高中数学 中午参考作业 苏教版必修2

用心 爱心 专心1 A B CD D 1 C1 B1 A1 高中数学高中数学 中午参考作业中午参考作业 苏教版必修苏教版必修 2 2 1 已知向量 a sin 2 x 3cosx b sinx cosx f x a b 求 f x 的最小正周期和单调增区间 如果三角形 ABC 中 满足 f A 3 2 求角 A 的值 解 f x sinxcosx 3 2 3 2 cos2x sin 2x 3 3 2 T 2 k 2 2x 3 2 k 2 k Z 最小正周期为 单调增区间 k 5 12 k 12 k Z 由 sin 2A 3 0 3 2A 3 7 3 2A 3 或 2 A 3 或 5 6 2 直棱柱 1111 ABCDABC D 中 底面 ABCD 是直角梯形 BAD ADC 90 222ABADCD 求证 AC 平面 BB1C1C 在 A1B1上是否存一点 P 使得 DP 与平面 BCB1与 平面 ACB1都平行 证明你的结论 证明 直棱柱 1111 ABCDABC D 中 BB1 平面 ABCD BB1 AC 2 分 又 BAD ADC 90 222ABADCD 2AC CAB 45 2BC BC AC 5 分 又 1 BBBCB 1 BB BC 平面 BB1C1C AC 平面 BB1C1C 7 分 存在点 P P 为 A1B1的中点 8 分 证明 由 P 为 A1B1的中点 有 PB1 AB 且 PB1 1 2 AB 9 分 又 DC AB DC 1 2 AB DC PB1 且 DC PB1 DC PB1为平行四边形 从而 CB1 DP 11 分 又 CB1 面 ACB1 DP 面 ACB1 DP 面 ACB1 13 分 同理 DP 面 BCB1 14 分 评讲建议 本题主要考查线面平行 垂直的的判定和证明等相关知识 第一小题要引导学生挖掘 直角梯形 ABCD 中 BC AC 第二小题 要求学生熟练掌握一个常用结论 若一直线 用心 爱心 专心2 与两相交平面相交 则这条直线一定与这两平面的交线平行 同时注意问题的逻辑要 求和答题的规范性 这里只需要指出结论并验证其充分性即可 当然亦可以先探求结 论 再证明之 这事实上证明了结论是充分且必要的 3 在 ABC 中 角 A B C 所对边分别为 a b c 且 tan2 1 tan Ac Bb 求角 A 若 m 0 1 n 2 cos 2cos 2 C B 试求 m n 的最小值 解 tan2sincos2sin 11 tansincossin AcABC BbBAB 3 分 即 sincossincos2sin sincossin BAABC BAB sin 2sin sincossin ABC BAB 1 cos 2 A 5 分 0 A 3 A 7 分 m n 2 cos 2cos1 cos cos 2 C BBC m n 22222 2 1 coscoscoscos 1sin 2 326 BCBBB 10 分 3 A 2 3 BC 2 0 3 B 从而 7 2 666 B 12 分 当 sin 2 6 B 1 即 3 B 时 m n 2 取得最小值 1 2 13 分 所以 m n min 2 2 14 分 4 理 已知矩阵 M 且 1 1 a b 2 0 c N d 20 20 MN 求实数的值 求直线在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方 a b c d3yx 程 命题意图 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识 考查运算求解能力 解析 由题设得 解得 02 20 02 20 c ad bc bd 1 1 2 2 a b c d 因为矩阵 M 所对应的线性变换将直线变成直线 或点 所以可取直线上的3yx 用心 爱心 专心3 两 0 0 1 3 由 得 点 0 0 1 3 在矩阵 M 所对 0 0 11 11 0 0 1 3 11 11 2 2 应的线性变换下的像是 0 0 2 2 从而 直线在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程为 3yx yx 练习二 1 已知sin 2 3sin tan tan xyyf x 设记 1 f x求的解析表达式 2 若 角是一个三角形的最小内角 试求函数 f x的值域 解 1 由 sin3 2sin 得 sin 3 sin 2 分 sin cos 3cos sin 3sin cos cos sin sin cos cos sin tan2 tan 于是 tan2 tantan1 tantan x xy yx 2 1 即 2 21x x y 即 f x 2 12 x x 7 分 2 角是一个三角形的最小内角 0 3 03x 10 分 设 1 2g xx x 则 1 2g xx x 2 2 当且仅当 2 2 x 时取 12 分 故函数 f x的值域为 2 0 4 14 分 2 如图 四边形 ABCD 为矩形 BC 上平面 ABE F 为 CE 上的点 且 BF 平面 ACE 1 求证 AE BE 2 设点 M 为线段 AB 的中点 点 N 为线段 CE 的中点 求证 MN 平面 DAE 解 1 证明 因为ABEBC平面 ABEAE平面 所以BCAE 2 分 又ACEBF平面 ACEAE平面 所以BFAE 4 分 又BFBCB 所以BCEAE平面 6 分 A B C D E F M 第 16 题 N 第 16 题图 用心 爱心 专心4 又BCEBE平面 所以BEAE 8 分 2 取DE的中点P 连接PNPA 因为点N为线段CE的中点 所以PN DC 且DCPN 2 1 10 分 又四边形ABCD是矩形 点M为线段AB的中点 所以AM DC 且DCAM 2 1 所以PN AM 且AMPN 故四边形AMNP是平行四边形 所以 MN AP 12 分 而 AP平面DAE MN平面DAE 所以MN 平面DAE 14 分 3 如图 在四边形 ABCD 中 AD 8 CD 6 AB 13 ADC 90 且50AB AC 1 求 sin BAD 的值 2 设 ABD 的面积为 S ABD BCD 的面积为 S BCD 求 ABD BCD S S 的值 解 1 在 Rt ADC 中 AD 8 CD 6 则 AC 10 43 cos sin 55 CADCAD 2 分 又 50AB AC AB 13 5 cos 13 AB AC BAC ABAC 4 分 0180BAC 12 sin 13 BAC 5 分 63 sinsin 65 BADBACCAD 8 分 2 1252 sin 25 BAD SAB ADBAD 1 sin60 2 BAC SAB ACBAC 24 ACD S 11 分 则 168 5 BCDABCACDBAD SSSS 3 2 ABD BCD S S 14 分 A C D B 用心 爱心 专心5 4 理 在直角坐标系 xoy 中 直线 的参数方程为 t 为参数 在极坐l 2 3 2 2 5 2 xt yt 标系 与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位 且以原点 O 为极点 以 x 轴正半轴为极轴 中 圆 C 的方程为 2 5sin 求圆 C 的直角坐标方程 设圆 C 与直线 交于点 A B 若点 P 的坐标为l 3 5 求 PA PB 解析 由得即2 5sin 22 2 50 xyy 22 5 5 xy 将 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程 得 l 22 22 3 5 22 tt 即由于 故可设是上述方程的两实根 2 3 240 tt 2 3 2 4 420 12 t t 所以故由上式及 t 的几何意义得 12 1 2 3 2 3 5 4 tt lP t t 又直线过点 PA PB 12 t t 12 t t 3 2 练习三 1 已知函数 22 sin2 3sin cos3cosf xxxxx 求函数 f x的单调增区间 已知 3f 且 0 求 的值 解 3sin2cos22f xxx 2sin 2 2 6 x 4 分 由 2 22 262 kxk 得 36 kxk 函数 f x的单调增区间为 36 kkk Z 7 分 由 3f 得 2sin 2 23 6 用心 爱心 专心6 1 sin 2 62 10 分 1 22 66 k 或 2 5 22 66 k 12 kk Z 即 1 k 或 2 3 k 12 kk Z 0 3 14 分 2 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 点 D 在边 BC 上 AD C1D 1 求证 AD 平面 BC C1 B1 2 设 E 是 B1C1上的一点 当 1 1 B E EC 的值为多少时 A1E 平面 ADC1 请给出证明 解 1 在正三棱柱中 C C1 平面 ABC AD 平面 ABC AD C C1 2 分 又 AD C1D C C1交 C1D 于 C1 且 C C1和 C1D 都在面 BC C1 B1内 AD 面 BC C1 B1 5 分 2 由 1 得 AD BC 在正三角形 ABC 中 D 是 BC 的中点 7 分 当 1 1 1 B E EC 即 E 为 B1C1的中点时 A1E 平面 ADC1 8 分 事实上 正三棱柱 ABC A1B1C1中 四边形 BC C1 B1是矩形 且 D E 分别 是 BC B1C1的中点 所以 B1B DE B1B DE 10 分 又 B1B AA1 且 B1B AA1 DE AA1 且 DE AA1 12 分 所以四边形 ADE A1为平行四边形 所以 E A1 AD 而 E A1 面 AD C1内 故 A1E 平面 AD C1 14 分 3 将圆022 22 yxyx按向量 1 1 a 平移得到圆O 直线l与圆O相交于A B两点 若在圆O上存在点C 使0 OCOAOBOCal 且求直线l的方程 解 由已知圆的方程为 22 1 1 2xy 按 1 1 a 平移得到 22 2O xyA OCOAOB 22 0OC ABOAOBOBOAOAOB 即OCAB 又OCal 且 1 1 a 1 OC k 1 AB k 设 0 AB lxym AB的中点为 D B1 A1 A B C C1 D 用心 爱心 专心7 由 2OCOAOBOD 则2OCOD 又 2 2 2 OCOD O到AB的距离等于 2 2 即 2 22 m 1m 直线l的方程为 10 xy 或10 xy 4 理 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 0 0 B 2 0 C 2 1 设 k 为非零实数 矩阵 M N 点 A B C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 10 0k 01 10 A1 B1 C1 A1B1C1的面积是 ABC 面积的 2 倍 求 k 的值 解析 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点 考查运算求解能力 满分 10 分 解 由题设得 0010 011010 kk MN 由 可知 A1 0 0 B1 0 2 C1 2 002200 10001022 kk k 计算得 ABC 面积的面积是 1 A1B1C1的面积是 则由题设知 k 2 12k 所以 k 的值为 2 或 2 练习四 1 已知向量 a 3sin cos b 2sin 5sin 4cos 3 2 2 且 a b 1 求 tan 的值 2 求 cos 23 的值 解 1 a b a b 0 而 a 3sin cos b 2sin 5sin 4cos 故 a b 6sin2 5sin cos 4cos2 0 2 分 由于 cos 0 6tan2 5tan 4 0 解之 得 tan 4 3 或 tan 1 2 6 分 用心 爱心 专心8 3 2 2 tan 0 故 tan 1 2 舍去 tan 4 3 7 分 2 3 2 2 3 24 由 tan 4 3 求得 1 tan 22 tan 2 2 舍去 52 5 sincos 2525 12 分 cos 23 coscossinsin 2323 2 5153 5252 2 515 10 14 分 2 如图 已知空间四边形ABCD中 BCAC ADBD E是AB的中点 求证 1 AB平面 CDE 2 平面CDE 平面ABC 3 若 G 为ADC 的重心 试在线段 AE 上确定一点 F 使得 GFA平面 CDE 解 证明 1 BCAC CEAB AEBE 同理 ADBD DEAB AEBE 又 CEDEE AB 平面CDE 5 分 2 由 1 有AB 平面CDE 又 AB 平面ABC 平面CDE 平面ABC 9 分 3 连接 AG 并延长交 CD 于 H 连接 EH 则 2 1 AG GH 在 AE 上取点 F 使得 2 1 AF FE 则GFEHA 易知 GFA平面 CDE 14 分 3 ABC 中内角 A B C的对边分别为 a b c 向量 2 2sin 3 cos2 2cos1 2 B mBnB 且 mn 求锐角B的大小 如果2b 求ABC 的面积 ABC S 的最大值 解 1 nm B B B2cos3 1 2 cos2 sin2 2 BB2cos32sin 即 32tan B 2 分 又B 为锐角 02 B 4 分 A E D B C 用心 爱心 专心9 3 2 2 B 3 B 5 分 2 得 由余弦定理 ac bca BbB 2 cos2 3 222 04 22 acca 又acca2 22 代入上式得 4 ac 当且仅当 2 ca时等号成立 8 分 3 4 3 sin 2 1 acBacS ABC 当且仅当 2 ca时等号成立 10 分 4 理 在极坐标系中 已知圆 2cos 与直线 3 cos 4 sin a 0 相切 求实数 a 的值 解析 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识 考查转化问题的能力 满分 10 分 解 圆 2cos 的普通方程为 2 2 cos 2222 2 1 1xyx xy 直线 3 cos 4 sin a 0 的普通方程为 340 xya 又圆与直线相切 所以解得 或 22 3 14 0 1 34 a 2a 8a 练习五 1 已知函数 4 2sin 21 tan1 xxxf 1 求函数 xf的定义域和值域 2 求函数 xf的单调递增区间 解 4 sin2cos2 4 cos2sin21 cos sin 1 xx x x xf sin cossin cos2 cos2cossin2 cos sin 1 2 xxxxxxx x x x2cos2 定义域为 2 Zkkxx 2 2 22cos2 22 值域为xkx 单调增区间为 Zkkk 2 用心 爱心 专心10 2 在四棱锥 P ABCD 中 ABC ACD 90 BAC CAD 60 PA 平面 ABCD E 为 PD 的中点 PA 2AB 2 求四棱锥 P ABCD 的体积 V 若 F 为 PC 的中点 求证 PC 平面 AEF 求证 CE 平面 PAB 解 在 Rt ABC 中 AB 1 BAC 60 BC 3 AC 2 在 Rt ACD 中 AC 2 CAD 60 CD 23 AD 4 SABCD 11 22 AB BCAC CD 115 1322 33 222 3 分 则 V 155 323 323 5 分 PA CA F 为 PC 的中点 AF PC 7 分 PA 平面 ABCD PA CD AC CD PA AC A CD 平面 PAC CD PC E 为 PD 中点 F 为 PC 中点 EF CD 则 EF PC 9 分 AF EF F PC 平面 AEF 10 分 证法一 取 AD 中点 M 连 EM CM 则 EM PA EM 平面 PAB PA 平面 PAB EM 平面 PAB 12 分 在 Rt ACD 中 CAD 60 AC AM 2 ACM 60 而 BAC 60 MC AB MC 平面 PAB AB 平面 PAB MC 平面 PAB 14 分 EM MC M 平面 EMC 平面 PAB EC 平面 EMC EC 平面 PAB 15 分 证法二 延长 DC AB 设它们交于点 N 连 PN NAC DAC 60 AC CD C 为 ND 的中点 12 分 E 为 PD 中点 EC PN 14 分 EC 平面 PAB PN 平面 PAB EC 平面 PAB 15 分 N F E D C B A P M F E D C B A P P A B C D E F 用心 爱心 专心11 3 已知向量 2 cos sin cos sin 5 5 abab 求的值 cos 若 2 0 2 且 sin 13 5 sin求 的值 解 解 1a 1b 1 分 222 22 22 coscossinsin abaa bbab 2 分 1 1 2cos 4 分 2 22 54 55 ab 34 22cos cos 55 分 6 分 解 0 0 22 7 分 由 5 3 cos 得 4 sin 5 8 分 由 13 5 sin 得 12 cos 13 9 分 sin cos cos sin sinsin 11 分 3533412 51351365 12 分 4 已知 P 为半圆 C 为参数 上的点 点 A 的坐标为 cos sin x y 0 1 0 O 为坐标原点 点 M 在射线 OP 上 线段 OM 与 C 的弧的长度均为 3 I 以 O 为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求点 M 的极坐标 x II 求直线 AM 的参数方程 解 由已知 M 点的极角为 且 M 点的极径等于 3 3 故点 M 的极坐标为 5 分 3 3 M 点的直角坐标为 A 0 1 故直线 AM 的参数方程为 3 66 用心 爱心 专心12 t 为参数 1 1 6 3 6 xt yt 练习六 1 已知ABC 中 角 A B C 所对的边分别是 a b c 且 222 23abcab 1 求 2 sin 2 AB 2 若2c 求ABC 面积的最大值 解 分2 4 3 2 cos 2 3 222 222 ab cba Cabcba 分6 8 7 2 cos1 2 cos1 2 sin 2 CBABA CBA ab ba cabcba 2 3 42 2 3 22222 且 又 分88 42 2 3 2 22 ababababba 分10 4 7 4 3 1cos1sin 4 3 cos 2 2 CCC 7sin 2 1 CabS ABC 当且仅当22 ba时 ABC 面积取最大值 最大值为7 2 四棱锥ABCDE 中 底面BCDE为矩形 侧面ABC 底面BCDE 2 2 CDBCABAC 取CD的中点为F AE的中点为G 证明 FG面ABC 证明 ADCE 解 1 取BE的中点为 P连 PGPF可以证明BCFPABGP 面 ABC面FGP FG面ABC 6 分 2 取BC中点F 连接DF交CE于点O ABAC AFBC C D E A B 用心 爱心 专心13 又面ABC 面BCDE AF 面BCDE AFCE 10 分 2 tantan 2 CEDFDC 90OEDODE 90DOE 即CEDF CE 面ADF CEAD 14 分 3 已知向量 2 1 1 1 amxbx mx m 是常数 若 1 f x a b A 是奇函数 求 m 的值 若向量 a b 的夹角 a b 为 0 2 中的值 求实数x的取值范围 解 由题知a b A 2 11 mxx x mxmx 所以 1 mx f x x 1 m x 3 分 由题知对任意的不为零的实数x 都有 fxf x 即 1 m x 1 m x 恒成立 所以0m 6 分 由题知a b A 0 所以 1 x mx 0 即 1 0 x mx 8 分 当0m 时 0 x 当0m 时 1 0 xx m 所以0 x 或 1 x m 当0m 时 1 0 xx m 所以 1 0 x m 综上 当0m 时 实数x的取值范围是0 x 当0m 时 实数x的取值范围是0 x 或 1 x m 当0m 时 实数x的取值范围是 1 0 x m 12 分 4 理 已知的展开式中 第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 56 3 2 2 nx x 求展开式中的常数项 用心 爱心 专心14 解 6 分 44 22 256 10 5 23 n n C n C 由通项公式 得 8 分 5 5 2 11010 2 10 2 2 r rrr r r r TCXCX X 当 r 2 时 取到常数项 9 分 即 10 分 3 180T 练习七 1 已知函数 0 2 sin2 sin 3 2 m x xxf的最小正周期为 3 且当 0 xfx函数时 的最小值为 0 I 求函数 xf的表达式 II 在 ABC 若ACABBCfsin cos cossin2 1 2 求且 的值 解 I 1 6 sin 2 2 cos 1 2 sin 3 mxm x xxf 2 分 依题意函数 3 2 3 2 3 解得即的最小正周期为xf 所以 1 63 2 sin 2 m x xf 4 分 分所以 依题意的最小值为所以 时当 6 1 63 2 sin 2 0 1 63 2 sin 2 1 6 5 63 2 6 0 x xf mmxf xx x II 1 63 2 sin 11 63 2 sin 2 CC Cf 分 分解得 中在 分解得所以而 12 2 15 sin 1sin0 10 2 51 sin 0sinsincos2 cos cossin2 2 8 2 263 2 6 5 63 2 6 2 2 AA AAAA CABBBAABCRt C CC 用心 爱心 专心15 2 如图所示 在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D 中 E F分别为 1 DD DB的 中点 1 求证 EF 平面 11 ABC D 2 求证 1 EFBC 3 求三棱锥 EFCB V 1 的体积 解 证明 1 连结 1 BD 在BDD1 中 E F分别为 1 D D DB的中点 则 1 11111 11 EFD B D BABC DEFABC D EFABC D 平面平面 平面 2 1 11 111 1 BCAB BCBC AB BCABC D ABBCB 平面 111 111 BCABC D BDABC D 平面 平面 11 1 BCBD EFBD 1 EFBC 3 11 CFBDD B 平面 1 CFEFB 平面 且 2CFBF 1 1 3 2 EFBD 2222 11 2 26B FBFBB 2222 1111 1 2 2 3B EB DD E 222 11 EFB FB E 即 1 90EFB 111 1 3 BEFCC B EFB EF VVSCF 1 11 32 EF B F CF 11 3621 32 3 已知 A B C 的坐标分别为 A 3 0 B 0 3 C sin cos 2 3 2 I 若 BCAC 求角 的值 C D B F E D1 C1 B1 A A1 用心 爱心 专心16 II 若 tan1 2sinsin2 1 2 求BCAC的值 学 解 1 3sin cos sin 3 cos BCAC 2 分 cos610sin 3 cos 22 AC sin610 3 sincos 22 BC 4 分 由 BCAC 得 cossin 又 4 5 2 3 2 6 分 2 由 1 3 sinsincos 3 cos 1 得BCAC 3 2 cossin 7 分 又 cossin2 cos sin 1 cossin2sin2 tan1 2sinsin2 22 9 分 由 式两分平方得 9 4 cossin21 9 5 tan1 2sinsin2 9 5 cossin2 2 12 分 4 理 有三种产品 合格率分别为 0 85 0 90 0 95 各抽取一件进行检验 求 1 恰有一件不合格的概率 2 至少有两件不合格的概率 结果保留两位有效数字 解 设 则 1 0 85P 2 0 90P 3 0 95P 1 0 25 6 分 123123123 111PP P PPP PPPP 2 0 029 10 分 123 1PPPP P 练习八 1 已知向量 2 cos sin cos sin 5 5 abab 求的值 cos 若 2 0 2 且 sin 13 5 sin求 的值 用心 爱心 专心17 解 解 1a 1b 1 分 222 22 22 coscossinsin abaa bbab 2 分 1 1 2cos 4 分 2 22 54 55 ab 34 22cos cos 55 分 6 分 解 0 0 22 7 分 由 5 3 cos 得 4 sin 5 8 分 由 13 5 sin 得 12 cos 13 9 分 sin cos cos sin sinsin 11 分 3533412 51351365 12 分 2 如图 在四棱锥PABCD 中 侧面PAD 底面ABCD 侧棱PAPD 底面 ABCD是直角梯形 其中 BCAD 0 90BAD 3ADBC O是AD上一点 若 CDPBO平面 试指出点O的位置 求证 PABPCD 平面平面 解 解 因为 CDPBO平面 CDABCD 平面 且 ABCDPBOBO 平面平面 所 以 BOCD 4 分 又 BCAD 所以四边形BCDO为平行四边形 则BCDO 6 分 而3ADBC 故点O的位置满 足2AOOD 7 分 证 因为侧面PAD 底面ABCD ABABCD 底面 且ABAD 交线 所以ABPAD 平面 则ABPD 10 分 又PAPD 且 PAPAB ABPAB ABPAA 面面 所以PDPAB 平面 13 分 而PDPCD 平面 所以PABPCD 平面平面 14 分 3 设函数 2sin3 cos 1 cos2 mxxxxf baba其中向量 1 求函数 0 的最小正周期和在xf上的单调递增区间 2 当mxfx求实数恒成立时 4 4 6 0 的取值范围 O P D C B A 第 16 题 用心 爱心 专心18 解 1 1 6 2sin 22sin3cos2 2 mxmxxxf 2 分 分上单调递增区间为在 分的最小正周期函数 6 3 2 6 0 0 4 2 2 Txf 2 当3 6 6 0 max mxfxxfx时当递增时 分得解之 分由题设知 分时当 12 1 6 10 42 43 8 2 0 min m m m mxfx 4 理 一个口袋内有 4 个不同的红球 6 个不同的白球 1 从中任取 4 个球 红球的个数不比白球少的取法有多少种 2 若取一个红球记 2 分 取一个白球记 1 分 从中任取 5 个球 使总分不少于 7 分的取 法有多少种 解 1 将取出 4 个球分成三类情况 1 取 4 个红球 没有白球 有种 2 取 3 个红球 4 4 C 1 个白球 有种 3 取 2 个红球 2 个白球 有 4 分 1 6 3 4C C 2 6 2 4C C 6 分 种符合题意的取法种数有 或或 则个白球个红球设取 种 186 1 4 2 3 3 2 60 72 40 5 2 115 1 6 4 4 2 6 3 4 3 6 2 4 2 6 2 4 1 6 3 4 4 4 CCCCCC y x y x y x yyx xyx yx CCCCC 练习九 1 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别是 a b c 则 ABC SACAB 3 8 其 中 S ABC为 ABC 的面积 1 求 sin2A CB 2cos 2 2 若 b 2 ABC 的面积 S ABC 3 求 a 解 1 3 8 ABC SACAB 用心 爱心 专心19 AACABAACABsin 2 1 3 8 cos 1 分 cosA Asin 3 4 2 分 cosA 5 3 sin 5 4 A 3 分 sin2 A CB A CB 2cos 2 cos1 2cos 2 1cos2 2 cos1 2 A A 50 59 6 分 2 sinA 5 3 由 S ABC Abcsin 2 1 得 3 5 3 2 2 1 c解得 c 5 9 分 a2 b2 c2 2be cos A 4 25 2 2 5 5 4 13 2 如图 在组合体中 1111 ABCDABC D 是一个长方体 PABCD 是一个四棱锥 1 2 3 2ABBCAA 点P 平面 11 CC D D 且2PDPC 1 证明 PD 平面PBC 2 证明 PC A平面 1 ADB 3 已知向量 2 1 1 ABkACk 1 若 为直角三角形 求值 ABCk 2 若 为等腰直角三角形 求值ABCk 答案 解 1 2 1 1 1 1 ABkACkBCACABkk 若 O 90 1AABACk 则则 若 O2 90 230BABBCkk 则则无无解解 若 O2 90 21012CACBCkkk 则则 综上所述 当时 ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形 1k 当时 ABC 是以 C 为直角顶点的直角三角形 12k 2 当时 1k 1 1 1 1 2ABACABAC 当时 12k 22 1 12 22 2 42 2 84 2ACBCACBC ACBC 当时 12k 22 1 12 22 2 42 2 84 2ACBCACBC ACBC P 用心 爱心 专心20 综上所述 当时 ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形 1k w w w k s 5 u c o m 4 某厂工人在 2009 年里有 1 个季度完成生产任务 则得奖金 300 元 如果有 2 个季度完成生产任务 则可得奖金 750 元 如果有 3 个季度完成生产任务 则可得奖金 1260 元 如果有 4 个季度完成生产任务 可得奖金 1800 元 如果 工人四个季度都未完成任务 则没有奖金 假设某工人每季度完成任务与否是 等可能的 求他在 2009 年一年里所得奖金的分布列 解 设该工人在 2009 年一年里所得奖金为 X 则 X 是一个离散型随机变量 由 于该工人每季度完成任务与否是等可能的 所以他每季度完成任务的概率等于 所以 1 2 04 0 4 111 0 2216 P XC 13 1 4 111 300 224 P XC 22 2 4 113 750 228 P XC 31 3 4 111 1260 224 P XC 40 4 4 111 1800 2216 P XC 其分布列为 练习十 1 已知二次函数 yf x x R的图象过点 0 3 且0 xf的解集 3 1 求 xf的解析式 求函数 2 0 sin xxfy的最值 解 由题意可设二次函数 f x a x 1 x 3 a 0 2 分 当 x 0 时 y 3 即有 3 a 1 3 解得 a 1 X030075012601800 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 X030075012601800 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 X030075012601800 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 X030075012601800 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 X030075012601800 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 用心 爱心 专心21 f x x 1 x 3 34 2 xx xf的解析式为 xf 34 2 xx 6 分 y f sinx 3sin4sin 2 xx 12sin 2 x 8 分 0 2 x sin 0 1 x 则当 sinx 0 时 y 有最小值 3 当 sinx 1 时 y 有最大值 0 12 分 2 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形PA 平面 ABCD AP AB BP BC 2 E F分别是PB PC的中点 证明 EF 平面PAD 求三棱锥E ABC的体积 V 解 在 PBC中 E F分别是PB PC的中点 EF BC 又BC AD EF AD 又 AD平面PAD EF平面PAD EF 平面PAD 连接AE AC EC 过E作EG PA交AB于点G 则BG 平面ABCD 且EG PA 1 2 在 PAB中 AD AB PAB BP 2 AP AB EG 2 2 2 S ABC AB BC 2 1 2 1 2 22 VE ABC S ABC EG 1 3 1 3 2 2 2 1 3 3 已知 a 2cosx sinx b cosx 2cosx 设函数 f x ab x R 3 3 求 1 f x 的最小正周期 2 f x 的单调递增区间 3 若 且 求 26 f 212 f 6 2 解 3 baxf3cossin2cos32 2 xxx 4 分 1cos2 32sin 2 xxxx2cos32sin 3 2sin 2 x 1 函数 f x 的最小正周期最小正周期为 5 分 2 2 T 2 由 得 2 2 3 2 2 2 kxk 6 22 6 5 2 kxk 用心 爱心 专心22 1212 5 Zkkxk 函数的单调增区间为 9 分 xf 12 12 5 Zkkk 3 6 2sin2cos6 26212 33 2 2sin6 sin 4422444 2711 13 4331212 ff 分分分分 4 理 已知 nnnn Pn 2 1 3 1 2 1 1 1 Nn 用数学归纳法证明 n P nn 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 3 证明 当时 等式成立 2 分 0 11 n 2 1 2 1 1 2 1 11 1 1 P 假设时等式成立 0 2kn 即 3 分 kkkkk2 1 2 1 1 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 则当 时 1 kn 1 2 1 12 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 1 1 kkkk 5 分 1 2 1 12 1 2 1 2 1 1 1 kkkkk 1 2 1 12 1 3 1 2 1 kkkk 所以当 时等式也成立 9 分1 kn 由知 对 等式恒成立 10 分 00 2 1 Nn 练习十一 1 在 ABC 中 设内角 A B C 的对边分别为a b c 23 4 tan C 1 求角 C 的大小 2 若5 7 bac且 求 ABC 的面积 用心 爱心 专心23 解 1 23 4 tan C 分 中 在 分 分 6 3 0 4 3tan 2 23 tan1 tan1 C CABC C C C 2 分8 cos2 222 Cabbac 分 分 12 2 33 sin 2 1 10 6 3253 7 222 CabS ab ababbaabba ABC 2 如图 棱柱的侧面是菱形 111 ABCABC 11 BCC B 11 BCAB 证明 平面平面 1 ABC 11 ABC 设是上的点 且平面 求的值 D 11 AC 1 AB 1 BCD 11 AD DC 解 因为侧面 BCC1B1是菱形 所以 11 BCCB 又已知BBCBABACB 1111 且 所又平面 A1BC1 又平面 AB1C CB1 CB1 所以平面平面 A1BC1 CAB1 设 BC1交 B1C 于点 E 连结 DE 则 DE 是平面 A1BC1与平面 B1CD 的交线 因为 A1B 平面 B1CD 所以 A1B DE 又 E 是 BC1的中点 所以 D 为 A1C1的中点 即 A1D DC1 1 3 已知向量 a 向量 b 若a b 1 cos 2cos xx 2cos sin xx f x I 求函数的解析式和最小正周期 xf II 若 求的最大值和最小值 2 0 x xf 解 I a b cos 2cos xx 2cos sin