北京市各区2011年一模试题（18）：空间几何体分类解析

用心 爱心 专心 1 十八 空间几何体十八 空间几何体 第一部分第一部分 三视图三视图 1 1 20112011 西城一模理西城一模理 1212 一个棱锥的三视图如图所示 则这个棱锥的体积为 12 2 2 20112011 西城一模文西城一模文5 5 一个棱锥的三视图如图所示 则 这个棱锥的体积是 A 6 B 12 C 24 D 36 3 2011 朝阳一模理朝阳一模理 6 已知某个三棱锥的三视图如图所 示 其中正视图是等边三 角形 侧视图是直角三角形 俯视 图是等腰直角三角形 则此三棱锥的体积等于 B A B 6 12 3 3 C D 6 4 2 3 3 4 4 2011 门头沟一模理3 一几何体的三视图如右图所示 则该几何体的体积是 A B 2 4 3 C D 3 1 2 3 1 6 正 主 视图 俯视图 侧 左 视图 3 4 4 3 3 3 正 主 视图 俯视图 侧 左 视图 3 4 4 3 3 3 侧视图 正视图 1 俯视图 2 主视图左视图 俯视图 1 1 1 2 主视图左视图 俯视图 1 1 1 用心 爱心 专心 2 A B C D O E A1 B1 C1 D1 5 5 2011 石景山一模理4 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示 单位 则cm 这个几何体的体积是 A B 3 3cm 3 5 2 cm C D 3 2cm 3 3 2 cm 6 6 2011 朝阳一模文6 已知三棱锥的三视图如图所示 其中侧视图为直角三角形 俯视图为等腰直角三角形 则此三棱锥的体积等于 B A B 2 3 3 3 C D 2 2 3 2 3 3 7 7 20112011 丰台文丰台文5 如图所示 O 是正方体 ABCD A1B1C1D1对角线 A1C 与 AC1的交点 E 为 棱 BB1的中点 则空间四边形 OEC1D1在正方体各面上的正投影不可能是 A A B C D 8 8 2011 海淀一模文11 如图 在正方体中 点 1111 ABCDABC D P 是上底面内一动点 则三棱锥的主视图与左视 1111 ABC DPABC 图的面积的比值为 1 正视图 俯视图 侧视图 1 3 P D C BA 1 A 1 D 1 B 1 C 左视 主视 用心 爱心 专心 3 9 2011 门头沟一模文 10 一几何体的三视图如左下图所示 则该几何体的体积是 3 3500 1010 2011 石景山一模文4 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示 单位 则这个几何体的表面积是 cm A B 2 9 cm 2 12 cm C D 2 15 cm 2 24 cm 9 9 第二部分第二部分 立体几何立体几何 1 1 20112011 西城一模文西城一模文 6 6 对于平面和异面直线 下列命题中真命题是 m n A 存在平面 使 B 存在平面 使 m n m n 俯视 图 1 0 1 5 主视 图 左视 图 1 0 1 0 第 10 题图 用心 爱心 专心 4 C 存在平面 满足 D 存在平面 满足 m n m n 2 2 20112011 东城一模理东城一模理 8 8 空间点到平面的距离定义如下 过空间一点作平面的垂线 这个点 和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离 已知平面 两两互相垂直 点 点到 的距离都是 点是 上的动点 满足到 的距离是到AA3PP 到点距离的倍 则点的轨迹上的点到 的距离的最小值是 C PA2P A 33 B 323 C 36 D 3 3 3 20112011 西城一模理西城一模理 8 8 如图 四面体的三条棱两两垂直 OABCOCOBOA 为四面体外一点 给出下列命题 2 OBOA3 OCDOABC 不存在点 使四面体ABCD有三个面是直角三角形 不存在点 使DD 四面体ABCD是正三棱锥 存在点 使与垂直并且相等DCDAB 存在无数个点 使点在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的DO 序号是 A B C D 4 4 20112011 东城一模文东城一模文 4 4 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 则这两个平面平行 若两个平面都垂直于同一条直线 则这两个平面平行 若两个平面互相垂直 则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面 若两个平面互相平行 则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面 其中为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 5 5 20112011 东城一模文东城一模文 8 8 空间点到平面的距离如下定义 过空间一点作平面的垂线 该点和 垂足之间的距离即为该点到平面的距离 平面 两两互相垂直 点 A 点A到 的距离都是3 点P是 上的动点 满足P到 的距离是到P到点A距 离的2倍 则点P的轨迹上的点到 的距离的最小值为 A 3 B 323 C 36 D 33 3 3 20112011 丰台一模理丰台一模理 5 设 m n 是两条不同的直线 是三个不同的平面 有下列四 个命题 若 则 m m 若 则 m m O A B D C 用心 爱心 专心 5 若 则 n n m m 若 则 m m 其中正确命题的序号是 D A B C D 4 2011 海淀一模理海淀一模理 5 已知平面 是内不同于 的直线 那么下列命题中l m l 错误的是 D A 若 则 B 若 则 mlm lm m C 若 则 D 若 则 mlm lm m 5 20115 2011 门头沟一模理门头沟一模理 8 8 对于四面体 有如下命题 ABCD 棱与所在的直线异面 ABCD 过点作四面体的高 其垂足是的三条高线的交点 AABCDBCD 若分别作和的边上的高 则这两条高所在直线异面 ABC ABD AB 分别作三组相对棱的中点连线 所得的三条线段相交于一点 其中正确的是 A B C D 6 20116 2011 丰台文丰台文 7 设 m n 是两条不同的直线 是三个不同的平面 有下列四个命 题 若 则 m m 若 则 m m 若 则 n n m m 若 则 m m 其中正确命题的序号是 D A B C D 用心 爱心 专心 6 6 2011 朝阳一模文 5 已知 a b 是两条不重合的直线 是两个不重合的平面 下列命 题中正确的是 C A 则 ab b a B a 则b a b C 则a b ab D 当 且时 若 则 a b b ab 7 2011 门头沟一模文门头沟一模文 4 已知直线 平面 且 m 那么 ml 是 ml l 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 用心 爱心 专心 7 2 2 3 3 4 4 解答解答 1 1 20112011 西城一模理西城一模理 1717 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 如图 是边长为的正方形 平面 ABCD3DE ABCDDEAF AFDE3 与平面所成角为 BEABCD 0 60 求证 平面 AC BDE 求二面角的余弦值 DBEF 设点是线段上一个动点 试确定点MBD 的位置 使得平面 并证明你的结论 M AMBEF 证明 因为平面 DE ABCD 所以 2 分ACDE 因为是正方形 ABCD 所以 BDAC AB CD F E y B C A E z D F x M 用心 爱心 专心 8 从而平面 4 分AC BDE 解 因为两两垂直 DEDCDA 所以建立空间直角坐标系如图所示 xyzD 因为与平面所成角为 即 5BEABCD 0 6060DBE 分 所以 3 DB ED 由可知 63 AD3 6DE 6AF 分 则 3 0 0 A 3 0 6 F 0 0 3 6 E 3 3 0 B 0 3 0 C 所以 7 0 3 6 BF 3 0 2 6 EF 分 设平面的法向量为 则 即 BEF n x y z 0 0 BF EF n n 360 32 60 yz xz 令 则 86z n 4 2 6 分 因为平面 所以为平面的法向量 AC BDECA BDE 3 3 0 CA 所以 9 613 cos 133 226 CA CA CA n n n 分 因为二面角为锐角 所以二面角的余弦值为 10DBEF 13 13 分 解 点是线段上一个动点 设 MBD 0 M t t 则 3 0 AMtt 因为平面 AMBEF 所以 11AM n0 分 即 解得 124 3 20tt 2 t 分 用心 爱心 专心 9 此时 点坐标为 符合题意 13M 2 2 0 1 3 BMBD 分 2 2 20112011 西城一模文西城一模文 1616 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 如图所示 正方形与直角梯形所在平面互相垂直 ABCDADEF90ADE DEAF 22 AFDADE 求证 平面 AC BDE 求证 平面 ACBEF 求四面体的体积 BDEF 证明 因为平面平面 ABCD ADEF90ADE 所以平面 2 分DE ABCD 所以 3 分ACDE 因为是正方形 ABCD 所以 BDAC 所以平面 4 分AC BDE 证明 设 取中点 连结 ACBDO BEGOGFG 所以 5OG 1 2 DE 分 因为 所以 6DEAF AFDE2 AF OG 分 从而四边形是平行四边形 7AFGOAOFG 分 因为平面 平面 8FG BEFAO BEF 分 所以平面 即平面 9 AOBEF ACBEF 分 解 因为平面平面 ABCD ADEFABAD AB C D F E 用心 爱心 专心 10 所以平面 11AB ADEF 分 因为 DEAF 90ADE 22 AFDADE 所以的面积为 12DEF 1 2 2 EDAD 分 所以四面体的体积 BDEF ABS DEF 3 14 3 3 3 20112011 东城一模理东城一模理 1616 本小题共 14 分 已知四棱锥的底面是菱形 PABCD 60BCD 2ABPBPD 与交于点 分别为 的中点 3PC ACBDOEHPAOC 求证 平面 ECBDE 求证 平面 PH ABCD 求直线与平面所成角的正弦值 CEPAB 证明 因为 分别为 的中点 EOPAAC 所以 EOPC 又平面 平面 EO BDEPC BDE 所以 平面 PCBDE 证明 连结 OP 因为 PBPD 所以 OPBD 在菱形中 ABCDBDAC 又因为 OPACO 所以平面 BD PAC 又平面 PH PAC 所以 BD PH 在直角三角形中 POB1OB 2PB 所以 3OP 又 为的中点 3PC HOC 所以 PHOC 又因为BDOCO O E C AB D P H O E CD BA P H 用心 爱心 专心 11 E C AB D P 所以平面 PH ABCD 解 过点作 所以平面 OOZPHOZ ABCD 如图 以为原点 所在直线为轴 建立空间直角坐标OOAOBOZ x y z 系 可得 3 0 0 A 0 1 0 B 3 0 0 C 33 0 22 P 33 0 44 E 所以 3 1 0 AB 3 33 0 22 AP 5 33 0 44 CE 设是平面的一个法向量 则 x y z nPAB 即 0 0 AB AP n n 30 3 33 0 22 xy xz 令 则 1x 1 3 3 n 设直线与平面所成的角为 CEPAB 可得 4 sincos 7 n CE 所以直线与平面所成角的正弦值为 CEPAB 4 7 4 2011 东城一模文 16 本小题共 13 分 已知四棱锥PABCD 的底面是菱形 E为PA的中PBPD 点 求证 PC 平面BDE 求证 平面平面 PAC BDE 用心 爱心 专心 12 O E CD BA P 证明 因为 分别为 的中点 EOPAAC 所以 EOPC 因为平面EO BDE 平面PC BDE 所以 平面 PCBDE 6 分 证明 连结OP 因为 PBPD 所以 OPBD 在菱形中 ABCDBDAC 因为OPACO 所以平面BD PAC 因为平面BD BDE 所以平面平面 13 分PAC BDE 5 2011 朝阳一模理朝阳一模理 16 本小题满分 13 分 如图 在四棱锥中 底面为直角梯形 且 PABCD ABCD ADBC 侧面底面 若 90ABCPAD PAD ABCD 1 2 PAABBCAD 求证 平面 CD PAC 侧棱上是否存在点 使得平面 若存在 指出点 的位置并证明 PAE BEPCDE 若不存在 请说明理由 求二面角的余弦值 APDC 解法一 因为 所以 90PAD PAAD 又因为侧面底面 且侧面底面 PAD ABCDPAD ABCDAD 所以底面 PA ABCD 而底面 CD ABCD 所以 PA CD A B P C D 用心 爱心 专心 13 在底面中 因为 ABCD90ABCBAD 1 2 ABBCAD 所以 所以 2 2 ACCDAD AC CD 又因为 所以平面 4 分PAACA CD PAC 在上存在中点 使得平面 PAE BEPCD 证明如下 设的中点是 PDF 连结 BEEFFC 则 且 EFAD 1 2 EFAD 由已知 90ABCBAD 所以 又 BCAD 1 2 BCAD 所以 且 BCEFBCEF 所以四边形为平行四边形 所以 BEFC BECF 因为平面 平面 BE PCDCF PCD 所以平面 8 分 BEPCD 设为中点 连结 GADCG 则 CG AD 又因为平面平面 ABCD PAD 所以 平面 CG PAD 过作于 GGHPD H 连结 由三垂线定理可知 CHCHPD 所以是二面角的平面角 GHC APDC 设 则 2AD 1PAABCGDG 5DP 在中 所以 PAD GHDG PADP 1 5 GH 所以 tan5 CG GHC GH 6 cos 6 GHC 即二面角的余弦值为 13 分APDC 6 6 解法二 因为 90PAD E F A B P C D G H A B P C D z y x A B P C D 用心 爱心 专心 14 所以 PAAD 又因为侧面底面 PAD ABCD 且侧面底面 PAD ABCDAD 所以 底面 PA ABCD 又因为 90BAD 所以 两两垂直 ABADAP 分别以 为轴 ABADAPx 轴 轴建立空间直角坐标系 如图 yz 设 则 2AD 0 0 0 A 1 0 0 B 1 1 0 C 0 2 0 D 0 0 1 P 0 0 1 AP 1 1 0 AC 1 1 0 CD 所以 所以 0AP CD 0AC CD AP CDAC CD 又因为 所以平面 4 分APACA CD PAC 设侧棱的中点是 则 PAE 1 0 0 2 E 1 1 0 2 BE 设平面的一个法向量是 则 PCD x y z n 0 0 CD PD n n 因为 1 1 0 CD 0 2 1 PD 所以 取 则 0 20 xy yz 1x 1 1 2 n 所以 所以 1 1 1 2 1 0 0 2 BE nBE n 因为平面 所以平面 8 分BE PCDBEAPCD 由已知 平面 所以为平面的一个法向量 AB PAD 1 0 0 AB PAD 由 知 为平面的一个法向量 1 1 2 nPCD 设二面角的大小为 由图可知 为锐角 APDC 所以 1 1 2 1 0 0 6 cos 66 1 AB AB n n 即二面角的余弦值为 13 分APDC 6 6 6 2011 丰台一模理丰台一模理 16 本小题共 本小题共 14 分 分 用心 爱心 专心 15 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为直角梯形 AD BC ADC 90 平面 PAD 底面 ABCD Q 为 AD 的中点 M 是棱 PC 上的点 PA PD 2 BC AD 1 CD 1 2 3 若点 M 是棱 PC 的中点 求证 PA 平面 BMQ 求证 平面 PQB 平面 PAD 若二面角 M BQ C 为 30 设 PM tMC 试确定 t 的值 证明 连接 AC 交 BQ 于 N 连接 MN 1 分 BC AD 且 BC AD 即 BCAQ 1 2 四边形 BCQA 为平行四边形 且 N 为 AC 中点 又 点 M 在是棱 PC 的中点 MN PA 2 分 MN平面 MQB PA平面 MQB 3 分 PA 平面 MBQ 4 分 AD BC BC AD Q 为 AD 的中点 1 2 四边形 BCDQ 为平行四边形 CD BQ 6 分 ADC 90 AQB 90 即 QB AD 又 平面 PAD 平面 ABCD 且平面 PAD 平面 ABCD AD 7 分 BQ 平面 PAD 8 分 BQ平面 PQB 平面 PQB 平面 PAD 9 分 另证 AD BC BC AD Q 为 AD 的中点 1 2 BC DQ 且 BC DQ 四边形 BCDQ 为平行四边形 CD BQ ADC 90 AQB 90 即 QB AD 6 分 PA PD PQ AD 7 分 PQ BQ Q AD 平面 PBQ 8 分 AD平面 PAD 平面 PQB 平面 PAD 9 分 PA PD Q 为 AD 的中点 PQ AD P A B C D Q M 用心 爱心 专心 16 P A B C D Q M N x y z 平面 PAD 平面 ABCD 且平面 PAD 平面 ABCD AD PQ 平面 ABCD 10 分 不证明 PQ 平面 ABCD 直接建系扣 1 分 如图 以 Q 为原点建立空间直角坐标系 则平面 BQC 的法向量为 0 0 1 n 11 分 0 0 0 Q 0 0 3 P 0 3 0 B 1 3 0 C 设 M x y z 则 3 PMx y z 1 3 MCxyz PMtMC 1 3 3 xtx yty ztz 1 3 1 3 1 t x t t y t z t 12 分 在平面 MBQ 中 0 3 0 QB 33 111 tt QM ttt 平面 MBQ 法向量为 3 0 mt 13 分 二面角 M BQ C 为 30 2 3 cos30 2 30 n mt n mt 3t 14 分 用心 爱心 专心 17 7 2011 海淀一模理海淀一模理 16 16 本小题共 本小题共 14 分 分 在如图的多面体中 平面 EFAEBAEEB ADEF EFBC 24BCAD 3EF 2AEBE 是的中点 GBC 求证 平面 ABDEG 求证 BDEG 求二面角的余弦值 CDFE 解 证明 ADEF EFBC ADBC 又 是的中点 2BCAD GBC ADBG 四边形是平行四边形 ADGB 2 分 ABDG 平面 平面 AB DEGDG DEG 平面 4 分 ABDEG 解法 1 证明 平面 平面 EF AEBAE AEB EFAE 又 平面 AEEB EBEFE EB EF BCFE 平面 5 分AE BCFE 过作交于 则平面 D DHAEEFHDH BCFE 平面 6 分EG BCFEDHEG 四边形平行四边形 ADEF DHAEAEHD 2EHAD 又 2EHBG EHBG EHBE 四边形为正方形 BGHE 7 分BHEG 又平面 平面 BHDHH BH BHDDH BHD 平面 8 分EGBHD 平面 BD BHD AD F E BGC 用心 爱心 专心 18 9 分BDEG 解法 2 平面 平面 平面 EF AEBAE AEBBE AEB EFAE EFBE 又 AEEB 两两垂直 5 分 EB EF EA 以点E为坐标原点 分别为轴建立如图 EB EF EA x y z 的空间直角坐标系 由已知得 0 0 2 2 0 0 AB 2 4 0 0 3 0 0 2 2 CFD 2 2 0 6 分G 7 分 2 2 0 EG 2 2 2 BD 8 分2 22 20BD EG 9 分BDEG 由已知得是平面的法向量 10 分 2 0 0 EB EFDA 设平面的法向量为 DCF x y z n 0 1 2 2 1 0 FDFC 即 令 得 12 0 0 FD n FC n 20 20 yz xy 1z 1 2 1 n 分 设二面角的大小为 CDFE 则 13 26 coscos 62 6 EB n 分 二面角的余弦值为 14CDFE 6 6 分 8 20118 2011 门头沟一模理门头沟一模理 16 16 本小题满分 14 分 已知四棱锥的底面为菱形 且 PABCD ABCD 0 60 ABC 2PBPDAB 与相交于点 PAPC ACBDO 求证 底面 POABCD 求直线与平面所成角的正弦值 PBPCD x z y AD F E BGC A P D C O B 用心 爱心 专心 19 若是上的一点 且 MPBPBCM 求的值 PM MB 证明 因为为菱形 ABCD 所以为的中点 1 分O AC BD 因为 PBPDPAPC 所以 POBD POAC 所以底面 3 分 POABCD 因为为菱形 所以ABCDACBD 建立如图所示空间直角坐标系 又 0 60 2ABCPBAB 得 4 分1 3 1OAOBOP 所以 0 0 1 0 3 0 1 0 0 0 3 0 PBCD 5 分 0 3 1 PB 1 0 1 PC 0 3 1 PD 设平面的法向量PCD mx y z 有 0 0 m PC m PD A A 所以 解得 0 30 xz yz 3 3 xz yz 所以 3 3 3 m 8 分 cos m PBm PBm PB AA A P D C O B x z y 用心 爱心 专心 20 621 cos 721 4 m PB 9 分 与平面所成角的正弦值为 PBPCD 21 7 10 分 因为点在上 所以MPB 0 3 1 PMPB 所以 0 3 1 M 1 3 1 CM 因为PBCM 所以 得 解得0CM PB A310 1 4 所以 1 3 PM MB 9 9 20112011 石景山一模理石景山一模理 17 本小题满分 本小题满分 14 分 分 如图 在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D 中 EF 分别为 11 AD和 1 CC的中点 求证 EF 平面 1 ACD 求异面直线EF与AB所成的角的余弦值 在棱 1 BB上是否存在一点P 使得二面角的大小为30 PACB 若存在 求出BP的长 若不存在 请说明理由 解 如图分别以 1 DA DC DD所在的直线为x 轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 用心 爱心 专心 21 z P y x G E F C C1 D1 B1 A1 A B D Dxyz 由已知得 0 0 0D 2 0 0A 2 2 0B 0 2 0C 1 2 2 2B 1 0 0 2D 1 0 2E 0 2 1F 2 分 取 1 AD中点G 则 1 0 1G 1 2 1CG 又 1 2 1EF 由EFCG EF 与CG 共线 从而EF CG CG 平面 1 ACD EF 平面 1 ACD EF 平面 1 ACD 6 分 0 2 0AB 46 cos 3 2 6 EF AB EF AB EFAB 异面直线EF与AB所成角的余弦值为 3 6 9 分 假设满足条件的点P存在 可设点 2 2 Pt 02t 平面ACP的一个法向量为 nx y z 则 0 0 n AC n AP 0 2 APt 2 2 0AC 220 20 xy ytz 取 2 1 1 n t 11 分 易知平面ABC的一个法向量 1 0 0 2 BB 依题意知 1 30BB n 或150 1 2 4 3 cos 24 22 t BB N t 即 22 434 2 4tt 解得 13 分 6 3 t 6 0 2 3 在棱 1 BB上存在一点P 当BP的长为 6 3 时 二面角PACB 的大小为30 14 分 用心 爱心 专心 22 E F A B P C D 10 2011 朝阳一模文朝阳一模文 17 本小题满分 13 分 如图 在四棱锥中 底面为直角梯形 且 PABCD ABCD ADBC 侧面底面 若 90ABC PAD ABCD90PAD 1 2 ABBCAD 求证 平面 CD PAC 设侧棱的中点是 求证 平面 PAEBEAPCD 解 因为 90PAD 所以 PAAD 又因为侧面底面 PAD ABCD 且侧面底面 PAD ABCDAD 所以底面 PA ABCD 而底面 CD ABCD 所以 PA CD 在底面中 ABCD 因为 90ABCBAD 1 2 ABBCAD 所以 所以 2 2 ACCDAD AC CD 又因为 所以平面 6 分PAACA CD PAC 设侧棱的中点为 PDF 连结 BEEFFC 则 且 EFADA 1 2 EFAD 由已知 90ABCBAD 所以 又 BCADA 1 2 BCAD A B P C D E A B P C D E 用心 爱心 专心 23 所以 且 BCEFABCEF 所以四边形为平行四边形 所以 BEFCBECFA 因为平面 平面 BE PCDCF PCD 所以平面 13 分BEAPCD 11 2011 丰台文丰台文 16 本小题共 本小题共 13 分 分 如图 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD为直角梯形 AD BC ADC 90 BC AD PA PD Q 为 AD 的中点 1 2 求证 AD 平面 PBQ 若点 M 在棱 PC 上 设 PM tMC 试确定 t 的值 使得 PA 平面 BMQ 证明 AD BC BC AD Q 为 AD 的中点 1 2 四边形 BCDQ 为平行四边形 2 分 CD BQ ADC 90 AQB 90 即 QB AD 3 分 PA PD Q 为 AD 的中点 PQ AD 4 分 PQ BQ Q 5 分 AD 平面 PBQ 6 分 当时 PA 平面 BMQ 没写结论扣 2 分 1t 8 分 连接 AC 交 BQ 于 N 连接 MN BCDQ 1 2 四边形 BCQA 为平行四边形 且 N 为 AC 中点 9 分 点 M 是线段 PC 的中点 P A B C D Q M P A B C D Q M N 用心 爱心 专心 24 MN PA 10 分 MN平面 BMQ PA平面 BMQ 11 分 PA 平面 BMQ 13 分 12 2011 海淀一模文海淀一模文 17 本小题共 13 分 如图 梯形和正所在平面互相垂直 其中 ABCD PAB ABDC 且为中点 1 2 ADCDAB OAB I 求证 平面 BCPOD II 求证 AC PD 证明 I 因为为中点 OAB 所以 1 分 1 2 BOAB 又 ABCD 1 2 CDAB 所以有 2