高中数学 函数单调性复习七 新人教A版必修1

用心 爱心 专心 函数的单调性函数的单调性 一 复习目标 一 复习目标 1 理解函数单调性的概念 2 能利用函数单调性的定义 1 判断或证明函数的单调性 2 确定函数的单调区间 3 掌握一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数的单调性 并能运用它们解决问题 二 内容提要 二 内容提要 1 增函数 减函数的定义 单调区间 2 证明函数单调性的基本步骤 1 在指定的区间内设 12 xx 2 作差 变形 12 f xf x 变形至便于判定符号的形式 积 商 配方等 3 判定符号 4 下完整的结论 3 复合函数的单调性规律 同增异减 函数的性质 反函数函数的性质 反函数 函数的单调性函数的单调性 例题例题 例例 1 1 下列函数中 属于增函数的是 解解 D 例例 2 2 若一次函数 y kx b k 0 在 上是单调递减函数 则点 k b 在直角坐标平面的 A 上半平面 B 下半平面 C 左半平面 D 右半平面 解解 C 因为 k 0 b R 例例 3 3 函数 f x x2 2 a 1 x 2 在区间 4 上是减函数 则实数 a 的取 值范围是 A a 3 B a 3 C a 5 D a 3 解解 B 因抛物线开口向上 对称轴方程为 x 1 a 所以 1 a 4 即 a 3 用心 爱心 专心 例例 4 4 已知 f x 8 2x x2 如果 g x f 2 x2 那么 g x A 在区间 1 0 内是减函数 B 在区间 0 1 内是减函数 C 在区间 2 0 内是增函数 D 在区间 0 2 内是增函数 解解 A g x x2 1 2 9 画出草图可知 g x 在 1 0 上是减函数 bx 在 0 上是 函数 选填 增 或 减 解解 2 1 已知函数的定义域是 5 x 1 设 u x2 4x 5 x 2 2 9 可知当 x 5 2 时 随 x 增大时 u 也增大但 y 值减小 当 x 2 1 时 随 x 增大时 u 减小 但 y 值增大 此时 y 是 x 的单调增函数 即 注注 在求函数单调区间时 应先求函数的定义域 例例 7 7 y f x 在定义域上是单调递增函数 且 f x 0 那么在同 函数 y f x 2是单调 函数 用心 爱心 专心 解解 递减 递减 递增 例例 8 8 1 证明函数 f x x2 1 在 0 上是减函数 解解 1 任取 x1 x2 0 则 所以 f x1 f x2 故 f x 在 0 上递减 2 任取 0 x1 x2 则 当 x2 x1 1 时 f x2 f x1 当 1 x2 x1 0 时 f x2 f x1 所以函数在 0 1 上是减函数 在 1 上是增函数 例例 9 9 已知 f x x3 x 1 x R 证明 y f x 是定义域上的减函数 且满 足等式 f x 0 的实数值 x 至多只有一个 解解 设 x1 x2 R 且 x1 x2 则 所以 f x1 f x2 所以 y f x 是 R 上的减函数 假设使 f x 0 成立的 x 的值有两个 设为 x1 x2 且 x1 x2 则 f x1 f x2 0 但因 f x 为 R 上的减数 故有 f x1 f x2 矛盾 所以使 f x 0 成立的 x 的值至多有一个 用心 爱心 专心 例例 1010 定义域为 R 的函数 y f x 对任意 x R 都有 f a x f a x 其 中 a 为常数 又知 x a 时 该函数为减函数 判断当 x a 时 函数 y f x 的单调状况 证明自己的结论 解解 当 x a 时 函数是增函数 设 x1 x2 a 则 2a x1 2a x2 a 因为函数 y f x 在 a 上是减函数 所以 f 2a x1 f 2a x2 注意到对任意 x R 都有 f a x f a x 可见对于实数 a x1 也有 f a a x1 f a a x1 即 f 2a x1 f x1 同理 f 2a x2 f x2 所以 f x1 f x2 所以函数 y f x 在 a 上是增函数 例例 1111 设 f x 是定义在 R 上的递增函数 且 f xy f x f y 2 若 f 3 1 且 f a f a 1 2 求 a 的取值范围 2 因为 f 3 1 f 9 f 3 f 3 2 于是 由题设有 用心 爱心 专心 三三 基础训练基础训练 1 函数2yx 的递增区间是 递减区间是 2 设函数 f x的递增区间是 2 3 则 5yf x 的递增区间是 3 8A 7 2B 2 3C 0 5D 3 设 3 f xxx 若 12 0 xx 则 A 12 0f xf x B 12 0f xf x C 12 0f xf x D A B C都有可能 4 函数 2 28f xxx 的单调递减区间是 5 奇函数 f x是定义域为 3 3 的减函数 求满足不等式 2 130faf a 的a的取值范围 6 指出函数 21 2 x f x x 的单调区间 并用函数单调性的定义证明 7 若0a 试讨论函数 2 xa f x x 在 0 上的单调性 并指出 f x在 0 内的 单调区间 8 定义在R上的偶函数 f x在 0 上单调递增 若 22 21321faafaa 求 a的取值范围 9 若函数 124 xx