九年级导学案

21 1 一元二次方程 导学案 NO 01 班级 姓名 小组 评价 一 学习目标 1 认识一元二次方程及根的概念 2 掌握一元二次方程的一般形式 并会将任何一个一元二次方程化成一般形式 二 自主学习 一元二次方程的概念 1 阅读教材引例 在练习本上自己按题意列出方程并整理 写出最后的方程 是 说一说这个方程是 元 次方程 2 用类似的方法研究问题 1 问题 2 经整理后的两个方程分别 是 它们都是 元 次方程 3 归纳总结 含有 个未知数 且未知数的最高次数为 的整式方程叫做一 元二次方程 说一说一元二次方程有哪些特点 与同学认真交流 2 一元二次方程的一般形式 阅读教材 一元二次方程的一般形式 抄写三遍 说一说哪 一项是二次项 系数是多少 有什么要求 哪一项是一次项 一次项系数是多 少 哪一项是常数项 与同学认真交流课堂展示 3 一元二次方程的根 阅读教材 说一说什么叫一元二次方程的根 它有什么特点 与同学认真交流 自学检测 1 若关于的方程是一元二次方程 则 x023 1 xxm n m n 2 方程写成一般式是 二次项是 1 12 3 xxx 一次项系数是 三 合作探究 1 下列方程中 是一元二次方程的有 2x 2 2y2 3y 1 0 x 3y 4 5x2 x3 2 x1 1 x x 2 根不为 x 2 的方程是 A B 5x 10 0C D 02 2 xx023 2 xx08 3 x 3 如果 ax2 x 12 0 是 x 的一元二次方程 则 a 的取值范围是 如果 m 3 是 x 的一元二次方程 则 m 的取值是 01 1 xx m 4 将下列方程化成一元二次方程的一般形式 并写出二次项系数 一次项系数和 常数项 1 2x2 x 4 2x 2 3x x 1 5x 7 3 x 2 4x 1 x 3 5 如果 x2 k 0 的一个根是 x 7 则常数 k 为多少 此方程还有的根是多少 四 达标检测 1 一元二次方程 1 3x 2x 1 x2 4 的一般形式是 它的二次项系数是 一次项系数是 常数项是 2 下列方程是一元二次方程的是 A x4 x3 2 B 2x2 1 2 0 C D x 1 2 0 2 2 3 4 1 2 xx x 1 3 已知是方程的一个根 求的3 x06 2 axx3612168 22 aaaa 值 4 5 五 拓展提高 对于 x 的方程 1 当 k 为何值时 它092 2 2 2 xkxxk k 是 x 的一元一次方程 2 当 k 为何值时 它是 x 的一元二次方程 并求出它的解 21 2 1 1 直接开平方解一元二次方程 导学案 NO 02 班级 姓名 小组 评价 一 学习目标 1 理解 直接开平方解一元二次方程 的方法 并会用此种方法解一些形式较为 简单的一元二次方程 2 体会 降次 的这种数学化归思想 二 自主学习 1 阅读教材问题 1 在练习本上自己列出方程 2 把列出的方程化简整理后写出来 是吗 说一说这个方程有什么特点 如何解25 2 x 这个方程呢 最后你算出的盒子的棱长是多少 与同学认真交流并课堂展示 3 阅读教材 思考 请你仿例解方程3 2 2 x 4 归纳总结 如果一个方程能化成P P 是常数 且 P 0 的形式 则方程的根就 2 x 是 如果方程化成了P P 均为常数 且 P 0 的形式 则 x 2 nmxmn 进而得方程的根为 这种解一元二次方程的方法就叫做 mxn m nP x 直接开平法 小声读三遍 5 说一说可以用直接开平法来解的一元二次方程有什么特点 与同学交流体会 自学检测 解方程 1 2 2 90y 2596 2 xx 三 合作探究 1 解方程 10 2 0 2 x443 22 xx 2 解方程 8 1 2 x01 32 2 x 3 解方程 1212510 2 yy2 4 1 2 xx 4 把面积 900的正方形纸片分成 100 个边长相同的小正方形 求每个小正方形 2 cm 的边长 5 一个三角形有两边长分别为 3 和 4 第三边的长是方程的解 496 2 xx 求这个三角形的周长 你能判定这个三角形的形状吗 为什么 四 达标检测 1 判断下列式子是否正确 正确的划 错误的划 1 方程两边开平方 得到原方程的根为 2 4x 2x 2 是方程的根 所以的根是 3x 2 9x 2 9x 3x 3 方程的根是 2 10 x 1x 2 解方程 1 2 2 30 x 2 12 2 90 x 3 4 五 拓展提高 已知二次三项式是一个完全平方式 则 a 22 24xaxa 21 2 1 2 用配方法解一元二次方程 导学案 NO 03 班级 姓名 小组 评价 一 学习目标 1 理解掌握什么是配方法 2 能正确运用配方法解一元二次方程 二 自主学习 1 阅读教材 6 页第二个 探究 中方程的解答过程 自己在练习本上快速列出并整理方程 观察这个方程有什么特点 如何解这个方程 与同学交流 2 阅读教材 7 页第二段 归纳总结配方法 把一元二次方程变成 2 0 0 axbxca 左端是一个含未知数的 而右端是 即的 2 0 xkh h 形式 从而可用 来求解 这种解一元二次方程的方法叫做配方法 小声读三 遍 说一说 配方法 的关键在那里 如何 配方 自学检测 解方程 024 2 xx013 2 yy 三 合作探究 1 用配方法解方程 2x2 6 7x 首先将方程化为 2x 6 再将方程两边除以 2 得 x 22 x 方程两边同时加上 方程化为 即 开平方得方程的 2 7 解是 2 方程用配方法化成 的形式是 方026 2 xxbax 2 0 b 程的根是 3 22 4 8 xxx 22 12 xxx 4 用配方法解方程 046 2 xx352 2 xx01582 2 xx 03323 2 xx027 2 xx74246 22 yyyy 5 关于的一元二次方程是一元二次方程吗 为什么 x022 178 22 mxxmm 四 达标检测 1 填空 1 2 22 5 xxx 22 xbxx 2 解下列方程 1 2 2 2480yy 2 3230 xx 3 4 五 拓展提高 用配方法解方程 2 0 xpxqpq 为常数 21 2 3 用公式法解一元二次方程 导学案 NO 04 班级 姓名 小组 评价 一 学习目标 1 理解掌握如何用公式法解一元二次方程 2 理解掌握一元二次方程根的判别式 并会判别一元二次方程根的情况 二 自主学习 1 求根公式的推导 阅读教材后 自己尝试用配方法解一元二次方程 说一说该方程的根有哪些情况 为什么 与同学交流 2 0 0 axbxca 2 总结归纳 由上可知 一元二次方程根的情况是由 确定 用 2 0 0 axbxca 表示 我们把它叫做一元二次方程根的判别式 2 0 0 axbxca 当 0 时 方程有 其中 2 0 0 axbxca 12 xx 当 0 时 方程有 其中 2 0 0 axbxca 21 xx 当 0 时 方程 2 0 0 axbxca 当 0 时 方程的实数根可写成 的形式 这 0 0 2 acbxax 个式子叫做一元二次方程的求根公式 这种解一元二次方程的方法 就叫做公式法 小声 读五遍并黑板展示 3 阅读教材例 2 说一说用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的 口头展示 自学检测 解方程 043 2 xx0232 2 xx0169 2 xx 三 合作探究 1 不解方程 判断方程的根的情况是 0432 2 xx A 相同两实根 B 相异两实根 C 只有一个实根 D 没有实根 2 关于的一元二次方程没有实数根 则实数的取值为 x02 2 mxxm A 1 B 1 C 1 D 1mmmm 3 关于的一元二次方程有两个不相同的实根 则的取值x012 1 2 xxkk 是 A 2 B 2 且 C 2 D 2 且kk 1k kk1k 4 若一个三角形的三边长均满足方程则此三角形的周长为 2 680 xx 5 用公式法解下列方程 63 2 xx04113 2 xx 1 1 2 3 3 xxxx 四 达标检测 1 下列哪个方程没有实数根 A B C D 012 2 xx032 2 xx096 2 yy0253 2 xx 2 用公式法解下列方程 1 2 2 610 xx 2 322xx 3 已知关于 x 的方程 请你选一个你喜爱的 m 的值 使方程有 2 320 xxm 两个不相等的实数根 4 五 拓展提高 已知关于的一元二次方程有两个相等x02 2 cabxxca 的实数根 问正数 可否作一个三角形的三边长 如果可以 能判这个三角形是abc 什么形状 若不可以 说明理由 21 2 4 用因式分解法解一元二次方程 导学案 NO 05 班级 姓名 小组 评价 一 学习目标 1 理解掌握什么是因式分解法 并会用因式分解法解一元二次方程 2 体会 降次 的新方法 因式分解 探索因式分解法解一元二次方程的广泛运用 二 自主学习 1 阅读教材问题 2 及 思考 说一说它是用什么方法将一元二次方程化为两个一元一次方程的 仿照 思考 解方程04 2 xx 2 阅读教材 13 页最后一段 归纳总结 将一个形如一元二次方程一般形式的一元二次方 程 先用 的方法 将方程化为 个含未知数的一次式的乘积等于 0 的 形式 再使这两个一次式分别等于 从而实现 降次 这种解法就叫做因式分解法 解一元二次方程 小声默读二遍 3 说一说用因式分解法解一元二次方程的步骤 与同学交流 自学检测 用因式分解法解方程 023 2 xx 363 2 yy 2 4 1 2 mmm 三 合作探究 1 用因式分解法解方程 01444 2 x3 3 xxx 20 3 2 xx 22 3 12 xx 3 选择你喜欢的方法解下列方程 332 2 xxxxx821681 2 4 请至少用两种方法解方程xx16 3 2 5 一个直角三角形的两直角边的长恰好是方程的两个实数根 求这个0127 2 xx 直角三角形斜边上的高 四 达标检测 1 某两位数的十位上的数字是方程的解 则其十位上的数字是 2 80 xx 2 解方程时 较简便的解法是 2 5115xx A 因式分解法 B 公式法 C 配方法 D 直接开平方法 3 用因式分解法解下列方程 1 2 3 2 7100 xx 2 1525 0 424 xx 22 132xx 4 5 五 拓展提高 已知 的值 222222 12 1 yxyxyx 求 一元二次方程的解法 训练学案 NO 06 班级 姓名 小组 评价 1 一元二次方程 x x 1 3 x 1 的解是 2 根为 1 和 2 的一元二次方程是 A x2 3x 2 0 B x2 3x 2 0 C x2 2x 3 0 D x2 3x 2 0 3 方程 x2 mx n 0 的两根为 3 和 4 则代数式 x2 mx n 可分解为 A x 3 x 4 B x 3 x 4 C x 3 x 4 D x 3 x 4 4 下列方程有实数根的是 A y2 2y 10 0 B a2 a 1 0 C m2 m 1 0 D x2 9 0 5 关于 x 的一元二次方程 2k 1 x 3 k 0 有实数根 则 k 的取值范围是 2 x 关于 y 的一元二次方程 k 1 y2 ky k 1 0 有两个不同的实数根 则 k 的取值范围 4 1 6 用求根公式解方程 x2 2x 2 0 时 a b c 值分别是 2 A 1 2 2 B 1 2 2 C 1 2 2 D 1 2 22222 7 方程 x2 3x 3 0 的根的情况是 A 有两个不等实数根 B 有两个相等实数根 C 只有一个实数根 D 没有实数根 8 三角形两边的长分别是 3 和 4 第三边的长是方程 x2 12x 35 0 的根 则三角形的周长 是 A 12 B 14 C 12 或 14 D 以上都不对 9 已知 x 4 和 x 3 是方程 x 2m x 3 0 的两个实数根 则的值是 m A B C 2 D 2 2 3 2 3 10 若代数式 x 3 x 1 的值是 4 则 x 的值是 11 用适当方法解下列方程 x 2 2 3 y2 2y 15 0 3 a 2 a2 9 x2 x 1 0 x x 1 5x 0 m 1 2 2 1 m 12 已知 m 1 x2 7mx m2 3m 4 0 是关于 x 的一元二次方程 且有一个根为 0 求 m 的 值和方程的另一个根 13 在等腰 ABC 中 BC 8 AC AB 的长是关于 x 的方程 x2 10 x m 0 的两实数根 求 ABC 的周长 14 已知 a b c 分别是 ABC 的三边 其中 a 1 c 4 且关于 x 的方程 x2 4x b 0 有两 个相等的实数根 试判断 ABC 的形状 15 求证 不论 a 取何实数 关于 x 的一元二次方程 2x2 3 a 1 x a2 4a 7 0 必有两个不相 等的实数根 16 已知关于 x 的方程 k2x2 2k 1 x 1 0 有两个不相等的实数根 1 求 k 的取值范围 2 是否存在这样的实数 k 使方程的两个实数根互为相反数 如果存在 求出 k 的 值 如果不存在 说明理由 21 2 5 根与系数的关系 导学案 NO 07 班级 姓名 小组 评价 一 学习目标 1 理解掌握一元二次方程的根与系数的关系 2 会运用一元二次方程的根与系数的关系 处理一些应用问题 二 自主学习 1 方程的根是 请计算 032 2 xx 21 xx 21x x 2 阅读教材 18 页导 例 4 之间部分 若理解有困难 请反复阅读 写出一元二次方程的一般式为 根据求根公式分开写出它的两 个根是 1 x 2 x 按分式加法与乘法法则分别计算与的结果 21 xx 21x x 21 xx 21x x 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系是 设 是一元二次方程的二根 则 1 x 2 x 2 0 0 axbxca 抄写三遍 请用自己的语言来描述 课堂展示 21 xx 21x x 自学检测 设 是方程的两个根 不解方程求下列式子的值 1 x 2 x0362 2 xx 12 xx 12 x x A 22 12 xx 12 11 xx 三 合作探究 1 不解方程求下列方程两根的和与积 013 2 xx13 2 x65 2 xxx 2 2 1 3 xxx 2 已知的一个根是 1 求它的另一个根及的值 0193 2 mxxm 3 若 是的两根 求值 1 x 2 x0342 2 xx 1 1 21 xx 2 1 1 2 x x x x 4 已知 是方程的两个根 求值 1 x 2 x023 2 xx 2 212 2 1 xxxx 2 21 xx 5 已知关于的方程的两根之和为 1 两根之差为 1 其中x0 2 2 acbxxca 是 ABC 的三条边长 求方程的根 试判断 ABC 的形状 abc 四 达标检测 1 已知 是的两根 则 1 x 2 x 2 630 xx 12 xx 2 已知一个直角三角形的两直角边的长恰好是方程二根 则这个直角三 2 2870 xx 角形的斜边长是 A B 3 C 6 D 93 3 已知方程的两根的平方和为 11 求的值 02 12 22 kxkxk 4 5 五 拓展提高 若 是方程的两实根 求的值 020122 2 xx 3 2 21 3 1 实际问题与一元二次方程 导学案 NO 08 班级 姓名 小组 评价 一 学习目标一 学习目标 1 理解掌握如何列一元二次方程解决实际问题 2 能根据实际问题的具体情况会对一元二次方程的根进行取舍 二 自主学习二 自主学习 1 阅读教材 探究 1 后 回答下列问题 若设每轮传染中平均一个人传染了个人 则第一轮后共有 人患了流感 用代数式x 表示 第二轮传染中 这些人的每一个人又传染了个人 则第二轮 被传染的人是x 人 用代数式表示 第二轮后 共有 人患了流 感 用代数式表示 根据问题中的哪句话可以找出题目的等量关系 在该句话下面画上符号 根据 该等量 关系你可以列出方程吗 方程的解是多少 该问题的最后答案是多少 试一试 与同学 交流 2 阅读教材 思考 如果按这样的传染速度 三轮传染后共有 人患流感 3 阅读教材 探究 2 读两遍后分析 要比较甲乙两种药品成本的年平均下降率 应先分别求出它们的年平均下降率 设甲药品成本的年平均下降率为 x 乙药品成本的年平均下降率为 y 由题意可列 出 两个方程是 这两个方程的解是 根据题目实际意义 应取 应取 显然 药 品成本的年平均下降率较大 与同学认真交流 自学检测 某商品每件原来的售价是 500 元 经过连续两次的涨价 现在每件的售价是 720 元 平均每次涨价的百分率是多少 三 合作探究 1 一个两位数等于它的个位数的平方 十位数字比个位数字小 3 这个两位数是 2 某种衬衣的价格经过连续两次的降价 由每件 150 元降至 96 元 平均每次降的 百 分率是 A 20 B 27 C 28 D 32 3 某果农 2007 年收入是 5 万元 2009 年收入是 7 2 万元 则年平均增长率是 4 某药品连续两次降价 10 后 价格为 a 元 则原价是 元 A B C D 21 1 a 1 1 a 81 0 a 9 0 a 5 一次篮球邀请赛进行单循环比赛 全部比赛共进行了 10 场 求共多少个队参加 6 某品牌手机经过 4 5 两月的连续两次降价 每部售价由原来的 3200 元降为 2500 元 平均每月的降价率相同 求这个平均降价率 四 达标检测 1 为改善居民住房条件 某市计划用未来两年时间 将居民的住房面积由现在的 10m2提 高到 12 1m2 若每年的年增长率相同 则年增长率是 A 9 B 10 C 11 D 12 2 某印刷厂 1 月份印刷了书籍 48 万册 第一季度共印刷了 336 万册 求 2 3 月份平均每 月的增长率是多少 3 两年前生产 1 吨甲种药品的成本价是 5000 元 生产 1 吨乙种药品的成本价是 6000 元 随着生产技术的进步 现在生产 1 吨甲种药品的成本价是 3000 元 生产 1 吨乙种药品 的成本价是 3600 元 哪种药品成本的年平均下降率大 4 5 五 拓展提高 某农场去年种植了 10 亩南瓜 亩产量是 2000kg 今年扩大了种植面 积 同时种植的是高产的新品种南瓜 已知种植面积的增长率是亩产量的增长率的 2 倍 今年南瓜的总产量为 60000kg 求南瓜亩产量的增长率 21 3 2 实际问题与一元二次方程 导学案 NO 09 班级 姓名 小组 评价 一 学习目标 进一步掌握运用一元二次方程的相关知识解决实际问题 二 自主学习 1 阅读教材 探究 3 读三至五遍题 弄清题意 请按下面的提示解决问 题 封面 大长方形 的长 宽分别为 27cm 21cm 可算出长宽之比是 由于题目 说 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形 则知中央小长方形的长宽之比也是 设中央小长方形的长 宽分别是 9a 7a 上下边衬 相同 为 27 9a 左右边衬 2 1 相同 为 21 7a 2 1 27 9a 21 7a 9 7 2 1 2 1 上下边衬与左右边衬的比也恰是 设上下边衬为 9x 左右边衬为 7x 则中央小长方形的长是 27 18x 宽是 21 14x 这样中央小长方形的面积就表示成 根据问题中的哪句话可以找出题目的等量关系 在该句话下面画上符号 根据该等 量关系你可以列出方程吗 方程的解是多少 该问题的最后答案是多少 与同学交流 黑 板展示 2 小结 说一说 列一元二次方程解实际问题的步骤 与同学交流 三 合作探究 1 一个两位数 比它个位上的数字的平方大 8 且个位上的数比十位上的数大 2 则这个 两位数是 A 24 B 24 或 57 C 24 或 57 D 24 或 57 2 某初中毕业班的每一位同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念 全班共 送了 2550 张相片 如果全班有 x 名学生 根据题意 列方程是 A x x 1 2550 B x x 1 2550 C 2x x 1 2550 D x x 1 2550 2 3 某市前年参加中考的学生人数是 5 万人 今年增至 6 05 万人 求 这两年里该市参加 中考人数的年平均增长率 这三年里 该市参加中考的总人 4 两个连续奇数的积是 323 求这两个连续奇数各是多少 5 用一条长 90cm 的绳子 围成一个 450cm 的长方形 它的长和宽各多少厘米 2 6 制造一种产品 原来的成本是每件 300 元 由于连续两次降低成本 现在的成本价是每 件 243 元 问平均每次降低成本百分之几 四 达标检测 1 一直角三角形的两条直角边的和是 17cm 面积是 30cm2 则斜边长是 2 从一块正方形木板上锯下一块宽为 2cm 的长方形木条 剩下部分的面积是 48cm2 则这 块正方形木板的面积是 A 81cm2 B 64cm2 C 96cm2 D 81cm2或 64cm2 3 一个多边形的对角线共 35 条 求这个多边形的边数 4 5 五 拓展提高 某商厦二月份的销售额是 100 万元 三月份的销售额下降了 20 商厦从四月平均增长率 份起改进经营措施 销售额稳步上升 五月份的销售额达到 135 2 万元 求后两月的平均 增长率 一元二次方程 复习 导学案 NO 10 班级 姓名 小组 评价 一 学习目标 1 通过自主复习 清理本章所学知识 使知识系统化 层次化 2 熟练掌握一元二次方程的概念 四种解法 韦达定理及其应用 二 自主复习 1 围绕下列问题完成教材复读 什么样的方程是一元二次方程 一元二次方程的解可能有几种情况 解一元二次方程有哪几种方法 各种解法在什么情况下最适用 什么叫一元二次方程的根的判别式 它有什么用处 韦达定理的结论是什么 如何解分式方程 解一元二次方程的应用题主要有哪些步骤 2 知识点清理 一元一次方程 二元一次方程的一般式分别是 一元二次方程的一般式是 一元二次方程有实数根的条件是 有相异二实根的条件是 一元二次方程的四种解法分别是 一元二次方程根 x1 x2与系数 a b c 的关系是 0 0 2 acbxax 上述知识清理完毕后读二遍 21 xx 21x x 自学检测 选择适当的方法解方程 x2 5 x 2 17 2x2 1 3x x2 x 1 0 x2 2x 5 x 2 三 合作探究 1 当 m 时 k 2 k 2 4 0 是的一元一次方程 方程的根是 2 2 k xxx 2 方程 5x x 2 2 x 的根是 方程 x x 1 的根是 2 3 设 是方程的两个根 则 1 x 2 x0362 2 xx 1 x 2 x 4 解方程 015 2 xx0152 2 xx104 52 xxx 5 已知关于的方程 求证 方程恒有两个实数根 x01 2 kxx 若设它的两个实数根为 若 求的值 1 x 2 x 21 1 2 1 xx k 5 某县 2010 年的森林面积为 200 万公顷 计划到 2012 年森林面积要达到 288 万公顷 求每年的平均增长率是多少 四 达标检测 1 若方程 mx 3x 1 0 有两个不同的实根 则 m 的取值是 2 2 解方程 xxx 1 1 0332 2 xx5194 2 xx 3 利用一面墙 用 20长的篱笆 如何围成一个面积是 50的长方形场地 m 2 m 五 拓展提高 关于的一元二次方程 有两个相等的实数根 试判断以 x 0 4 2 ca bxxcaa 为边长的三角形的形状 bc 一元二次方程 检测题 NO 11 班级 姓名 小组 评价 满分 100 分 45 分钟完卷 一 填空一 填空 每小题 5 分 共 30 分 1 当 时 0 是关于的一元二次方程 k14 2 2 2 xxk k x 2 方程的根是 2 2 4 xxx 3 方程没有实数根 则的取值范围是 023 2 kxxk 4 已知的一个根是 1 则的值是 093 2 mxxm 5 两个数的和是 10 积是 24 则这两个数分别是 6 关于的方程有相异二实根 的取值范围是 x02 12 22 mxmxm 二 选择二 选择 每小题 4 分 共 20 分 7 下列方程是一元二次方程的是 A B C D 0510 3 xx12 yx2 2 1 2 x1 1 1 x x 8 用配方法解方程时 两边应同时加上 13 2 xx A B C D 3 1 2 3 4 9 9 制造一种产品 原来每件的成本价是 100 元 经过连续两次的技术改造 现在每件的成 本价为 81 元 那么平均每次降低成本 A 10 B 9 5 C 9 D 8 10 若 则的值是 80 22222 nmnm 22 nm A B C 或 D 8 或8 108 1010 11 关于的方程有实数根 则的非负整数值是 x036 2 xkxk A 0 1 2 B 1 2 C 1 2 3 D 0 1 2 3 三 解方程三 解方程 每小题 5 分 共 10 分 12 13 024 2 xx5 3 1 xx 四 解答题 四 解答题 每小题 10 分 共 40 分 14 为何值时 关于的方程 kx0912 2 xkx 有两个相等的实数根 没有实数根 15 某市天然气用户由去年第四季度的 500 万户增至今年第二季度的 720 万户 求平均每 季度的增长率 16 若关于的方程有两个相同的实数根 且 是x02 2 22 cabxbaxabc ABC 的三边长 求证 ABC 是直角三角形 17 关于的方程 求证 无论为何值 方程总有相异二实根 x01 2 kxxk 设它的两根 满足 求的值 1 x 2 x 2121 2xxxx k 22 1 1 二次函数二次函数 导学案导学案 NO 12 班级 姓名 小组 评价 一 学习目标一 学习目标 1 知道二次函数的定义和一般式 会区分二次项系数 一次项系数和常数项 2 能判别二次函数和书写二次函数解析式来表示数量关系 二 自主学习二 自主学习 1 知识链接 函数是描述 两个变量之间的数量关系 的一种数学工具 它给解决实际 问题中的数量关系 特别是变量与变量之间的关系 带来方便 具体定义是 设在一个 变化过程中 有两个变量 每当取一个确定值时 都有唯一的一个值与其对xyxy 应 则称是的函数 其中被称为自变量 我们已经学过的函数有 yxx 函数 包括 函数 2 阅读教材 由图 22 1 1 所得与的关系式是 由 问题 1 得出 d 与 nyx 的关系式是 由 问题 2 得出与的关系式是 阅读时 要yx 细心体会 对于的每一个值 y 都有唯一的一个对应值 即 y 是的函数 的意思 xx 3 归纳 二次函数的定义 上述三个函数的共同点是 每个函数都是用自变量的 表示的 定义 一般地 形如 a b c 是常数 a 0 的函数叫做 函cbxaxy 2 数 其中是自变量 是的函数 分别是函数解析式的二次项系数 一xyx 次项系数和常数项 读三遍 4 初中阶段所学的函数有 一次函数 包括正比例函数 0 kkbkxy是常数 0 kkkxy是常数 反比例函数 是常数 k y x k0k 二次函数 a b c 是常数 a 0 cbxaxy 2 5 自学检测 下列函数中 是的二次函数的是 yx A B C D 12 xy x y 6 2 12 y x 2 1yx 二次函数的二次项系数 一次项系数与常数项分别是34 2 xxy 三 合作探究三 合作探究 1 当 k 时 函数是以 x 为自变量的二次函数 kxxky k 2 2 2 2 2 把函数化成一般式是 其中 a 2 2 4 xxy b c 3 列写函数关系式 高等于底面半径的圆柱表面积与底面半径的关系 yx 长是宽的 3 倍的矩形面积 S 与宽 a 之间的关系 边长为的等边三角形的面积与的关系 xyx n 支球队单循环比赛 总的场数 m 与 n 的关系 某药品原售价 25 元 经过两次降价 每次都降低 现价为元 则与的函xyyx 数关系 4 函数是二次函数 求 m 的值 3 2 2 mm xmy 5 无论 x 为何实数 二次函数 y a 1 x2的值总是非负数 求 a 的取值范围 四 达标检测四 达标检测 1 的积等于 写出与的函数关系式为 32 xx与yyx 2 函数是关于 x 的二次函数 则 m 等于 321 1 2 xxmy m A 1 B 1 C 1 D 都不对 3 下列函数中 哪些是二次函数 1 y 3x 1 2 y 3x2 3 y 3x3 2x2 4 y 2x2 2x 1 5 y x 2 x 6 y x2 x 1 x 4 5 五 拓展提高五 拓展提高 对于函数mxxmy m 1 3 m 为何值时 是的二次函数 yx m 为何值时 是的一次函数 yx 可以成为的反比例函数吗 如果可以 求出 m 的值 如果不可以 说明理由 yx 22 1 2 二次函数二次函数的图象的图象 导学案导学案 NO 13 2 axy 班级 姓名 小组 评价 一 学习目标一 学习目标 1 会用描点法画二次函数的图象 2 axy 2 能用数形结合思想讨论二次函数的图象性质 2 axy 二 自主学习二 自主学习 1 知识链接 函数的图象能直观地反映函数的性质 图象的画法一般用三步完成 第一 步 第二步 第三步连线 这是我们熟悉的 并且用三步法我们 已经会画一次函数的图象了 它的图象名称是 2 阅读教材 画 y x2的图象 解 1 列表 y x2中的自变量可以为任意实数 取 0 附近一部分数列表 x x 3 2 10123 y x2 2 描点 3 连线 用平滑曲线顺次连接各点 3 归纳总结 抛物线 y x2的图象类似于抛掷物体所经过的路线 故称二 次函数 y x2的图象叫做抛物线 开口方向 抛物线 y x2开口 对称轴 抛物线都是轴对称图形 y x2的对称轴是 顶点 图象与对称轴的交点 叫抛物线的顶点 可用坐标表 示为 4 阅读教材 例 1 和 探究 比较两组函数图象的异同 归纳总结 5 二次函数的图象性质 一般地 抛物线的对称轴是 顶点坐 2 axy 2 axy 标是 当 a 0 时 抛物线的开口向 顶点是抛物线的最 点 当 a0 时 当 时 开口向下 2 对称轴是直线 3 坐标是 h k 读三遍 4 学习教材 例 4 分析 由题意知顶点坐标为 1 3 就可设顶点式 同时要注意自变量 x 的取值范围 0 x 3 三 合作探究三 合作探究 1 抛物线的开口向 对称轴是 顶点坐标是 2 1 3 2 xy 2 抛物线 y 4 x 3 2 5 的图象可看成是由 y 4x2的图象先向 平移 个单位 再向 平移 个单位后得到的 也可看成 把 y 4x2的图象先向 平移 个单位 再向 平移 个单位后得到的 3 二次函数的最小值是 2 1 2 xy A 2 B 2 C 1 D 1 4 若二次函数的图象经过原点 则 m 的值为 32 1 22 mmxmy A 1 B 3 C 1 或 3 D 以上都不对 5 已知是二次函数 并且其图象开口向下 则 aa xay 2 1 a 6 抛物线 的开口宽窄由小到大的顺序是 2 1 4xy 2 2 xy 2 3 2 0 xy A B C D 1 y 2 y 3 y 3 y 2 y 1 y 2 y 1 y 3 y 3 y 1 y 2 y 7 先用配方法确定函数的682 2 xxy 开口方向 对称轴及顶点 再描点画图 四 达标检测 四 达标检测 1 抛物线的对称轴是 1 6 3 2 xxy A B C D 6 x1 x1 x6 x 2 已知抛物线 y 2x2 若抛物线不动 把 x 轴 y 轴分别向上 向右平移 2 个单位 则在 新的直角坐标系中 此抛物线的解析式是 3 若点 A 2 m 在抛物线的图象上 求 m 的值84 2 xxy 4 五 拓展提高 五 拓展提高 二次函数 无论为何实数 其图像的顶点都在 kkxay 2 0 ak A x 轴上 B y 轴上 C 直线 y x 上 D 直线 y x 上 22 1 4 二次函数二次函数 y ax2 bx c 的图象的图象 导学案导学案 NO 16 班级 姓名 小组 评价 一 学习目标 一 学习目标 1 会用配方法求二次函数一般式 y ax2 bx c 的顶点坐标 对称轴 2 能准确 快速地画 y ax2 bx c 的函数图象 3 极度热情 投入学习 二 自主学习 二 自主学习 1 教材 思考 画的函数图象 配方 2 1 621 2 yxx 2 1 621 2 yxx 2 22 11 1236 22 11 6 22 xx xx 这样 的顶点是 对称轴是直线 x 6 再利用图象的对称 2 1 621 2 yxx 性列表 最后描点 连线 得 的图象 也就 2 1 6 3 2 yx 是的图象 2 1 621 2 yxx 2 性质研究 对于的图象 当 x63 6 2 1 2 xy x 3456789 2 1 6 3 2 yx 时 y 随 x 的增大而 思考 是否是所有的抛物线都要以它的对称轴为界 两边的图象分别讨论 得出 y 随 x 的变化而变化 的结论呢 3 归纳总结 二次函数 y a x h 2 k 的形式 叫做二次函数的顶点式 顶点坐标是 对称轴是 将二次函数的一般式 y ax2 bx c 化成顶点式为 对称轴是 顶点坐标是 读三遍 自学检测 1 对于抛物线 y 4 x 3 2 1 当 x 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 时 y 随 x 的增大而减小 2 对于抛物线 y x2 4x 3 当 x 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 时 y 随 x 的增大而减小 三 合作探究三 合作探究 1 与抛物线的对称轴的位置有关的数据是 cbxaxy 2 A B C D abababc 2 下列抛物线的顶点在第二象限的是 A B C D 2 2 xxy2 2 xxy2 2 xxy 2 2 xxy 3 抛物线的对称轴是 顶点坐标是 32 2 xxy 4 函数的最大值是 22 2 xxy 5 对于函数 当 x 时 y 随 x 的增大而增大 x 时 y 随32 2 xxy x 的增大而减小 6 已知二次函数 2 yaxbxc 0a 的图象如图所示 有下列结论 0abc a b c 0 a b c 0 2a b 0 其中正确的结论有 A 1 个B 2 个C 3 个 D 4 个 7 点 A B 在抛物线的图象上 点 A 横坐标是 1 点 B 的纵坐标是 4 求经过 2 xy A B 两点的直线解析式 1O x 1 y x 四 课堂检测 四 课堂检测 1 抛物线的对称轴是 顶点坐标是 12 2 xxy 2 已知二次函数 y 当时 y 取得最小值 则这个二次函数的顶点在3 2 bxx1 x A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 已知 抛物线 y 的顶点在 x 轴上 试求 c 的值 cxx 6 2 五 拓展提高 五 拓展提高 已知函数 y 的图像上有三个点kx 2 3 3 A B C 则的大小关系是 2 5 1 y 3 2 y 5 3 y 321 yyy A B C D 1 y 2 y 3 y 3 y 2 y 1 y 3 y 1 y 2 y 2 y 1 y 3 y 22 1 5 用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式 导学案导学案 NO 17 班级 姓名 小组 评价 一 学习目标一 学习目标 1 会用待定系数法列方程组求二次函数的解析式 2 能理解待定系数法的依据及灵活运用解决问题 3 一份耕耘 一份收获 天道酬勤 二 自主学习二 自主学习 1 知识回顾 待定系数法 先根据题意设出适当模型的函数表达式 其中含 k a b c 等系数 再由题目条件 列出方程或方程组 求解方程 组 得出待定系 数 k a b c 等的确定值 从而求出函数解析式的方法 2 待定系数法的依据 凡是在函数图象上的点 其坐标满足解析式 满足 在这里的含意 是指 把横坐标作 x 的值 纵坐标作 y 的值 代入解析式 解析式的 成立 如 下列 哪些点在函数的图象上 A 1 1 B 1 2 C 0 3 解析 把解析1 1 2 2 xy 式中的 x y 分别用 1 代入 等号左边 1 右边也为 1 成立 于是点 A 在它的图象上 把 1 和 2 代入 等号左边 2 右边为 1 不成立 点 B 不在它的图象上 同法可判 点 C 也在它的图象上 3 例题 一条抛物线经过点 2 0 1 3 求它的解析式 cxaxy 3 2 解 的图象经过 2 0 1 3 cxaxy 3 2 可得方程组 解这个方程组得 a c 该抛物线的解析式是 4 再例 一个二次函数的图象经过 2 5 0 3 1 4 三点 求它的解析式 解 设该二次函数的解析式为cbxaxy 2 它的图象经过 2 5 0 3 1 4 三点 解之 得 a b c 所求二次函数的解析式为 5 小结 求二次函数的解析式 关键在于求出待定系数 a b c 的值 由cbxaxy 2 已知条件列出关于 a b c 的方程组 并求出 a b c 就可以写出它的解析式 三 合作探究三 合作探究 1 下列点不在抛物线上的是 12 2 xxy A 2 9 B 0 1 C 1 1 D 2 5 2 若点 m 2 在的图象上 则 m 23 2 xxy A 0 B 3 C 0 或 3 D 3 3 二次函数 当 x 取 2 和 1 时 函数值分别为 14 和 4 求它的解析式 cbxxy 2 2 4 点 1 0 3 0 1 5 在同一抛物线上 求这抛物线的解析式 5 抛物线与直线交于 A B 两点 已知 A 点横坐标为 1 B 点纵坐bxaxy 2 12 xy 标为 3 求抛物线的解析式 四 课堂检测 四 课堂检测 1 若点 2 1 在的图象上 则 12 2 xaxya A 1 B 0 5 C 0 5 D 2 2 抛物线与 Y 轴的交点坐标为 2 547yxx A 7 0 B 7 0 C 0 7 D 0 7 3 一个二次函数的图象经过点 1 3 1 3 2 6 三点 求它的解析式 4 五 拓展提高 五 拓展提高 如图 直线 AB 与 x 轴 y 轴分别交于点 A 8 0 B 0 4 线段 AB 的中垂线 CD 交 x 轴于 C 交 AB 于 D 求直线 AB 的解析式 求过 A B C 三点的抛物线解析式 抛物线有最大值还是最小值 是多少 此时 x 取多少 22 1 二次函数及其图象二次函数及其图象 模块模块 训练案训练案 NO 18 班级 姓名 小组 评价 1 下列函数中 是二次函数的是 A y 2x 22 B y C y 1 5x x2 D y 1 x 1 x x3 x x 2 2 1 2 二次函数 y 的二次项系数是 一次项系数是 常数项是 22 2 1 xx 3 若函数 y 是以为自变量的二次函数 则 xxm2 1 xm 4 若函数 y 是以为自变量的二次函数 则 43 122 2 xxmm mm xm 5 抛物线 y 的开口向 对称轴是 顶点坐标是 2 3 2 5x 当取值为 时 函数取得最 值是 x 6 函数 y 的图象可以看成是 y 的图象先向 平移 个单位后再向1 3 2 2 x 2 2x 平移 个单位得到的 也可看成是 y 的图象先向 平移 个单位后再 2 2x 向 平移 个单位得到的 Y X O D C B A 7 抛物线 y 的开口向 对称轴是 顶点坐标是 32 2 xx 8 抛物线的大致图象是 1 2 xy 9 如图是抛物线 y 的图象 则下列判断正确的是 cxax 2 A 0 B 0 C 0 D 0ca ca acac 10 二次函数 当 2 时的最大值 最小值12 2 xxy2 x 分别是 A 7 B 7 C D 7 01 2 1 2 11 一条抛物线 y 经过点 0 和 4 求抛物线的解析式及顶nmxx 2 4 1 2 3 2 3 点坐标 12 如图 抛物线 y x2与直线 y x 2 交于 A B 两点 求 ABO 的面积 13 如图二次函数 y x2 bx c 的图象与 x 轴相交于 A B 两点 与 y 轴的负半轴交于点 C 点 C 的坐标是 0 3 且 BO CO 1 求这个二次函数的解析式 2 设这个二次函 数的图象顶点为 M 求 AM 的长 14 如图 已知二次函数的图象的顶点坐标为 C 1 0 直线 y x m 与该二次函数的图象 交于 A B 两点 其中 A 点坐标为 3 4 B 点在 y 轴上 1 求 m 的值及这个二次函数的解 析式 2 P 为线段 AB 上的一动点 不与 A B 重合 过 P 作 x 轴的垂线与这个二次函 数的图象交于点 E 设线段 PE 的长为 h 点 P 的横坐标为 x 求 h 与 x 之间的函数关 系式 并写出自变量 x 的取值范围 22 2 用函数观点看一元二次方程 用函数观点看一元二次方程 1 导学案导学案 NO 19 班级 姓名 小组 评价 一 学习目标一 学习目标 1 知道二次函数与一元二次方程的密切关系 2 会利用二次函数的图象求一元二次方程的根 3 热情投入 丰厚收获 二 自主学习二 自主学习 1 阅读教材 问题 首先讨论函数解析式 h 5t2 20t 开口向下 函数有最大值 20m 无最小值 自变量 t 的取值范围是 t 0 其次 题目的四个问题都可看成知道 h 求 t 于是问题转化为解 一元二次方程 第三 方程的解一定要检验 看它是否合符实际情况 然后作出结论 阅读建议 每次得出方程的解后 应结合它的图象想一想 这个 解 代表实际情况中的 什么意思 2 归纳 解决 已知函数的解析式和函数值 求自变量的对应取值 这一类问题 可以看作 解一元二次方程 但方程的解要与实际情况作比较 反之 解一元二次方程 可看作 是求对应的二次函数取确定值时的自变量的取值 例如 已知二次函数 y x2 2x 3 的值 是 6 求 x 的值 读两遍 我们就可解方程 x2 2x 3 6 得出答案 而解方程 2x2 x 4 3 就可以看成是求二次函数 y 2x2 x 4 的自变量 x 取何值时函数值恰好是 3 由此可知 二次函数与一元二次方程 有密切关系 3 教材 17 页 思考 学习 首先作出函数图象供观察 其次 注意理解 图象与 x 轴有公共点吗 的意思 实际就是图象 与 x 轴有没有交点 这由图象很容易看出来 第三 把给出的 三 个函数的值为 0 解对应的方程 可以发现 方程根的情况恰好方程根的情况恰好 与与 函数图象和函数图象和 x 轴的交点个数相对应 轴的交点个数相对应 4 结论 一般地 从二次函数 y ax2 bx c 的图象可知 1 如果抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴有公共点 公共点的横坐标是 x0 那么当 x x0时 函数值是 因此 x x0就是方程 ax2 bx c 0 的一个根 2 二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴的位置关系有三种 1 2 3 这对应着一元二次 方程 ax2 bx c 0 的根的三种情况 1 2 3 反之 由一元二次方程的根的情况 可以确定相应的二次函数的图象与 x 轴的位置 关系 读两遍 5 练习 方程 x2 3x 2 0 的根是 说明函数 y x2 3x 2 与 x 轴有 个公共 点 公共点的坐标可记为 方程 x2 3x 4 0 的根的情况是 说明函数 y x2 3x 4 与 x 轴有 个公