陕西省西安市2013届高三数学第六次模拟考试试题 理 北师大版

1 陕西师大附中高陕西师大附中高 20132013 届第六次模拟数学 理科 试题届第六次模拟数学 理科 试题 一 选择题 本大题共道小题 每道小题分 共分 10550 1 已知复数z的实部为 1 虚部为 2 则 5i z A 2 i B 2 i C 2i D 2i 2 设全集则是 2 0 ln 1 UR Ax x xBx yx U AB A B C D 2 1 2 1 1 2 1 2 3 已知三条直线 若关于的对称直线与 1 4 1lxy 2 0lxy 3 2 3lxmy 1 l 2 l 垂直 则实数的值是 3 lm A B C D 8 1 2 8 1 2 4 下列有关命题的说法正确的是 A 命题 若 2 1x 则1 x 的否命题为 若 2 1x 则1x B 1x 是 2 560 xx 的必要不充分条件 C 命题 存在 Rx 使得 2 10 xx 的否定是 对任意 Rx 均有 2 10 xx D 命题 若xy 则sinsinxy 的逆否命题为真命题 5 已知三棱锥的主视图与俯视图如下图 俯视图是边长为 2 的正三角形 那么该三棱锥的 左视图可能为 6 函数的一部分图象如图所示 则 sin 0 0 2 f xAxb A A B 3sin 2 1 6 f xx 2sin 3 2 3 f xx 2 C D 2sin 3 2 6 f xx 2sin 2 2 6 f xx 7 已知 若k为满足的一随机整数 则是直角三 1 ABk 2 4 AC 4AB ABC 角形的概率为 A B C D 1 7 3 7 1 3 2 3 8 在如右程序框图中 若 x xexf 0 则输出的是 A B 2014 xx exe 2012 xx exe C D 2013 xx exe 2013 x ex 9 双曲线的一个焦点为 顶点为 是双 22 22 1 xy ab 1 F 12 A AP 曲线上任意一点 则分别以线段为直径的两圆一定 112 PF A A A 相交 B 相切 C 相离 D 以上情况都有可能 10 设为坐标原点 第一象限内的点的坐标满足约束条件 260 20 xy xy O M x y 若的最大值为 则 51 ab 的最小值为 0 0 ONa bab OM ON A40 A 25 6 B 9 4 C 1 D 4 二 填空题 本大题共道小题 每道小题分 共分 5525 11 在样本的频率分布直方图中 共有 9 个小长方形 若第一个长方形的面积为 0 02 前五个与后五个长方 形的面积分别成等差数列且公差互为相反数 若样本容 量为 160 则中间一组 即第五组 的频数为 12 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法 向量 在平面直角坐标系中 利用求动点轨迹方程的方法 可以求出过点 且法 2 3 A 向量为的直线 点法式 方程为 化简得 1 2 n 1 2 2 3 0 xy 类比以上方法 在空间直角坐标系中 经过点且法向量为280 xy 2 1 3 A 的平面 点法式 方程为 1 2 1 n 开始 输入 0 fx 1 ii f xfx 结束 输出 i f x 0i 1ii 2013i 是 否 3 请写出化简后的结果 13 设函数 若 则实数的取值范围是 2 1 2ln 1 x x f x x x 4f x x 14 已知数列满足则的最小值为 n a 11 66 4 nn aaan n a n 15 考生注意 请在下列三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题评分 A 不等式选做题 若实数满足 则的最大值为 x y 22 326xy 2xy B 几何证明选做题 如图 已知的两条直角Rt ABC 边的长分别为 以为直径的圆 AC BC3 4cmcmAC 与交于点 则 ABD BD DA C 坐标系与参数方程选做题 已知圆的参数方程为C 以原点为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 直线 的极坐 cos 1 sin x y 为参数xl 标方程为 则直线 与圆的交点的直角坐标为 cos1 lC 三 解答题 本大题共道小题 满分分 675 16 本小题分 12 已知的前项和为 且 n an n S4 nn aS 求证 数列是等比数列 n a 是否存在正整数 使成立 k 1 2 2 2 k k S S 17 本小题分 已知的最小正周期为 12 2 3sin 2sin 0 2 x f xx 3 当时 求函数的最小值 3 24 x f x 在 若 且 求的值 ABC 1f C 2 2sincoscos BBAC sin A 18 本小题分 如图 已知直角梯形ACDE所在12 的平面垂直于平面ABC 90BACACD 60EAC ABACAE 在直线BC上是否存在一点P 使得 DP平面 EAB 请证明你的结论 D O C B A E D C B A 4 求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值 19 本小题分 甲 乙 丙 丁 4 名同学被随机地分到三个社区参加社会实践 12 A B C 要求每个社区至少有一名同学 求甲 乙两人都被分到社区的概率 A 求甲 乙两人不在同一个社区的概率 设随机变量为四名同学中到社区的人数 求的分布列和的值 A E 20 本小题分 已知平面内的一个动点到直线的距离与到定点13P 4 3 3 l x 的距离之比为 点 设动点的轨迹为曲线 3 0 F 2 3 3 1 1 2 APC 求曲线的方程 C 过原点的直线 与曲线交于两点 求面积的最大值 OlC M NMAN 21 本小题分 已知 14 2 ln 3f xxx g xxax 求函数在上的最小值 f x 1 0 t tt 对一切恒成立 求实数a的取值范围 0 2 xf xg x 证明 对一切 0 x 都有成立 12 ln x x eex 陕西师大附中高陕西师大附中高 20132013 届第六次模拟数学 理科 答案届第六次模拟数学 理科 答案 一 选择题 分 10 550 题号 12345678910 答案 ACDDBDBCBA 二 填空题 分 5 525 11 36 12 270 xyz 13 14 21 2 2 e 15 A B C 11 16 9 1 1 1 1 三 解答题 分 75 16 本小题满分 12 分 解析 由题意 4 nn aS 11 4 nn aS 由两式相减 得 11 0 nnnn aSaS 5 即 3 分 1 20 nn aa 1 1 2 nn aa 又 111 24aaS 1 2a 数列 n a是以首项 公比为的等比数列 6 分 1 2a 1 2 q 由 得 8 分 2 1 2 1 2 42 1 1 2 n n n S 又由 得 1 2 2 2 k k S S 1 2 422 2 422 k k 整理得 即 10 分 1 2 21 3 k 1 3 12 2 k 这与相矛盾 kN 1 2kN 1 3 2 1 2 k 故不存在这样的 使不等式成立 12 分k 17 本小题满分12分 解析 1 cos 3sin 2 2 x f xx 2分3sin cos 12sin 1 6 xxx 由得 4分 2 3 2 3 2 2sin 1 36 f xx 由得 3 24 x 22 2363 x 当时 6分 23 sin 362 x min 3 2131 2 f x 由及 得 2 2sin 1 36 f CC 1f C 2 sin 1 36 C 而 所以 解得 8分 25 6366 C 2 362 C 2 C 在中 Rt ABC 2 AB 2 2sincoscos BBAC 10分 2 2cossinsin0AAA 解得 2 sinsin10AA 15 sin 2 A 12分0sin1A 51 sin 2 A 18 本小题满分 12 分 解析解析 线段BC的中点就是满足条件的点P 2 分 6 A B C DE P M F 证明如下 取AB的中点F连结DPPFEF 则 ACFP ACFP 2 1 取AC的中点M 连结EMEC ACAE 且60EAC EAC是正三角形 ACEM 四边形EMCD为矩形 ACMCED 2 1 4 分 又 ACED FPED 且EDFP 四边形EFPD是平 行四边形 EFDP 而EF 平面EAB DP 平面EAB DP平面EAB 6 分 法 1 过B作AC的平行线l 过C作l的垂线交l于G 连结DG ACED lED l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱 8 分 平面EAC 平面ABC ACDC DC平面ABC 又 l平面ABC DCl l平面DGC DGl DGC 是所求二面角的平面角 10 分 设aAEACAB2 则aCD3 aGC2 aCDGCGD7 22 7 72 coscos GD GC DGC 12 分 法 2 90BAC 平面EACD 平面ABC 以点A为原点 直线AB为x轴 直线AC为y轴 建立空间直角坐标系xyzA 则z轴在平面EACD内 如图 设aAEACAB2 由已知 得 0 0 2 aB 3 0 aaE 3 2 0 aaD 3 2 aaaEB 0 0 aED 8 分 设平面EBD的法向量为 nx y z 则nEB 且nED 0 0 n EB n ED 0 032 ay azayax A B C DE P M F G A B C DE P M F y x z 7 解之得 0 2 3 y zx 取2z 得平面EBD的一个法向量为 3 0 2 n 10 分 又 平面ABC的一个法向量为 0 0 1 n 10 分 222222 300 02 12 7 coscos 7 3 02001 n n 12 分 19 本小题满分12分 解析 记甲 乙两人同时到社区为事件 那么 A A E 2 2 23 43 1 18 A A p E C A 即甲 乙两人同时到社区的概率是 2分A 1 18 记甲 乙两人在同一社区为事件 那么 4分E 3 3 23 43 1 6 A p E C A 所以 甲 乙两人不在同一社区的概率是 6分 5 1 6 p Ep E 随机变量可能取的值为1 2 事件 是指有 个同学到社 1 2 i i iA 区 则 8分 22 42 23 43 1 2 3 C A p C A 所以 10分 2 1 1 2 3 pp 的分布列是 12分 214 12 333 E 20 本小题满分 13 分 解析 设动点到直线 的距离为 则 根据圆锥曲线的统一定义 Pld 3 2 PF d 点的轨迹为椭圆 2 分P 3 3 2 c ce a 2a 222 1bac 12 p 2 3 1 3 8 故椭圆的方程为 4 分C 2 2 1 4 x y 若直线 存在斜率 设其方程为与椭圆的交点 l ykx l C 1122 M x yN xy 将代入椭圆的方程并整理得 ykx C 2 2 1 4 x y 22 14 40kx 6 分 1212 2 4 0 14 xxx x k 2222 121212 1 1 4 MNkxxkxxx x 8 分 2 2 2 2 164 1 1 14 14 k k k k 又点到直线 的距离 Al 2 1 2 1 k d k 10 分 2 22 2 1 21 21 4 1 21414 14 MAN kkk SMNd kk k 当时 当时 0k 1 MAN S 0k 1 MAN S 当时 0k 2 444 1112 1 142 4 4 MAN k S k k k 若直线 的斜率不存在 则即为椭圆的短轴 lMN 2MN 1 MAN S 综上 的面积的最大值为 13 分MAN 2 21 本小题满分 14 分 解析 ln1fxx 当 1 0 0 xfxf x e 单调递减 当 1 0 xfxf x e 单调递增 2 分 即 1 0t e 时 min 11 f xf ee 4 分 1 01tt e 即 1 t e 时 在上单调递增 min lnf xf ttt 1 1tt e f x 1 t t 9 所以 min 11 0 1 ln t ee f x tt t e 6 分 2 2 ln3xxxax 则 3 2lnaxx x 设 3 2ln 0 h xxxx x 则 2 3 1 xx h x