高中数学奥林匹克竞赛讲座 13平面三角

1 竞赛讲座竞赛讲座 1313 平面三角 平面三角 三角函数与反三角函数 是五种基本初等函数中的两种 在现代科学的很多领域中 有着广泛的应用 同时它也是高考 数学竞赛中的必考内容之一 一 三角函数的性质及应用一 三角函数的性质及应用 三角函数的性质大体包括 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 最值 等 这里以单调性为最难 它们在平面几何 立体几何 解析几何 复数等分支中 均有广泛的应用 例 1 求函数 y 2sin 2x 的单调增区间 解解 y 2sin 2x 2sin 2x 由 2k 2x 2k k Z Z 得 k x k k Z Z 即原函数的单调增区间为 k k k Z Z 例 2 若 0 比较 sin cos cos sin cos 这三者之间 的大小 解 解 在 0 中 sinx x tgx 而 0 cosx 1 sin cos cos 2 在 0 中 y cosx 单调递减 cos cos sin sin cos cos 0 f cos sin cos 1 0 0 sin sin ctg ctg 作出函数 y ctgx 在 0 上的图象 可看出 证明 证明 0 1 0 sin1 k 2 3 n cos cos cos 2 2 4 cos cos cos 二 三角恒等变换二 三角恒等变换 众多的三角公式 构成了丰富多彩的三角学 要灵活地进行三角恒等变换 除熟练 地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外 更重要的是抓住三角式的结构特征 从角和函数名入手 深入分析 灵活解题 例 1 1 已知 cos sin 且 0 求 sin 的值 2 已知 sin 求的值 提示 提示 1 sin 2 sin2 1 2 sin2 说明 三角变换重在角的变换 例 2 求 coscoscos cos的值 解法解法 1 1 利用公式 cos cos2 cos4 cos2n 得 coscoscoscos coscoscoscos 又 coscos cos 5 coscoscos cos 解法解法 2 2 coscoscos cos 解法解法 3 3 利用公式 cos cos cos cos3 取 例 3 求 cos420 cos440 cos480 的值 解 解 由倍角公式得 cos4 2 1 2cos2 cos22 cos2 cos4 cos420 cos440 cos480 3 cos40 cos80 cos160 cos80 cos160 cos320 cos40 cos80 cos160 2cos60 cos20 cos20 例 4 若 sin cos cos sin 求 sin cos 的值 6 解 解 令 则 1 2 得 tg cos sin cos sin sin cos cos 例 5 已知 f x sin x cos x 是偶函数 0 求 解法一 解法一 由偶函数的定义 可得 cos sin sinx 0 对任意 x R 成立 cos sin 0 2 sin 0 k 而 0 解法二 解法二 由 f f 得 然后验证 f x 是偶函数 例 7 方程 sinx cosx a 0 在 0 2 内有相异两根 求实数 a 的取 值范围 以及 的值 解 解 sinx cosx a 0 sin x 令 t x 则 t sint 7 作出函数 y sint t 的图象 由图象可以看出 当 1 1 且 即 2 a 或 a 2 时 sint 有相异两根 t1 t2 原方程有相异两根 并且 当 2 a 时 t1 t2 当 a 2 时 t1 t2 3 例 8 已知 sinx siny sinz cosx cosy cosz 0 求 s tg x y z tgxtgytgz 的值 解解 由已知得 1 2 2 2得 cos x y 同理 cos y z cos z x x y z 中任意两角的终边夹角为 不妨设 8 x y 2m m Z Z y z 2n n Z Z x z 2 m n x y z 3z 2 m 2n 1 s tg x y z tgxtgytgz tg3z tg z tg z tgz tg3z tg z tg z tgz tg3z tgz tg z tg z 0 说明 如能熟练运