高中数学 典型例题 函数的极值 新课标

用心 爱心 专心1 利用导数求函数的极值利用导数求函数的极值 例例 求下列函数的极值 1 2 3 xxxf12 3 x exxf 2 2 1 2 2 x x xf 分析 分析 按照求极值的基本方法 首先从方程求出在函数定义域内所有0 x f xf 可能的极值点 然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值 解 解 1 函数定义域为 R 2 2 3123 2 xxxxf 令 得 0 x f2 x 当或时 2 x2 x0 x f 函数在和上是增函数 2 2 当时 22 x0 x f 函数在 2 2 上是减函数 当时 函数有极大值 2 x16 2 f 当时 函数有极小值2 x 16 2 f 2 函数定义域为 R xxx exxexxexf 2 2 2 令 得或 0 x f0 x2 x 当或时 0 x2 x0 x f 函数在和上是减函数 xf 0 2 当时 20 x0 x f 函数在 0 2 上是增函数 xf 当时 函数取得极小值 0 x0 0 f 当时 函数取得极大值 2 x 2 4 2 ef 3 函数的定义域为 R 1 1 1 2 1 22 1 2 2222 2 x xx x xxx xf 令 得 0 x f1 x 用心 爱心 专心2 当或时 1 x1 x0 x f 函数在和上是减函数 xf 1 1 当时 11 x0 x f 函数在 1 1 上是增函数 xf 当时 函数取得极小值 1 x3 1 f 当时 函数取得极大值1 x 1 1 f 说明 说明 思维的周密性是解决问题的基础 在解题过程中 要全面 系统地考虑问题 注意各种条件 综合运用 方可实现解题的正确性 解答本题时应注意只是函数0 0 x f 在处有极值的必要条件 如果再加之附近导数的符号相反 才能断定函数在 xf 0 x 0 x 处取得极值 反映在解题上 错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误 0 x 复杂函数的极值复杂函数的极值 例例 求下列函数的极值 1 2 5 32 xxxf 6 2 xxxf 分析 分析 利用求导的方法 先确定可能取到极值的点 然后依据极值的定义判定 在函 数的定义域内寻求可能取到极值的 可疑点 除了确定其导数为零的点外 还必须 xf 确定函数定义域内所有不可导的点 这两类点就是函数在定义内可能取到极值的全部 xf 可疑点 解 解 1 3 2 5 3 3 5 2 5 3 2 33 32 3 x x x xx xx x xf 令 解得 但也可能是极值点 0 x f2 x0 x 当或时 0 x2 x0 x f 函数在和上是增函数 xf 0 2 当时 20 x0 x f 函数在 0 2 上是减函数 xf 当时 函数取得极大值 0 x0 0 f 用心 爱心 专心3 当时 函数取得极小值 2 x 3 43 2 f 2 32 6 32 6 2 2 xxx xxxx xf 或 32 32 12 32 12 xx xx xxx xf 或不存在 或 令 得 0 x f 2 1 x 当或时 2 x3 2 1 x0 x f 函数在和上是减函数 xf 2 3 2 1 当或时 3 x 2 1 2 x0 x f 函数在和上是增函数 xf 3 2 1 2 当和时 函数有极小值 0 2 x3 x xf 当时 函数有极大值 2 1 x 4 25 说明 说明 在确定极值时 只讨论满足的点附近的导数的符号变化情况 确定0 0 x f 极值是不全面的 在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值 本题 1 中处 2 中0 x 及处函数都不可导 但在这些点处左右两侧异号 根据极值的判定方法 2 x3 x x f 函数在这些点处仍取得极值 从定义分析 极值与可导无关 xf 根据函数的极值确定参数的值根据函数的极值确定参数的值 例例 已知在时取得极值 且 0 23 acxbxaxxf1 x1 1 f 1 试求常数a b c的值 2 试判断是函数的极小值还是极大值 并说明理由 1 x 分析 分析 考察函数是实数域上的可导函数 可先求导确定可能的极值点 再通过 xf 极值点与导数的关系 即极值点必为的根建立起由极值点所确定的相关0 x f1 x 等式 运用待定系数法求出参数a b c的值 解 1 解法一 cbxaxxf 23 2 用心 爱心 专心4 是函数的极值点 1 x xf 是方程 即的两根 1 x0 x f023 2 cbxax 由根与系数的关系 得 2 1 3 1 0 3 2 a c a b 又 3 1 1 f1 cba 由 1 2 3 解得 2 3 0 2 1 cba 解法二 由得0 1 1 ff 1 023 cba 2 023 cba 又 3 1 1 f1 cba 解 1 2 3 得 2 3 0 2 1 cba 2 xxxf 2 3 2 1 3 1 1 2 3 2 3 2 3 2 xxxxf 当或时 当时 1 x1 x0 x f11 x 0 x f 函数在和上是增函数 在 1 1 上是减函数 xf 1 1 当时 函数取得极大值 1 x1 1 f 当时 函数取得极小值 1 x1 1 f 说明 说明 解题的成功要靠正确思路的选择 本题从逆向思维的角度出发 根据