数学建模期末试卷A及答案

1 10 分 叙述数学建模的基本步骤 并简要说明每一步的基本要求 1 模型准备 首先要了解问题的实际背景 明确题目的要求 收集各种必要的信息 模型准备 首先要了解问题的实际背景 明确题目的要求 收集各种必要的信息 2 模型假设 为了利用数学方法 通常要对问题做出必要的 合理的假设 使问题的模型假设 为了利用数学方法 通常要对问题做出必要的 合理的假设 使问题的 主要特征凸现出来 忽略问题的次要方面 主要特征凸现出来 忽略问题的次要方面 3 模型构成 根据所做的假设以及事物之间的联系 构造各种量之间的关系 把问题模型构成 根据所做的假设以及事物之间的联系 构造各种量之间的关系 把问题 化为数学问题 注意要尽量采用简单的数学工具 化为数学问题 注意要尽量采用简单的数学工具 4 模型求解 利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题 此时往往还要作模型求解 利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题 此时往往还要作 出进一步的简化或假设 出进一步的简化或假设 5 模型分析 对所得到的解答进行分析 特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定 模型分析 对所得到的解答进行分析 特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定 6 模型检验 分析所得结果的实际意义 与实际情况进行比较 看是否符合实际 如模型检验 分析所得结果的实际意义 与实际情况进行比较 看是否符合实际 如 果不够理想 应该修改 补充假设 或重新建模 不断完善 果不够理想 应该修改 补充假设 或重新建模 不断完善 7 模型应用 所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益 在应用中不断改进和完模型应用 所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益 在应用中不断改进和完 善 善 2 10 分 试建立不允许缺货的生产销售存贮模型 设生产速率为常数k 销售速率为常数r kr 在每个生产周期T内 开始一段时间 0 0Tt 边生产边销售 后一段时间 TtT 0 只销售不 生产 存贮量 tq 的变化如图所示 设每次生产开工 费为1 c 每件产品单位时间的存贮费为2 c 以总费用最小为准则确定最优周 期T 并讨论 kr 和 kr 的情况 单位时间总费用单位时间总费用k Trkrc T c Tc 2 21 使 使 Tc 达到最小的最优周期达到最小的最优周期 2 T 2 1 rkrc kc 当当 kr 时 时 rc c 2 1 2 T 相当于不考虑生产的情况 当 相当于不考虑生产的情况 当 kr 时 时 T 因为产量 因为产量 被售量抵消 无法形成贮存量 被售量抵消 无法形成贮存量 3 10 分 设 tx 表示时刻t的人口 试解释阻滞增长 Logistic 模型 0 0 1 xx x x x r dt dx m 中涉及的所有变量 参数 并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模 思想 t 时刻 时刻 tx t时刻的人口数量 时刻的人口数量 r 人口的固有增长率 人口的固有增长率 m x 自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量 自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量 0 x 初始时刻的人口数量初始时刻的人口数量 人口增长到一定数量后 增长率下降的原因 资源 环境等因素对人口增长的阻滞作人口增长到一定数量后 增长率下降的原因 资源 环境等因素对人口增长的阻滞作 用 用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 从而人口增长率且阻滞作用随人口数量增加而变大 从而人口增长率 xr 是人口数量是人口数量 tx 的的减函数 的的减函数 假设假设 xr 为为 tx 的线性函数 的线性函数 0 0 srsxrxr 其中 其中 r称为人口的固有增长率 表示人口很少时 理论上是称为人口的固有增长率 表示人口很少时 理论上是 0 x 的增长率 的增长率 当当 m xx 时人口不再增长 即增长率时人口不再增长 即增长率 0 m xr 代入有 代入有 m x r s 从而有 从而有 m x x rxr1 根据根据 MalthusMalthus 人口模型 有人口模型 有 0 0 1 xx x x x r dt dx m 4 25 分 已知 8 个城市 v0 v1 v7之间有一个公路网 如图所示 每条公路为图中的边 边上的权数表示通过该公路所需的时间 1 设你处在城市 v0 那么从 v0到其他各城市 应选择什么路径使所需 的时间最短 1 0 v 到其它各点的最短路如下图 到其它各点的最短路如下图 各点的父点如下 各点的父点如下 v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v0 v0 v0 v2 v3 v0 v5 v3 各点的最短路径及最短路长分别为 各点的最短路径及最短路长分别为 v0 0 v0 v1 1 v0 v2 2 v0 v2 v3 3 v0 v2 v3 v4 6 v0 v5 4 v0 v5 v6 6 v0 v2 v3 v7 9 2 最小生成树如下图 最小生成树如下图 7 10 分 有 12 个苹果 其中有一个与其它的 11 个不同 或者比它们轻 或者比它们重 试用没有砝码的天平称量三次 找出这个苹果 并说明它的轻 重情况 先把苹果编号先把苹果编号 1 1 12 12 把把 1 1 4 4 和和 5 5 8 8 放在天平两边放在天平两边 1 1 两边持平 就在 两边持平 就在 9 9 1212 中中 再把再把 9 9 和和 1010 放在天平两边放在天平两边 再平就在再平就在 1111 或或 1212 中中 若若 9 9 和和 1010 不平 则在不平 则在 9 9 或或 1010 中 中 2 2 两边不平 两边不平 假设假设 12341234 重重 56785678 轻轻 则进行第二次称量则进行第二次称量 125125 和和 349349 若平了就在 若平了就在 678678 中且是轻的中且是轻的 再称再称 6 6 与与 7 7 即可 若即可 若 125125 重重 349349 轻则在轻则在 1212 中且是重的中且是重的 再称再称 1 1 与与 2 2 即可 若即可 若 125125 轻轻 349349 重重 则坏的是则坏的是 5 5 某家具厂生产桌子和椅子两种家具 桌子售价 50 元 个 椅子销售价格 30 元 个 生 产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种 生产一个桌子需要木工 4 小时 油漆工 2 小时 生产一个椅子需要木工 3 小时 油漆工 1 小时 该厂每个月可用木工工时为 120 小 时 油漆工工时为 50 小时 问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大 建立模型 不计算 10 解 解 1 1 确定决策变量 确定决策变量 x1 x1 生产桌子的数量生产桌子的数量 x2 x2 生产椅子的数量生产椅子的数量 2 2 确定目标函数 家具厂的目标是销售收入最大 确定目标函数 家具厂的目标是销售收入最大 maxmax z 50 x1 30 x2z 50 x1 30 x2 3 3 确定约束条件 确定约束条件 4