湖南师大附中11-12学年度下学期高一数学期末考试新人教A版

用心 爱心 专心1 湖南师大附中湖南师大附中 20112011 20122012 学年度下学期期末考试学年度下学期期末考试 高一数学试题高一数学试题 时 量 120 分钟 满 分 150 分 必考 I 部分 100 分 必考 II 部分 50 分 命题人 湖南师大附中高一数学备课组 张宇 必考 I 部分 一 选择题 本大题共 8 个小题 每小题 4 分 共 32 分 在每个小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 下列命题正确的是 B A 第一象限角是锐角 B 相等向量一定共线 C 终边相同的角一定相等 D 小于的角是锐角90 2 sin 3300 的值为 C A B C D 2 3 2 3 2 1 2 1 3 若为角终边上一点 则 A 4 3 P cosa A B C D 3 5 4 5 3 4 3 4 4 函数的最小正周期是 B 1 2 tan 3 x y A B C D 2 4 4 5 如图 为互相垂直的单位向量 则向量可表示为 C 1 e 2 ecba A B 1 3e 2 2e 1 3e 2 3e C D 1 3e 2 2e 1 2e 2 3e 6 已知平面向量 且 则 D 2 1 2 xbaba x A 3 B 3 C 1 D 1 7 在四边形中 如果 且 则四边形的形状为 ABCDDCAB BDAC ABCD C 1 e 2 e a b c 用心 爱心 专心2 y x O 6 2 2 5 12 A 梯形 B 菱形 C 长方形 D 正方形 8 已知函数的部分图象如下图所示 则函数 sin 0 0 2 f xAxA 的解析式为 D f x A B 1 2sin 26 f xx 1 2sin 26 f xx C D 2sin 2 6 f xx 2sin 2 6 f xx 二 填空题 本大题共 个小题 每小题 4 分 共 24 分 请把答案的最简形式填在横线上 9 1 sin27 cos63cos27 sin63 10 设一扇形的弧长为 4cm 面积为 4cm2 则这个扇形的圆心角的弧度数是 2 11 将函数的图象向左平移个单位 得到函数的图象 则xy4sin 12 sin 4 yx 3 12 已知且 则在方向上的投影为 5 3 ba12 baab 12 5 13 已知 且 则 cos sin 1 3 baba 4sin2cos 5cos3sin 5 7 14 设函数的图象为 给出下列命题 3sin 2 3 f xx C 图象关于直线对称 函数在区间内是增函数 C 11 12 x xf 5 12 12 函数是奇函数 图象关于点对称 f xC 0 3 其中 正确命题的编号是 写出所有正确命题的编号 三 解答题 本大题共 4 个小题 共 44 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 已知 求 的值 3 sin 5 2 tan cos 4 解 3 sin 5 2 5 4 sin1cos 2 4 3 cos sin tan cos coscossinsin 444 4232 5252 2 10 16 本题满分10分 已知 1 2 ba 1 若的夹角为 45 求 ba ba 用心 爱心 专心3 2 若 求与的夹角 bba ab 解 1 222 2222 111 2 abaabb 2 abb 2 2 1 cos10abba bb 2 cos 0 2 4 17 本小题满分12分 已知函数 22 sin2 3sin coscosf xxxxx 1 求函数的单调递增区间 f x 2 求的最大值及取最大值时的集合 f xx 解 由已知 3sin2cos22sin 2 6 f xxxx 由 得增区间为 222 262 kxk kZ 63 kkkZ 当 即时 取最大值 22 62 xk kZ sin 2 1 6 x f x2 此时的集合为 x 3 x xkkZ 18 本小题满分12分 已知向量 函数的 0 cos cos cos sin3 xxbxxa 2 1 baxf 图象的两相邻对称轴间的距离为 4 1 求的值 2 若 求的值 75 24 12 x 5 3 xfx4cos 3 若 且有且仅有一个实根 求实数的值 1 cos 0 2 xx mxf m 解 由题意 2 1 coscossin3 2 xxxxf 2 1 2 2cos1 2sin 2 3 x x xx 2cos 2 1 2sin 2 3 6 2sin x 用心 爱心 专心4 1 两相邻对称轴间的距离为 4 22 2 T2 2 由 1 得 5 3 6 4sin xxf 75 24 12 x 2 3 6 4 x 5 4 6 4cos x 66 4cos 4cos xx 6 sin 6 4sin 6 cos 6 4cos xx 2 1 5 3 2 3 5 4 10 3 5 32 3 且余弦函数在上是减函数 2 1 cos x 0 3 0 x 令 在同一直角坐标系中作出两个函数的 2 1 baxf 6 4sin xmxg 图象 可知 2 1 1 mm或 必考 II 部分 19 本小题满分 12 分 在等差数列和等比数列中 的前 10 项和 n a n b 114 1 8abb n a 10 55S 1 求和 n a n b 2 现分别从和的前 3 项中各随机抽取一项 写出相应的基本事件 并求这两 n a n b 项的值相等的概率 解 1 由是等差数列得 又 n adaS 2 910 10 110 55 1 101 Sa 1 dndnaan 1 1 又是等比数列 且 n b8 1 41 bb 3 8 1 q 2q 1 2 n n b 2 因为前 3 项为 1 2 3 前 3 项为 1 2 4 所以基本事件为 n a n b 1 1 1 2 1 4 2 1 2 2 2 4 3 1 3 2 3 4 共 9 种 设两项值相等为事件 A 则事件 A 包括 2 种 1 1 2 2 9 2 AP 用心 爱心 专心5 20 本小题满分 12 分 已知 lg 1 f xx 1 若 求的取值范围 0 1 2 1fxf x x 2 若是以 2 为周期的偶函数 且当时 当时 g x 0 1x g xf x 1 2x 求函数的取值范围 yg x 解 1 由 得 01 022 x x 11 x 由 10 1 22 11 1 22 lg 1lg 22lg 0 x x x x xx得 因为 所以 01 x 21 1221010 33 xxxx 即 由 得 3 1 3 2 11 x x 3 1 3 2 x 2 当时 2 1 x 1 0 2 x 因此 3lg 2 2 2 xxfxgxgxgy 由单调性可得 函数的取值范围为 yg x 0 lg2 21 本小题满分 13 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 AD PD BC 1 PC 23 PD CD 2 1 求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值 2 证明平面 PDC 平面 ABCD 3 求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值 解 1 如图 在四棱锥中 因为底面是矩形 ABCDP ABCD 所以且 又因为 故为异面直BCAD BCAD PDAD PAD 线与所成的角 PABC 在中 PDARt 2tan AD PD PAD 所以 异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2 2 证明 由于底面是矩形 故 又由于 ABCDCDAD DPDCDPDAD 因此平面 PDC 而平面 所以平面平面 AD ADABCD PCDABCD 3 在平面内 过点 P 作交直线 CD 于点 E 连接 EB PCDCDPE 由于平面平面 而直线 CD 是平面与平面的交线 PCDABCDPCDABCD P A B C D 用心 爱心 专心6 故平面 由此得为直线 PB 与平面所成的角 PEABCDPBE ABCD 在中 由于可得 PDC 32 2 PCCDPD 30 PCD 在中 PECRt 330sin PCPE 由平面 得平面 ADBCAD PDC BCPDC 因此 在中 PCBC PCBRt 13 22 BCPCPB 在中 PEBRt 13 39 sin PB PE PBE 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角的正弦值为 39 13 22 本小题满分 13 分 在某海滨城市附近海面有一台风 据监测 当前台风中心位于城市 如图 的东偏南O 方向 300km 的海面 P 处 并以 20km h 的速度向西偏北 45 方向移动 台 10 2 cos 风侵袭的范围为圆形区域 当前半径为 60km 并以 10km h 的速度不断增大 问几小时后 该城市开始受到台风的侵袭 受到台风侵袭的时间有多少小时 解 设在 t 时刻台风中心位于点 Q 此时 300OP 20PQt 台风侵袭范围的圆形区域半径为 1060r tt 由 可知 10 2 cos 10 27 cos1sin 2 coscos 45 coscos45sinsin45OPQ 5 4 2 2 10 27 2 2 10 2 在 OPQ 中 由余弦定理 得 OPQPQOPP