高中数学竞赛标准讲义：第十四章：极限与导数新人教A版

用心 爱心 专心 第十四章第十四章 极限与导数极限与导数 一 基础知识 1 极限定义 1 若数列 un 满足 对任意给定的正数 总存在正数 m 当 n m 且 n N 时 恒有 un A f a 且 f c m 则 c a b 且 f c 为最大值 故 0 cf 综上得证 14 Lagrange 中值定理 若 f x 在 a b 上连续 在 a b 上可导 则存在 a b 使 ab afbf f 证明 令 F x f x ax ab afbf 则 F x 在 a b 上连续 在 a b 上可导 且 F a F b 所以由 13 知存在 a b 使 F 0 即 ab afbf f 15 曲线凸性的充分条件 设函数 f x 在开区间 I 内具有二阶导数 1 如果对任意 x I 0 xf 则曲线 y f x 在 I 内是下凸的 2 如果对任意 x I 0 xf 则 y f x 在 I 内是上凸的 通常称上凸函数为凸函数 下凸函数为凹函数 16 琴生不等式 设 1 2 n R 1 2 n 1 1 若 f x 是 a b 上的凸函 用心 爱心 专心 数 则 x1 x2 xn a b 有 f a1x1 a2x2 anxn a1f x1 a2f x2 anf xn 二 方法与例题 1 极限的求法 例 1 求下列极限 1 222 21 lim n n nn n 2 0 1 lim a a a n n n 3 nnnn n222 1 2 1 1 1 lim 4 1 limnnn n 解 1 222 21 lim n n nn n 2 2 1 lim n nn n 2 1 2 2 2 1 lim n n 2 当 a 1 时 1 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1 lim n n n n n n n aa a a 当 0 a 1 时 0 01 0 lim1 lim 1 lim n n n n n n n a a a a 当 a 1 时 2 1 11 1 lim 1 lim n n n n a a 3 因为 1 1 2 1 1 1 22222 n n nnnnnn n 而 1 1 1 1 lim 1 1 lim 1 1 1 1 limlim 2 22 n n n nn n nnnn 所以 1 1 2 1 1 1 lim 222 nnnn n 4 2 1 1 1 1 1 lim 1 lim 1 lim n nn n nnn nnn 例 2 求下列极限 1 n lim 1 x 1 x2 1 2 2 x 1 n x2 x 0 且 2 1 x 解 1 13 13cos xxy3cos 3x 1 2 2 22 35 35 x xxxxxxxx y 2 2 35 2 1 310 x xxxx x x 2 1 5 3 x 3 2sin2 2 2sin 2cos 2 cos 2cos2cos xexxxexey xx 4 1 11 1 1 1 1 22 2 2 x x xx xx xx y 1 1 2 x 5 21ln 21 21ln 21ln xxeexy xxxxx 21 2 21ln 21 x x xx x 5 用导数讨论函数的单调性 例 6 设 a 0 求函数 f x x ln x a x 0 的单调区间 解 0 1 2 1 x axx xf 因为 x 0 a 0 所以 0 xfx2 2a 4 x a2 0 0 xfx2 2a 4 x a 1 时 对所有 x 0 有 x2 2a 4 x a2 0 即 f x 0 f x 在 0 上单调递增 2 当 a 1 时 对 x 1 有 x2 2a 4 x a2 0 即0 xf 所以 f x 在 0 1 内单调 递增 在 1 内递增 又 f x 在 x 1 处连续 因此 f x 在 0 内递增 3 当 0 a0 解得 x2 a a 12 因 用心 爱心 专心 此 f x 在 0 2 a a 12 内单调递增 在 2 a a 12 内也单调递增 而当 2 a a 12 x 2 a a 12时 x2 2a 4 x a22x 证明 设 f x sinx tanx 2x 则 xf cosx sec2x 2 当 2 0 x时 2 cos 2 cos 1 cos2 cos 1 cos 22 xx x x x 因为 0 cosxf 0 0 即 sinx tanx 2x 7 利用导数讨论极值 例 8 设 f x alnx bx2 x 在 x1 1 和 x2 2 处都取得极值 试求 a 与 b 的值 并指出这时 f x 在 x1与 x2处是取得极大值还是极小值 解 因为 f x 在 0 上连续 可导 又 f x 在 x1 1 x2 2 处取得极值 所以 0 2 1 ff 又 x a xf 2bx 1 所以 014 2 012 b a ba 解得 6 1 3 2 b a 所以 x xx x x xfxxxxf 3 2 1 1 3 1 3 2 6 1 ln 3 2 2 所以当 x 0 1 时 0 xf 所以 f x 在 0 1 上递减 当 x 1 2 时 0 xf 所以 f x 在 1 2 上递增 当 x 2 时 0 xf 所以 f x 在 2 上递减 综上可知 f x 在 x1 1 处取得极小值 在 x2 2 处取得极大值 例 9 设 x 0 y 0 1 试求函数 f x y 2y 1 sinx 1 y sin 1 y x 的最小值 解 首先 当 x 0 y 0 1 时 f x y 2y 1 sinx 1 y sin 1 y x 1 y 2x x x y y xy xysin 1 12 1 1sin 2 1 y 2x 用心 爱心 专心 x x y y x x xy xysin 1 sin 1 1sin 2 2 令 g x x xsin 2 tan cos 2 x x xxx xg 当 2 0 x时 因为 cosx 0 tanx x 所以0 xg 当 2 x时 因为 cosx 0 tanx0 所以0 xg 又因为 g x 在 0 上连续 所以 g x 在 0 上单调递减 又因为 0 1 y x xg x 即0 sin 1 1sin x x xy xy 又因为0 sin 1 2 2 x x y y 所以当 x 0 y 0 1 时 f x y 0 其次 当 x 0 时 f x y 0 当 x 时 f x y 1 y sin 1 y 0 当 y 1 时 f x y sinx sinx 0 当 y 1 时 f x y sinx 0 综上 当且仅当 x 0 或 y 0 或 x 且 y 1 时 f x y 取最小值 0 三 基础训练题 1 nn nn n 32 32 lim 11 2 已知2 1 1 lim 2 ban n n n 则 a b 3 223 143 lim 1 2 cos1 lim 2 3 2 3 xx xx n n nn 4 2 1 1 1 1 lim x nxnxn x 5 计算 11 lim 1 2 lim 22 xx n x n n 6 若 f x 是定义在 上的偶函数 且 0 f存在 则 0 f 7 函数 f x 在 上可导 且1 2 f 则 h hfhf h 2 2 2 lim 0 8 若曲线 f x x4 x 在点 P 处的切线平行于直线 3x y 0 则点 P 坐标为 9 函数 f x x 2sinx 的单调递增区间是 用心 爱心 专心 10 函数 2 2 1 1 ln x x xf 的导数为 11 若曲线 22 1 axx y 在点 4 1 2 M处的切线的斜率为 4 1 求实数 a 12 求 sin290的近似值 13 设 0 b a0 时 比较大小 ln x 1 x 9 函数 f x x5 5x4 5x3 1 x 1 2 的最大值为 最小值为 10 曲线 y e x x 0 在点 M t e t 处的切线 l 与 x 轴 y 轴所围成的三角形面积为 S t 则 S t 的最大值为 11 若 x 0 求证 x2 1 lnx x 1 2 12 函数 y f x 在区间 0 内可导 导函数 xf是减函数 且 xf 0 x0 0 y kx m 是曲线 y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程 另设 g x kx m 1 用 x0 f x0 0 xf表示 m 2 证明 当 x 0 时 g x f x 3 若关于 x 的不等式 x2 1 ax b 3 2 2 3 x在 0 上恒成立 其中 a b 为实数 求 b 的取值范围及 a b 所满足的 关系 13 设各项为正的无穷数列 xn 满足 lnxn 1 1 1 Nn xn 证明 xn 1 n N 用心 爱心 专心 五 联赛一试水平训练题 1 设 Mn 十进制 n 位纯小数 0 in aaaa 21 只取 0 或 1 i 1 2 n 1 an 1 Tn 是 Mn中元素的个数 Sn是 Mn中所有元素的和 则 n n n T S lim 2 若 1 2x 9展开式的第 3 项为 288 则 n n xxx 111 lim 2 3 设 f x g x 分别是定义在 R R 上的奇函数和偶函数 当 x 0 时 0 xgxfxgxf 且 g 3 0 则不等式 f x g x 0 若对任意 x ln 3a ln 4a 不等式 m f 1 x ln xf 0 恒成立 则实数 m 取值范围是 9 已知函数 f x ln 1 x x g x xlnx 1 求函数 f x 的最大值 2 设 0 a b 证明 0 g a g b 2 2 ba g b a ln2 10 1 设函数 f x xlog2x 1 x log2 1 x 0 x 1 求 f x 的最小值 2 设正数 p1 p2 n p2满足 p1 p2 p3 n p2 1 求证 p1log2p1 p2 log2p2 n p2log2 n p2 n 11 若函数 gA x 的定义域 A a b 且 gA x 22