中考数学三角函数在实际中的应用(九年级下期复习用带答案)汇总

专题 3 三角函数在实际中的应用 自我诊断自我诊断 1 某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度 已知小亮站着测量 眼睛 与地面的距离 AB 是 1 7 米 看旗杆顶部 E 的仰角为 30 小敏蹲着测量 眼睛与地 面的距离 CD 是 0 7 米 看旗杆顶部 E 的仰角为 45 两人相距 5 米且位于旗杆同侧 点 B D F 在同一直线上 1 求小敏到旗杆的距离 DF 结果保留根号 2 求旗杆 EF 的高度 结果保留整数 参考数据 1 4 1 7 自我诊断自我诊断 2 如图所示 某古代文物被探明埋于地下的 A 处 由于点 A 上方有一些管道 考古人员不能垂直向下挖掘 他们被允许从 B 处或 C 处挖掘 从 B 处挖掘时 最短路线 BA 与地面所成的锐角是 56 从 C 处挖掘时 最短路线 CA 与地面所成的锐角是 30 且 BC 20m 若考古人员最终从 B 处挖掘 求挖掘的最短距离 参考数据 sin56 0 83 tan56 1 48 1 73 结果保留整数 跟跟踪踪训训练练1 1 年 4 月 20 日 四川雅安发生里氏 7 0 级地震 救援队救援时 利用生命探测仪在某建 筑物废墟下方探测到点 C 处有生命迹象 已知废墟一侧地面上两探测点 A B 相距 4 米 探测线与地面的夹角分别为 30 和 60 如图所示 试确定生命所在点 C 的深度 结果精 确到 0 1 米 参考数据 1 41 1 73 2 一电线杆 PQ 立在山坡上 从地面的点 A 看 测得杆顶端点 A 的仰角为 45 向前走 6m 到达点 B 又测得杆顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别为 60 和 30 1 求 BPQ 的度数 2 求该电线杆 PQ 的高度 结果精确到 1m 3 如图 为了开发利用海洋资源 某勘测飞机测量一岛屿两端 A B 的距离 飞机以距海 平面垂直同一高度飞行 在点 C 处测得端点 A 的俯角为 60 然后沿着平行于 AB 的方 向水平飞行了 500 米 在点 D 测得端点 B 的俯角为 45 已知岛屿两端 A B 的距离 541 91 米 求飞机飞行的高度 结果精确到 1 米 参考数据 1 73 1 41 4 如图 某建筑物 BC 顶部有釕一旗杆 AB 且点 A B C 在同一条直线上 小红在 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 47 观测旗杆底部 B 的仰角为 42 已知点 D 到地面的距离 DE 为 1 56m EC 21m 求旗杆 AB 的高度和建筑物 BC 的高度 结果保留小数后一位 参考数据 tan47 1 07 tan42 0 90 5 如图 为了测出某塔CD的高度 在塔前的平地上选择一点A 用测角仪测得塔顶D的 仰角为30 在A C之间选择一点B A B C三点在同一直线上 用测角仪测得塔顶D 的仰角为75 且AB间的距离为40m 1 求点 B 到 AD 的距离 2 求塔高 CD 结果用根号表示 6 如图 一楼房 AB 后有一假山 其斜坡 CD 坡比为 1 山坡坡面上点 E 处有一休 息亭 测得假山坡脚 C 与楼房水平距离 BC 6 米 与亭子距离 CE 20 米 小丽从楼房顶 测得点 E 的俯角为 45 1 求点 E 距水平面 BC 的高度 2 求楼房 AB 的高 结果精确到 0 1 米 参考数据 1 414 1 732 7 如图是某货站传送货物的平面示意图 为了提高传送过程的安全性 工人师傅欲减小 传送带与地面的夹角 使其由 45 改为 30 已知原传送带 AB 长为 4米 1 求新传送带 AC 的长度 2 如果需要在货物着地点 C 的左侧留出 2 米的通道 试判断距离 B 点 5 米的货物 MNQP 是否需要挪走 并说明理由 参考数据 8 如图 小岛在港口 P 的北偏西 60 方向 距港口 56 海里的 A 处 货船从港口 P 出发 沿北偏东 45 方向匀速驶离港口 P 4 小时后货船在小岛的正东方向 求货船的航行速 度 精确到 0 1 海里 时 参考数据 1 41 1 73 自我诊断答案 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 1 过点 A 作 AM EF 于点 M 过点 C 作 CN EF 于点 N 设 CN x 分别表示出 EM AM 的长度 然后在 Rt AEM 中 根据 tan EAM 代入求解即可 2 根据 1 求得的结果 可得 EF DF CD 代入求解 解 1 过点 A 作 AM EF 于点 M 过点 C 作 CN EF 于点 N 设 CN x 在 Rt ECN 中 ECN 45 EN CN x EM x 0 7 1 7 x 1 BD 5 AM BF 5 x 在 Rt AEM 中 EAM 30 x 1 x 5 解得 x 4 3 即 DF 4 3 米 2 由 1 得 EF x 0 7 4 0 7 4 3 1 7 0 7 9 8 10 米 答 旗杆的高度约为 10 米 点评 本题考查了解直角三角形的应用 解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形 利用三角函数的知识求解 考点 解直角三角形的应用 分析 作 AD BC 交 CB 延长线于点 D 线段 AD 即为文物在地面下的深度 设 AD x 通 过解直角 ABD 求得 BD 通过解直角 ACD 求得 CD x 由此列出关于 x 的方程 通过方程求得 AD 的长度 最后通过解直角三角形 ABD 来求 AB 的长度即可 解 作 AD BC 交 CB 延长线于点 D 线段 AD 即为文物在地面下的深度 根据题意得 CAD 30 ABD 56 设 AD x 在直角 ABD 中 ABD 56 BD 在直角 ACD 中 ACB 30 CD AD x x 20 解得 x 18 97 AB 23 答 从 B 处挖掘的最短距离为 23 米 点评 此题考查了解直角三角形的应用 主要是正切 余弦概念及运算 关键把实际问题 转化为数学问题加以计算 跟踪训练答案 1 考点 解直角三角形的应用 分析 过点 C 作 CD AB 交 AB 于点 D 则 CAD 30 CBD 60 在 Rt BDC 中 CD BD 在 Rt ADC 中 AD CD 然后根据 AB AD BD 4 即可得到 CD 的 方程 解方程即可 解 如图 过点 C 作 CD AB 交 AB 于点 D 探测线与地面的夹角为 30 和 60 CAD 30 CBD 60 在 Rt BDC 中 tan60 BD 在 Rt ADC 中 tan30 AD AB AD BD 4 CD 2 3 5 米 答 生命所在点 C 的深度大约为 3 5 米 点评 本题考查了解直角三角形的应用 难度适中 解答本题的关键是构造直角三角形 解直角 三角形 也考查了把实际问题转化为数学问题的能力 4 33 3 CDCD 2 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 1 作 PQ AB 交 AB 的延长线于 H 根据三角形的外角的性质计算 2 设 PQ xm 根据正 余弦的定义表示出 QH BH 根据等腰直角三角形的性质列 式计算即可 解 1 作 PQ AB 交 AB 的延长线于 H 由题意得 QBH 30 PBH 60 BQH 60 PBQ 30 BPQ BQH PBQ 30 2 设 PQ xm BPQ PBQ BQ PQ xm QBH 30 QH BQ x BH x A 45 6 x xx 解得 x 2 6 9 答 该电线杆 PQ 的高度约为 9m 点评 本题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题 掌握仰角俯角的概念 熟记锐角 三角函数的定义是解题的关键 3 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 过点 A 作 AE CD 于点 E 过点 B 作 BF CD 于点 F 设高度为 x 米 在 Rt AEC 中可得 CE 在 Rt BFD 中有 DF x 根据 AB EF CD DF CE 列出方程 解方程可求得 x 的值 解 过点 A 作 AE CD 于点 E 过点 B 作 BF CD 于点 F 设高度为 x 米 AB CD AEF EFB ABF 90 四边形 ABFE 为矩形 AB EF AE BF 由题意可知 AE BF x 米 CD 500 米 在 Rt AEC 中 C 60 CE 米 在 Rt BFD 中 BDF 45 DF x 米 AB EF CD DF CE 即 500 x x 541 91 解得 x 99 答 飞机行飞行的高度是 99 米 点评 此题考查了俯角的定义 解直角三角形与矩形的性质 注意能借助俯角构造直角三 角形并解直角三角形是解此题的关键 注意数形结合思想的应用 4 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 根据题意分别在两个直角三角形中求得 AF 和 BF 的长后求差即可得到旗杆的高度 进而求得 BC 的高度 解 根据题意得 DE 1 56 EC 21 ACE 90 DEC 90 过点 D 作 DF AC 于点 F 则 DFC 90 ADF 47 BDF 42 四边形 DECF 是矩形 DF EC 21 FC DE 1 56 在直角 DFA 中 tan ADF AF DF tan47 21 1 07 22 47 m 在直角 DFB 中 tan BDF BF DF tan42 21 0 90 18 90 m 则 AB AF BF 22 47 18 90 3 57 3 6 m BC BF FC 18 90 1 56 20 46 20 5 m 答 旗杆 AB 的高度约是 3 6m 建筑物 BC 的高度约是 20 5 米 点评 此题考查的知识点是解直角三角形的应用 解题的关键是把实际问题转化为解直角 三角形问题 先得到等腰直角三角形 再根据三角函数求解 5 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 1 过点 B 作 BE AD 于点 E 然后根据 AB 40m A 30 可求得点 B 到 AD 的距离 2 先求出 EBD 的度数 然后求出 AD 的长度 然后根据 A 30 即可求出 CD 的高 度 解 1 过点 B 作 BE AD 于点 E AB 40m A 30 BE AB 20m AE 20m 即点 B 到 AD 的距离为 20m 2 在 Rt ABE 中 A 30 ABE 60 DBC 75 EBD 180 60 75 45 DE EB 20m 则 AD AE EB 20 20 20 1 m 在 Rt ADC 中 A 30 DC 10 10 m 答 塔高 CD 为 10 10 m 点评 本题考查了解直角三角形的应用 难度适中 解答本题的关键是根据仰角构造直角 三角形并解直角三角形 6 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 分析 1 过点 E 作 EF BC 于点 F 在 Rt CEF 中 求出 CF EF 然后根据勾股定 理解答 2 过点 E 作 EH AB 于点 H 在 Rt AHE 中 HAE 45 结合 1 中结论得到 CF 的值 再根据 AB AH BH 求出 AB 的值 解 1 过点 E 作 EF BC 于点 F 在 Rt CEF 中 CE 20 EF2 EF 2 202 EF 0 EF 10 答 点 E 距水平面 BC 的高度为 10 米 2 过点 E 作 EH AB 于点 H 则 HE BF BH EF 在 Rt AHE 中 HAE 45 AH HE 由 1 得 CF EF 10 米 又 BC 6 米 HE 6 10米 AB AH BH 6 10 10 16 10 33 3 米 答 楼房 AB 的高约是 33 3 米 7 考点 解直角三角形的应用 坡度坡角问题 分析 1 在构建的直角三角形中 首先求出两个直角三角形的公共直角边 进而在 Rt ACD 中 求出 AC 的长 2 通过解直角三角形 可求出 BD CD 的长 进而可求出 BC PC 的长 然后判断 PC 的值是否大于 2 米即可 解 1 如图 在 Rt ABD 中 AD ABsin45 4 4 在 Rt ACD 中 ACD 30 AC 2AD 8 即新传送带 AC 的长度约为 8 米 2 结论 货物 MNQP 不用挪走 解 在 Rt ABD 中 BD ABcos45 4 4 在 Rt ACD 中 CD ACcos30 2 CB CD BD 2 4 0 9 PC PB CB 4 0 9 3 1 2 货物 MNQP 不应挪走 点评 考查了坡度坡脚问题 应用问题尽管题型千变万化 但关键是设法化归为解直角三 角形问题 必要时应添加辅助线 构造出直角三角形 在两个直角三角形有公共直角边 时 先求出公共边的长是解答此类题的基本思路 8 考点 解直角三角形的应用 方向角