2008年高考试题——数学理(全国卷2)

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一 选择题一 选择题 1 设集合 则 23 mZmM 31 nZnN NM A B C D 1 0 1 0 1 2 1 0 2 1 0 1 2 设 a b R 且 b 0 若复数是实数 则 3 bi a A B C D 22 3ab 22 3ba 22 9ab 22 9ba 3 函数的图像关于x x xf 1 A y 轴对称 B 直线 y x C 坐标原点对称 D 直线 y x 4 若 则 1 1 exxln axln2 bx 3 ln c A B C D cba bac cab acb 5 设变量 x y 满足约束条件 则的最小值为 2 22 x yx xy yxz3 A 2 B 4 C 6 D 8 6 从 20 名男同学 10 名女同学中任选 3 名参加体能测试 则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学 的概率为 A B C D 29 9 29 10 29 19 29 20 7 的展开式中 x 的系数是 46 11xx A 4 B 3 C 3 D 4 8 若动直线与函数和的图像分别交于 M N 两点 则的最大值为ax xxfsin xxgcos MN A 1 B C D 223 9 设 则双曲线的离心率 e 的取值范围是1 a 22 22 1 1 xy aa A B C D 2 2 5 2 5 2 5 2 10 已知正四棱锥 S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等 E 是 SB 的中点 则 AE SD 所成的角的余弦值为 A B C D 3 1 3 2 3 3 3 2 11 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为和 原点在等腰三角形的底边02 yx047 yx 上 则底边所在直线的斜率为 A B C D 32 3 1 2 1 12 已知球的半径为 2 相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆 若两圆的公共弦长为 2 则两圆的圆 心距等于 A B C D 1232 二 填空题 二 填空题 13 设向量 a a 1 1 2 2 b b 2 2 3 3 若向量 a b a b 与向量 c c 4 4 7 7 共线 则 14 设曲线在点 0 1 处的切线与直线垂直 则 a ax ey 012 yx 15 已知 F 为抛物线 C 的焦点 过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A B 两点 设 则xy4 2 FBFA 与的比值等于 FAFB 16 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个 如两组对边分别平行 类似地 写出空间中的 一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件 充要条件 充要条件 写出你认为正确的两个充要条件 三 解答题 三 解答题 17 本小题满分 10 分 在 ABC 中 13 5 cos B 5 4 cos C 求的值 Asin 求 ABC 的面积 求 BC 的长 2 33 ABC S 18 本大题满分 12 分 购买某种保险 每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元 若投保人在购买保险的一年度内出险 则可 以获得 10000 元的赔偿金 假定在一年度内有 10000 人购买了这种保险 且各投保人是否出险相互独立 已 知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10000 元的概率为 4 10 999 0 1 求一投保人在一年度内出险的概率 p 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50000 元 为保证盈利的期望不小于 0 求每位投 保人应交纳的最低保费 单位 元 19 本大题满分 12 分 如图 正四棱柱中 点 E 在上且 1111 DCBA ABCD42 1 ABAAECEC3 1 证明 平面 CA1BED 求二面角的大小 B DE A1 20 本大题满分 12 分 设数列的前 n 项和为 已知 n a n Saa 1 n nn Sa3 1 Nn 设 求数列的通项公式 n nn Sb3 n b 若 求 a 的取值范围 nn aa 1 Nn 21 本大题满分 12 分 设椭圆中心在坐标原点 A 2 0 B 0 1 是它的两个顶点 直线与 AB 相交于点 D 与椭圆相 0 kkxy 较于 E F 两点 若 求 k 的值 DFED6 求四边形 AEBF 面积的最大值 22 本大题满分 12 分 设函数 x x xf cos2 sin 求的单调期间 xf 如果对任何 都有 求 a 的取值范围 0 xaxxf 2008 年高考试题答案 理 年高考试题答案 理 一 选择题一 选择题 123456789101112 BACCDDBBBCAC 提示 提示 1 1 0 1 2 1 ZxxxNM 2 223232233 30 0 3 3 3 abbbbaibbaababia 3 为奇函数为奇函数 xf 4 cabxxe 0ln11 1 5 当 当时 时 2 2 y x 83 min yxZ 6 29 20 1 3 30 3 10 3 30 3 20 C C C C P 7 的系数为的系数为xxxxx 2446 1 1 1 1 3 2 2 1 4 CC 8 2 4 sin 2 cossin aaaMN 9 2 2 1 1 2 22 aaa aa e1 1 2 a 1 1 0 a 在在为单增函数 为单增函数 1 1 2 tu 1 0 52 u52 e 10 连结 连结 AC BD 相交于相交于 O 点 连结点 连结 OE 则 则 OE SO 所以 所以为所求角 设为所求角 设 AB 2 则 则 OE 1 AE AEO AO 32 3 3 cos AE OE AEO 11 设底边斜率为 直线 设底边斜率为 直线与与的斜率分别为的斜率分别为02 yx047 yx 7 1 1 又原点在底边上 所以 又原点在底边上 所以 3 1 3 7 1 7 1 1 1 k k k k k 12 与与的公共弦为的公共弦为 AB 球心为 球心为 AB 中点为中点为 C 则四边形 则四边形为矩形 所以为矩形 所以 1 O 2 OCOOO 21 3 1 2 22 21 ACOAOCOCACACOAOCOO 二 填空题二 填空题 13 20 2 7 32 4 32 2 ba 14 当 当时时 ax aey 0 x2 aay 15 设 设 AB 所在直线方程为所在直线方程为 1 xy044 4 1 2 2 yy xy xy 222 y 223 222 222 FB FA 16 两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等 对角线交于一点 底面是平行四边形 两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等 对角线交于一点 底面是平行四边形 注 上面给出了四个充要条件 如果考生写出其他正确答案 同样给分 注 上面给出了四个充要条件 如果考生写出其他正确答案 同样给分 三 解答题三 解答题 17 解 由 得 5 cos 13 B 12 sin 13 B 由 得 4 cos 5 C 3 sin 5 C 所以 5 分 33 sinsin sincoscossin 65 ABCBCBC 由得 33 2 ABC S 133 sin 22 ABACA 由 知 33 sin 65 A 故 8 分65ABAC 又 sin20 sin13 ABB ACAB C 故 2 20 65 13 AB 13 2 AB 所以 10 分 sin11 sin2 ABA BC C 18 解 各投保人是否出险互相独立 且出险的概率都是 记投保的 10 000 人中出险的人数为 则p 4 10 Bp 记表示事件 保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金 则发生当且仅当 2 分AA0 1 P AP A 1 0 P 4 10 1 1 p 又 4 10 1 0 999P A 故 5 分0 001p 该险种总收入为元 支出是赔偿金总额与成本的和 10 000a 支出 10 00050 000 盈利 10 000 10 00050 000 a 盈利的期望为 9 分10 00010 00050 000EaE 由知 43 10 10 B 3 10 000 10E 444 10105 10EaE 44434 101010105 10a 0E 444 1010105 100a 1050a 元 15a 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 12 分 19 解法一 依题设知 2AB 1CE 连结交于点 则 ACBDFBDAC 由三垂线定理知 3 分 1 BDAC 在平面内 连结交于点 1 ACAEF 1 ACG 由于 1 2 2 AAAC FCCE 故 1 RtRtA ACFCE 1 AACCFE 与互余 CFE 1 FCA 于是 1 ACEF 与平面内两条相交直线都垂直 1 ACBEDBDEF 所以平面 6 分 1 AC BED 作 垂足为 连结 由三垂线定理知 GHDE H 1 AH 1 AHDE 故是二面角的平面角 8 分 1 AHG 1 ADEB A B C D E A1 B1 C1 D1 F H G 22 3EFCFCE 2 3 CECF CG EF 22 3 3 EGCECG 1 3 EG EF 12 315 EFFD GH DE 又 22 11 2 6ACAAAC 11 5 6 3 AGACCG 1 1 tan5 5 AG AHG HG 所以二面角的大小为 12 分 1 ADEB arctan5 5 解法二 以为坐标原点 射线为轴的正半轴 DDAx 建立如图所示直角坐标系 Dxyz 依题设 1 2 2 0 0 2 0 0 21 2 0 4 BCEA 0 21 2 2 0 DEDB 3 分 11 2 24 2 0 4 ACDA 因为 1 0AC DB A 1 0AC DE A 故 1 ACBD 1 ACDE 又 DBDED 所以平面 6 分 1 AC DBE 设向量是平面的法向量 则 xyz n 1 DAE DE n 1 DA n 故 20yz 240 xz 令 则 9 分1y 2z 4x 412 n 等于二面角的平面角 1 AC n 1 ADEB A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z 1 1 1 14 cos 42 AC AC AC A n n n 所以二面角的大小为 12 分 1 ADEB 14 arccos 42 20 解 依题意 即 11 3n nnnn SSaS 1 23n nn SS 由此得 4 分 1 1 32 3 nn nn SS 因此 所求通项公式为 6 分 1 3 3 2 nn nn bSa n N 由 知 1 3 3 2 nn n Sa n N 于是 当时 2n 1nnn aSS 112 3 3 23 3 2 nnnn aa 12 2 3 3 2 nn a 12 1 4 3 3 2 nn nn aaa 2 2 3 2123 2 n n a A 当时 2n 2 1 3 1230 2 n nn aaa A 9a 又 211 3aaa 综上 所求的的取值范围是 12 分a 9 21 解 依题设得椭圆的方程为 2 2 1 4 x y 直线的方程分别为 2 分ABEF 22xy 0 ykx k 如图 设 其中 001122 D xkxE xkxF xkx 12 xx 且满足方程 12 xx 22 14 4kx 故 21 2 2 14 xx k 由知 得 6EDDF 0120 6 xxxx 0212 2 1510 6 77 7 14 xxxx k 由在上知 得 DAB 00 22xkx 0 2 12 x k 所以 2 210 12 7 14 k k 化简得 2 242560kk 解得或 6 分 2 3 k 3 8 k 解法一 根据点到直线的距离公式和 式知 点到的距离分别为EF AB 2 11 1 2 222 1214 5 5 14 xkxkk h k 9 分 2 22 2 2 222 1214 5 5 14 xkxkk h k 又 所以四边形的面积为 2 215AB AEBF 12 1 2 SAB hh 2 14 12 5 2 5 14 k k AA 2 2 12 14 k k 2 2 144 2 14 kk k 2 2 当 即当时 上式取等号 所以的最大值为 12 分21k 1 2 k S2 2 解法二 由题设 1BO 2AO 设 由 得 11 ykx 22 ykx 2 0 x 21 0yy D F B y x A O E 故四边形的面积为AEBF BEFAEF SSS 9 分 22 2xy 2 22 2 xy 22 2222 44xyx y 22 22 2 4 xy 2 2 当时 上式取等号 所以的最大值为 12 分 22 2xy S2 2 22 解 2 分 22 2cos cossin sin 2cos1 2cos 2cos xxxxx fx xx 当 时 即 2 2 2 2 33 kxk k Z 1 cos 2 x 0fx 当 时 即 2 4 2 2 33 kxk k Z 1 cos 2 x 0fx 因此在每一个区间 是增函数 f x 2 2 2 2 33 kk k Z 在每一个区间 是减函数 6 分 f x 2 4 2 2 33 kk k Z 令 则 g xaxf x 2 2cos1 2cos x g xa x 2