谐 振动可叠加 则合成的余弦振动的初相为 C A B 2 1 2 3 C D 0 解 法解 法 1 先写出两个振动方程 再求合振动初相位 先写出两个振动方程 再求合振动初相位 法法 2 P7 8 旋转矢量法旋转矢量法 注意起点为 注意起点为 Y 轴方向 轴方向 两个谐振动 x1和 x2 反相 且 21 2AA 由矢量图可知合振动初相与 x1初相一致 即 t x o 2 A A 2 x 1 x o 1 A 2 A A 三 填空题 三 填空题 1 描述简谐振动的运动方程是 其中 振幅 A 由 初始条件 决定 cos tAx 角频率 由 振动系统本身性质 决定 初相 由 初始条件 决定 2 一弹簧振子做简谐振动 振幅为 A 周期为 T 其振动方程用余弦函数表示 若初始 时刻 1 振子在负的最大位移处 则初相为 2 振子在平衡位置向正方向运动 则初相为或者 2 2 3 3 振子在 A 2 处向负方向运动 则初相为 3 解 解 cos tAx 用旋转矢量法用旋转矢量法 P8 如图 得出 如图 得出 1 2 3 3 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示 振子处在位移零 速度 为 加速度为零和弹性力为零的状态 对应于曲线上的 b f A 点 振子处在位移的绝对值为 A 速度为零 加速度为 2A 和弹性力 kA 的状态 对应于曲线的 a e 点 解 解 P3 4 公式 公式 12 1 5 12 1 7 由由 得得 cos tAx V 为 x 对 t 求一阶导数 0 sin tAv a 为 V 对 t 求一阶导数 x 对 t 求二阶导 0 2 cos tAa 数 位移 速度 对应于曲线上的 b f 点 0 x0 d d A t x v 若 x A 又 所以 x A 对应于曲线上的 a e 点 Aa 2 xa 2 t x 0 A A a b c d e f 4 一质点作简谐振动 其振动曲线如图所示 根据此 图 它的周期 用余弦函数描述时初 s43 3 7 24 T 相位 3 2 3 4 或 解解 法一 高中振动图像方法 写出振动方程 x 4cos 7 12 t 4 3 或 x 4cos 7 12 t 2 3 由可求得可求得 T T 2 法二 旋转矢量法 由曲线和旋转矢量图 可知 2 212 TT 周期 s43 3 7 24 T 初相 3 2 3 4 或 5 两个同方向同频率的简谐振动 其振动表达式分别为 SI 和 SI 2 1 5cos 106 2 1 tx 5sin 102 2 2 tx 它们的合振动的振幅为 初相位为 m 104 2 2 1 解 解 将 x2改写成余弦函数形式 2 5cos 102 5sin 102 22 2 ttx 由矢量图可知 x1和 x2反相 合成振动的振幅 初相 m 104102106 222 21 AAA 2 1 四 计算题 四 计算题 1 一定滑轮的半径为 R 转动惯量为 J 其上挂一轻绳 绳的一端 系一质量为 m 的物体 另一端与一固定的轻弹簧相连 如图所示 设弹簧的倔强系数为 k 绳与滑轮间无滑动 且忽略摩擦力及空气 的阻力 现将物体 m 从平衡位置拉下一微小距离后放手 证明物体 作简谐振动 并求出其角频率 解 解 取如图 x 坐标 平衡位置为坐标原点 向下为正方向 m 在平衡位置 弹簧伸长 x0 则有 x B A 4 2 m J k R x0 x o x O A 2 A 1 1 A 1 0 kxmg 现将 m 从平衡位置向下拉一微小距离 x m 和滑轮 M 受力如图所示 由牛顿定律和转动定律列方程 2 maTmg 1 3 JRTRT 21 4 Ra 5 02 xxkT 联立以上各式 可以解出 xx m R J k a 2 2 由判据 2 知 式是谐振动方程 所以物体作简谐振动 角频率为 W 类似 P12 例题 2 2 2 mRJ kR m R J k 5 2 一质点作简谐振动 其振动曲线如图所示 若质 点的振动规律用余弦函数描述 求 1 振动方程 2 s 时加速度大小 1 t 3 s 时速度大小 2 t 解 解 1 由图所知 由图所知 则则s4m 2 0 TA 2 2 T 2 加速度为 将 22 cos 20 1 cos 2 0 2 ttAa s 代入得 1 t 222 m s493 0 20 1 20 1 a T1 T2T1 N Mg mg 3 速度为 将s 代入 22 sin 10 sin 0 ttAv2 t m s314 0 10 v 3 一物体质量为 0 25kg 在弹性力作用下作简谐振动 弹簧的劲度系数 k 25N m 1 如果该系统起始振动时具有势能 0 06J 和动能 0 02J 求 1 振幅 A 2 动能恰等于势能时的位移 3 经过平衡位置时物体的速度 解解 1 由 得 2 pk 2 1 kAEEE m08 0 2 pk EE k A 2 解 动能等于势能时 有 解 动能等于势能时 有 m0566 0 22 1 4