《量子力学》试卷一

一 判断题一 判断题 共 10 分 每题 2 分 1 在量子力学中 粒子在某一点的能量等于动能与势能之和 2 若 则的本征函数必定也是的本征函数 3 力学量算符 则和必相互对易 4 若力学量算符不显含时间 则力学量必为运动恒量 5 在任意态中 力学量 x 和必定满足下述关系式 得 分评卷人 二 填充题二 填充题 共 10 分 每题 2 分 1 德布罗意关系式是 和 2 称 等固有性质 的微观粒子为全同粒子 2 质量 电荷 自旋 完全相同 3 下列算符 是线性算符的是 4 有一势场为 如图所示 当 粒子处于束缚态时 E 的取值范围为 4 2 0uE 5 已知体系的哈密顿算符为 下列算符 x y 0 a b x U x 与对易的有 得 分评卷人 三 说明题 共三 说明题 共 8 分 分 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义 得 分评卷人 四 证明题四 证明题 共 24 分 每题 8 分 1 设 是厄密算符的本征函数 它们所属的本征值 都不相等 试证当时 有 2 已知 试证 3 设为算符属于本征值的本征函数 且 试证是算符 属于本征值的本征函数 得 分评卷人 五 计算题五 计算题 共 48 分 每题 12 分 1 一粒子在一维势场中运动 其中 求束缚态能级所满足的 方程 2 设氢原子处于状态 求氢原子能量 角动量平方及角动量 z 分量的可能取值及其相应的几率 并求这些力学量的平均值 3 转动惯量为 I 电矩为的平面转子处在均匀电场中 电场是在转子运动的平面上 用微扰法求转子能量至二级修正 4 设两个电子在弹性辏力场中运动 每个电子的势能是 如果电子之间 的库仑能和 相比可以忽略 求这两个电子组成的体系波函数 量子力学 试卷答案一 一 判断题 每小题 2 分 共 10 分 在每小题后的括号内对的打 错的打 1 2 3 4 5 二 填空题 每小题 2 分 共 10 分 1 hE kn h P 2 质量 电荷 自旋 完全相同 3 1 3 5 4 2 0uE 5 3 4 5 三 说明题 每小题 8 分 共 8 分 粒子 共同点 颗粒性 即是具有一定质量 电荷等属性的客体 不同点 经典粒子遵循经典决定论 沿确定轨道运动 微观粒子不遵循经典决定论 无确定轨道运动 4 分 波 共同点 遵循波动规律 具有相干迭加性 不同点 经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的 量子力学中的物质波不存在这样的物理量 它只是一种几率波 4 分 四 证明题 每小题 8 分 共 24 分 1 kkk F lll F ddF lkllk 3 分 ddFdF lkklklk 3 分 当 kl 时 0 d lk 2 分 2 22 yx LiLLLL 4 分 22 yx LLiLL 0 4 分 3 BBABBBABk 1 1 6 分 B 是k 属于本征值 1 的本征函数 2 分 五 计算题 每小题 12 分 共 48 分 1 是束缚态 0 0uE 1 分区列方程 axEu dx d axaE dx d axEu dx d IIIIII III II II II I 0 2 22 2 22 0 2 22 2 2 2 4 分 0 2 0 22 2 I I Eu dx d 0 2 22 2 II II E dx d 0 2 0 22 2 III III Eu dx d 2 求通解 令 2 0 2 2 Eu 2 2 2 E k xx I eAeA 21 sin kxB II xx III eCeC 21 3 利用波函数的标准条件 有限性 0 u u I II III a a x 当 x 时 0 I 0 2 A x I eA 1 当 x 时 0 III 0 1 C x III eC 2 4 分 连续性 ax II ax I ax II ax I dx d dx d 2 cos 1 sin 1 1 kaBkeA kaBeA a a ax III ax II ax III ax II dx d dx d 4 cos 3 sin 2 2 a a eCkaBk eCkaB 1 2 得 k katg 5 3 4 得 k katg 6 由 5 得 k tgnka 1 1 1 0 1 n 由 6 得 k tgnka 1 2 1 0 2 n 两式相加 22 21 mnn 1 0 21 nnm 实际上只有两组独立的解 分别对应 当 0 时 k tgka 当2 时 k ctgka 这就是束缚态能级所满足的方程 4 分 2 对于氢原子定态波函数 lmnlnlm YrR 有 nlm n nlm z m ll E L L H 2 2 1 其中 0 2 2 2an e E s n 2 分 题中给定的 r 已按 nlm 展开了 且有 1 211 C 3 121 C 显然 4 2 121 2 211 CC 即 r 末归一化 经归一化4 12 211 C 4 32 121 C 1 分 当氢原子处于状态 r 时 能量的可能取值为 0 2 2 8a e E s 相应几率为 1 平均值为 0 2 2 8a e EE s 3 分 角动量平方的可能取值为 22 2 L 相应几率为 1 平均值为 22 2 L 3 分 角动量 z 分量的可能取值为 z L 相应几率为 4 1 4 3 平均值为 24 3 4 1 z L 3 分 3 在均匀电场中 平面转子体系的哈密顿算符为 HHD I L H z cos 2 0 2 其中 cos DH I L H z 2 2 0 0 H 的本征值和本征函数分别为 I m Em 2 22 0 im m e 2 1 0 1 0 m 3 分 H 不显含时间 属于定态微扰 2 0 0 0 2 0 0 0 2 cos dee D dDH n ii mnmmn 2 0 0 1 0 2 0 0 1 0 2 dd D nmnm 1 0 1 2 22 1 1 nm nm D DD nmnm 4 分 由上式可见 对于能级 0 m E 的 2 个简并态 0 m 和 0 m H 的所有矩阵元均为 0 即 0 mmmmmm HHH 本题可按非简并态微扰论处理 精确到二级修正的能量值为 2 分 0 0 2 0 nm mn n mmm EE H HEE I m I m D I m I m D I m 2 1 2 4 2 1 2 4 2 2222 22 2222 22 22 22 2222 14 2 m ID I m 3 分 4 这个一个两电子体系 属于费米子系统 在不考虑电子之间库仑相互作用的情况下 2 1 212121 rrrrrr mnnms 2 1 212121 rrrrrr mnnmA 2 分 其中 r m r n 分别为谐振子第 m n 个能量本征函数 1 当 m n 时 由这两电子组成的体系波函数为 2121zzAmmA ssrr 3 分 2 当 nm 时 由这两电子组成的体系波函数为 2121zzAsA ssrr 单重态 21 3 21 2 21 1 21 z