【备战2013】高考数学专题讲座 第22讲 高频考点分析之立体几何探讨

1 备战备战 20132013 高考数学专题讲座高考数学专题讲座 第第 2222 讲 高频考点分析之立体几何探讨讲 高频考点分析之立体几何探讨 1 2 讲 我们对客观性试题解法进行了探讨 3 8 讲 对数学思想方法进行了探讨 9 12 讲对数 学解题方法进行了探讨 从第 13 讲开始我们对高频考点进行探讨 立体几何是高中数学的重要内容 立体几何试题是考查空间想象能力 逻辑思维能力和演绎推理能 力的基本载体近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主 热点问题主要有证明点线面的关系 考 查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角 突出空间想象能力 在 课程标准 中 立体几 何的内容和考查要求有了较大的变化 增加了三视图 更强调几何直观 几何证明有所削弱 淡化了距 离问题 因此 在复习中 以基本知识 基本方法为基础 以通性通法为重点 培养空间几何体的直观 认知能力和逻辑推理能力 一般来说 平面向量在高考中所占份量较大 结合 2012 年全国各地高考的实例 我们从以下五方面 探讨立体几何问题的求解 1 多面体及球体的概念 性质 计算 2 由三视图判别立体图形和表面积 体积的计算 3 关于线线 线面及面面平行的问题 4 关于线线 线面及面面垂直的问题 5 关于空间距离和空间角的问题 一一 多面体及球体的概念 性质 计算多面体及球体的概念 性质 计算 典型例题 典型例题 例例 1 1 20122012 年全国课标卷理年全国课标卷理 5 5 分 分 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上 SABC O 是边长为 的正三角形 为球的直径 且 则此棱锥的体积为 ABC 1SCO2SC A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 答案答案 A 考点考点 三棱锥的性质 解析解析 的外接圆的半径 点到面的距离 ABC 3 3 r OABC 22 6 3 dRr 又 为球的直径 点到面的距离为 SCOSABC 2 6 2 3 d 2 此棱锥的体积为 故选 1132 62 2 33436 ABC VSd A 例例 2 2 20122012 年全国课标卷文年全国课标卷文 5 5 分 分 平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1 球心 O 到平面 的距离为 则此球的体积为 2 A B 4 C 4 D 6 6363 答案答案 B 考点考点 点到平面的距离 勾股定理 球的体积公式 解析解析 由勾股定理可得球的半径为 从而根据球的体积公式可求得该球的体积为 3 故选 B 3 V 4 3 4 3 3 例例 3 3 20122012 年江西省理年江西省理 5 5 分 分 如下图 已知正四棱锥所有棱长都为 1 点是侧棱上一SABCD ESC 动点 过点垂直于的截面将正四棱锥分成上 下两部分 记截面下面部分的体ESC 01 SExx 积为则函数的图像大致为 V x yV x 答案答案 A 考点考点 棱锥的体积公式 线面垂直 函数的思想 解析解析 对于函数图象的识别问题 若函数的图象对应的解析式不好求时 作为选择题 可采 yf x 用定性排它法 观察图形可知 当时 随着的增大 单调递减 且递减的速度越来越快 不 1 0 2 x x V x 是的线性函数 可排除 C D 当时 随着的增大 单调递减 且递减的速度SEx 1 1 2 x x V x 3 越来越慢 可排除 B 只有 A 图象符合 故选 A 如求解具体的解析式 方法繁琐 而且计算复杂 很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽 弃 并且作为选择题也没有太多的时间去解答 我们也解答如下 连接AC BD 二者交于点O 连接SO 过点E作底面的垂线EH 当E为SC中点时 SB SD BC CD SE BE SE DE SE 面BDE 当时 截面为三角形EBD 截面下面部分锥体的底为 1 2 SEx BCD 又 SA SC 1 AC SO 此时 2 2 2 2 4 EH 1 122 1 3 2424 V x 当时 截面与AD和AB相交 分别交于点F D 1 0 2 SE x 设FG与AC相交于点I 则易得 1 3 BCDFG V xSEH 由EH SO 得 2 1 1 2 SExCEx SOCS 即 2 1 1 2 xEH 2 1 2 EHx 由EI SA 得 即 易知是等腰直角三1 2SExCSAC 12xAI 2AIx AFG 角形 即 22 2FGAIx 2 2 2 11 2 22 2 AFG SFG AIxxx 22 21112 1111 33 2 3 2 62 BCDFGABCDAFG V xSEHSSExxxxH 当时 截面与DC和BC相交 分别交于点M N 设MN 1 1 2 SE x 与AC相交于点J 则易得 1 3 CMN V xSEH 由EH SO 得 2 1 1 2 SExCEx SOCS 即 2 1 1 2 xEH 2 1 2 EHx 4 由EJ SA 得 即 易知1 1 2SExCEx CSAC 121CJx 12CJx 是等腰直角三角形 即 CMN 2 2 12MNCJx 2 2 22 11 11 22 2 1 CMN SMN CJxxx 23122 1121 323 V xxxx 综上所述 2 3 1 110 2 21 242 21 1 2 2 6 1 32 x x x x x x V x 结合微积分知识 可判定 A 正确 例例 4 4 20122012 年湖北省理年湖北省理 5 5 分 分 我国古代数学名著 九章算术 中 开立圆术 曰 置积尺数 以十六 乘之 九而一 所得开立方除之 即立圆径 开立圆术 相当于给出了已知球的体积V 求其直径d的 一个近似公式 人们还用过一些类似的近似公式 根据 3 14159 判断 下列近似公式 3 16 9 dV 中最精确的一个是 A B C D 3 16 9 dV 3 2dV 3 300 157 dV 3 21 11 dV 答案答案 D 考点考点 球的体积公式以及估算 解析解析 由球的体积公式得 由此得 对选项逐一验证 3 4 3 VR 3 3 4 V R 33 36 2 4 VV d 对于 A 有 即 3 16 9 dV 166 9 6 9 3 375 16 对于 B 有 即 3 2dV 6 2 6 3 2 对于 C 有 即 3 300 157 dV 3006 157 6 157 3 14 300 对于 D 有 即 3 21 11 dV 216 11 6 11 3 1429 21 5 中的数值最接近 故选 D 3 21 11 dV 3 6V 例例 5 5 20122012 年重庆市理年重庆市理 5 5 分 分 设四面体的六条棱的长分别为 1 1 1 1 和 且长为的棱与2aa 长为的棱异面 则的取值范围是 2a A B C D 0 2 0 3 1 2 1 3 答案答案 A 考点考点 异面直线的判定 棱锥的结构特征 勾股定理和余弦定理的应用 分析分析 如图所示 设四面体的棱长为 取中点 P 连接 所以ABCDACaBD AP CP 在中 由勾股定理得 APBD CPBD tRABP APCP 2 2 在中 ACP APCCPAPCPAPaAC cos2 2222 1cosAPC 0 APC cos 1 1 APC 2 0 2 a 故选 A 0 2 a 例例 6 6 20122012 年上海市理年上海市理 4 4 分 分 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2的半圆面 则该圆锥的体积为 答案答案 3 3 考点考点 空间几何体的体积公式和侧面展开图 解析解析 根据该圆锥的底面圆的半径为r 母线长为l 根据条件得到 2 2 1 2 l 解得母线长2 l 1 22 rlr 所以该圆锥的体积为 3 3 12 3 1 S 3 1 22 hV圆锥 例例 7 7 20122012 年上海市文年上海市文 4 4 分 分 一个高为 2 的圆柱 底面周长为 该圆柱的表面积为 2 答案答案 6 考点考点 圆柱的表面积 解析解析 根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为 所以该圆柱的表面积为 1 r 2 22426Slr 6 例例 9 9 20122012 年上海市理年上海市理 4 4 分 分 如图 与是四面体中互相垂直的棱 若ADBCABCD2BC 2ADc 且 其中 为常数 则四面体的体积的最大值是 2AB BDAC CDa acABCD 答案答案 1 3 2 22 cac 考点考点 四面体中线面的关系 椭圆的性质 解析解析 作于 连接 则BEAD ECE 平面 BCAD BEBCB ADBEC 又 平面 CE BECCEAD 由题设 与都在以为焦距的椭球上 且 都垂直 2AB BDAC CDa BCADBECE 于焦距所在直线 ADBECE 取中点 连接 BCFEF 2BC EFBC1BF 2 1EFBE 2 1 1 2 BEF SBC EFBE 四面体的体积 ABCD 2 12 1 33 BEC c VSADBE 显然 当在中点 即是短轴端点时 有最大值为 EADBBE 22 bac 22 max 2 1 3 c Vac 例例 10 10 20122012 年山东省理年山东省理 4 4 分 分 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 E F 分别为线段 AA1 B1C 上 的点 则三棱锥 D1 EDF 的体积为 7 答案答案 1 6 考点考点 三棱锥的面积 解析解析 三棱锥与三棱锥表示的是同一棱锥 1 DEDF 1 FD DE 11 DEDFF D DE VV 又 的底 DD1E 的面积是正方形面积的一半 等于 底 DD1E 上的高等于正方形的 1 FD DE 1 2 棱长 1 11 DEDFF D DE 111 1 32 VV 6 例例 11 11 20122012 年安徽省文年安徽省文 5 5 分 分 若四面体的三组对棱分别相等 即 ABCDABCD ACBD 则 写出所有正确结论编号 ADBC 四面体每组对棱相互垂直ABCD 四面体每个面的面积相等ABCD 从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于ABCD90 180 连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分ABCD 从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长ABCD 答案答案 考点考点 四面体的性质 解析解析 四面体每组对棱不相互垂直 命题错误 ABCD 四面体每个面是全等三角形 面积相等 命题正确 ABCD 从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于 命题错误 ABCD180 连接四面体每组对棱中点构成菱形 线段互垂直平分 命题正确 ABCD 例例 12 12 20122012 年辽宁省文年辽宁省文 5 5 分 分 已知点是球O表面上的点 PA 平面ABCD 四边形PABCD ABCD是边长为 2正方形 若 则 OAB的面积为 32 6PA 答案答案 3 3 考点考点 组合体的的位置关系 转化思想的应用 8 解析解析 点是球O表面上的点 PA 平面ABCD PABCD 点为球O内接长方体的顶点 球心O为长方体对角线的中点 PABCD OAB的面积是该长方体对角面面积的 1 4 2 3 2 6ABPA 6PB 1 2 36 3 3 4 OAB S 例例 13 13 20122012 年江苏省年江苏省 5 5 分 分 如图 在长方体中 则四棱 1111 ABCDABC D 3cmABAD 1 2cmAA 锥的体积为 cm3 11 ABB D D 答案答案 6 考点考点 正方形的性质 棱锥的体积 解析解析 长方体底面是正方形 中 cm 边上的高是cm 它也是ABCDABD 3 2BDBD 3 2 2 中上的高 11 ABB D D 11 BB D D 四棱锥的体积为 11 ABB D D 13 3 222 6 32 二二 由由三视图判别立体图形三视图判别立体图形和表面积 体积的计算和表面积 体积的计算 典型例题 典型例题 例例 1 1 20122012 年全国课标卷理年全国课标卷理 5 5 分 分 如图 网格纸上小正方形的边长为 粗线画出的是1 某几何体的三视图 则此几何体的体积为 9 A6 B9 C D 答案答案 B 考点考点 由三视图判断几何体 解析解析 由三视图可知 该几何体是三棱锥 底面是俯视图 高为 因此此几何体的体积为 3 故选 11 6 3 39 32 V B 例例 2 2 20122012 年北京市理年北京市理 5 5 分 分 某三梭锥的三视图如图所示 该三梭锥的表面积是 A B C D 286 5 306 5 5612 5 6012 5 答案答案 B 考点考点 三棱锥的三视图问题 解析解析 如下图所示 图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度 黑色数字代表通 过勾股定理的计算得到的边长 本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和 利用垂直关系 等腰三 角形的性质和三角形面积公式 可得 1 S 234 10 2 22 111 S 234 10S 4 5 10S 2 5415 6 5 222 这里有两个直角三角形 一个等腰三角形 该三梭锥的表面积是 故选 B 306 5 10 例例 3 3 20122012 年广东省理年广东省理 5 5 分 分 某几何体的三视图如图所示 它的体积为 A 12 B 45 C 57 D 81 答案答案 C 考点考点 由三视图求体积 解析解析 由三视图可知 此组合体上部是一个母线长为 5 底面圆半径 是 3 的圆锥 下部是一个高为 5 底面半径是 3 的圆柱 几何体的直观 图如图所示 圆锥的高 22 1 534PO 几何体的体积 1 959457 3 VVVppp 圆柱圆锥 故选 C 例例 4 4 20122012 年广东省文年广东省文 5 5 分 分 某几何体的三视图如图所示 它的体积为 A B C D 72 48 30 24 答案答案 C 考点考点 由三视图求体积 解析解析 由图知 该几何体是圆锥和半球体的组合体 球的半径是 3 圆锥底面圆的半径是 3 圆锥母线 11 长为 5 由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为 4 则它的体积 故选 C 23 11 4 34330 32 3 VVV 圆锥 例例 5 5 20122012 年江西省文年江西省文 5 5 分 分 若一个几何体的三视图如图所示 则此几何体的体积为 A B 5 C 4 D 11 2 9 2 答案答案 C 考点考点 由三视图求面积 体积 解析解析 根据三视图判断此几何体为直六棱柱 再分别计算棱柱的底面积和高 最后由棱柱的体积计算 公式求得结果 由图可知 此几何体为直六棱柱 底面六边形可看做两个全等的等腰梯形 上底边为 1 下底边 为 3 高为 1 棱柱的底面积为 棱柱的高为 1 2131 4 2 例例 6 6 20122012 年浙江省文年浙江省文 5 5 分 分 已知某三棱锥的三视图 单位 cm 如图所示 则该三棱锥的体积是 A 1cm3 B 2cm3 C 3cm3 D 6cm3 答案答案 C 考点考点 三棱锥的三视图 解析解析 由题意判断出 底面是一个直角三角形 两个直角边分别为 1 和 2 整个棱锥的高由侧视图可得 12 为 3 所以三棱锥的体积为 故选 C 11 1 2 31 32 例例 7 7 20122012 年湖北省理年湖北省理 5 5 分 分 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A B C D 8 3 3 10 3 6 答案答案 B 考点考点 由何体的三视图求体积 解析解析 此几何体为一个圆柱切去了一部分 此圆柱底面半径为 1 高为 4 现在此几何体上方补上一 个和此几何体完全一样的几何体 从而构成一个底面半径为 1 高为 6 的圆柱 这个圆柱的体积为 要求几何体的体积为圆柱体积的一半 为 故选 B 6V 例例 8 8 20122012 年湖南省理年湖南省理 5 5 分 分 某几何体的正视图和侧视图均如图所示 则该几何体的俯视图不可能是 答案答案 D 考点考点 组合体的三视图 解析解析 由几何体的正视图和侧视图均如图所示知 原图下面图为圆柱或直四棱柱 上 面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱 都可能是该几何体的俯视图 不可能是该几何体的俯视图 因为它的正视图上面应为如图的矩形 故选 D 13 例例 9 9 20122012 年福建省理年福建省理 5 5 分 分 一个几何体的三视图形状都相同大小均相等 那么这个几何体不可以是 A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 答案答案 D 考点考点 简单几何体的三视图 解析解析 球的三视图大小形状相同 三棱锥的三视图也可能相同 正方体三种视图也相同 只有圆柱不 同 故选 D 例例 10 10 20122012 年陕西省文年陕西省文 5 5 分 分 将正方形 如图 1 所示 截去两个三棱锥 得到图 2 所示的几何体 则 该几何体的左视图为 A B C D 答案答案 B 考点考点 空间图像的直观图与三视图 解析解析 因为从左面垂直光线在竖直平面上的正投影是正方形 其中的正投影是正方形右斜的对角 1 D A 线 实线 的正投影是正方形左斜的对角线 被遮住是虚线 故选 B 1 BC 例例 11 11 20122012 年天津市理年天津市理 5 5 分 分 个几何体的三视图如图所示 单位 则该几何体的体积为 m 3 m 答案答案 18 9 考点考点 简单组合体的三视图的画法与体积的计算 分析分析 由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体 所以其体积为 14 3 43 3 6 1 2 32 V 18 9 3 m 例例 12 12 20122012 年天津市文年天津市文 5 5 分 分 一个几何体的三视图如图所示 单位 则该几何体的体积 m 3 m 答案答案 30 考点考点 由三视图求几何体的体积 分析分析 由三视图可知这是一个下面是个长方体 上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体 长方体的体 积为 五棱柱的体积是 所以几何体的总体积为 24243 641 2 21 30 例例 13 13 20122012 年安徽省理年安徽省理 5 5 分 分 某几何体的三视图如图所示 该几何体的表面积是 来 答案答案 92 考点考点 由三视图判断几何体 解析解析 由三视图可知 该几何体是底面是直角梯形 高为的直四棱柱 4 几何体的表面积是 22 1 2 25 4 2544 52 492 2 S 例例 14 14 20122012 年安徽省文年安徽省文 5 5 分 分 某几何体的三视图如图所示 该几何体的体积是 15 答案答案 56 考点考点 由三视图判断几何体 解析解析 由三视图可知 该几何体是底面是直角梯形 高为的直四棱柱 4 几何体的的体积是 1 25 4 456 2 V 例例 15 15 20122012 年浙江省理年浙江省理 4 4 分 分 已知某三棱锥的三视图 单位 如图所示 则该三棱锥的体积等cm 于 3 cm 答案答案 1 考点考点 由三棱锥的三视图求体积 解析解析 观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形 右侧面也是一直角三角形 故体积等于 11 3 1 21 23 3 cm 例例 16 16 20122012 年湖北省文年湖北省文 5 5 分 分 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 16 答案答案 12 考点考点 由几何体的三视图求体积 解析解析 由三视图可知 该几何体是由左右两个相同的圆柱 底面圆半径为 2 高为 1 与中间一个圆柱 底面圆半径为 1 高为 4 组合而成 故该几何体的体积是 22 21 21412V 例例 17 17 20122012 年辽宁省理年辽宁省理 5 5 分 分 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 答案答案 38 考点考点 由几何体的三视图求面积 解析解析 由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱 其中长方体的长 宽 高 分 别为 4 3 1 圆柱的底面直径为 2 所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆 柱的底面积 即为 2 3 44 1 3 1 21 1238 例例 18 18 20122012 年辽宁省文年辽宁省文 5 5 分 分 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 17 答案答案 12 考点考点 由几何体的三视图求体积 解析解析 由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体 其中长方体的长 宽 高分 别为 4 3 1 圆柱的底面直径为 2 高位 1 所以该几何体的体积为 3 4 11 112 三三 关于线线 线面及面面平行的问题关于线线 线面及面面平行的问题 典型例题 典型例题 例例 1 1 20122012 年四川省文年四川省文 5 5 分 分 下列命题正确的是 A 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 C 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 答案答案 C 考点考点 立体几何的线 面位置关系及线面的判定和性质 解析解析 若两条直线和同一平面所成角相等 这两条直线可能平行 也可能为异面直线 也可能相交 所以 A 错 一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 故 B 错 若 两个平面垂直同一个平面两平面可以平行 也可以垂直 故 D 错 故选项 C 正确 故选 C 例例 2 2 20122012 年浙江省文年浙江省文 5 5 分 分 设 是直线 是两个不同的平面 l A 若 则 a B 若 则 llll C 若 则 D 若 则 llll 答案答案 B 考点考点 线面平行 线面垂直 面面平行 面面垂直的判定和性质 解析解析 利用面面垂直的判定定理可证明 B 是正确的 对于其它选项 可利用举反例法证明其是错误命 题 A 若 则满足题意的两平面可能相交 排除 A ll B 若 则在平面 内存在一条直线垂直于平面 从而两平面垂直 故 B 正ll 18 确 C 若 则 可能在平面 内 排除 C ll D 若 则 可能与 平行 相交 排除 D ll 故选 B 例例 3 3 20122012 年山东省文年山东省文 1212 分 分 如图 几何体 E ABCD 是四棱锥 ABD 为正三角形 CB CD EC BD 求证 BE DE 若 BCD 1200 M 为线段 AE 的中点 求证 DM 平面 BEC 答案答案 解 证明 取 BD 中点为 O 连接 OC OE BC CD CO BD 又 EC BD CO EC C BD 平面 OCE 又 OE平面 OCE BD OE 即 OE 是 BD 的垂直平分线 BE DE 取 AB 中点 N 连接 MN DN M 是 AE 的中点 MN BE ABD 是等边三角形 DN AB ABD 60 BCD 120 BC CD CBD 30 ABC 60 30 90 即 BC AB ND BC 又 MN ND N BE BC B 平面 MND 平面 BEC 又 DM平面 MND DM 平面 BEC 考点考点 线面垂直和平行的证明 线段垂直平分线的判定和性质 等边三 角形的性质 解析解析 要证 BE DE 只要证点 E 是 BD 垂直平分线上的点即可 故取 BD 中点为 O 连接 OC OE 由 已知证明 BD OE 即可 要证 DM 平面 BEC 只要证明 DM 在一个平行于平面 BEC 的另一个平面上 故取 AB 中点 N 连接 MN DN 证明平面 MND 平面 BEC 即可 19 例例 4 4 20122012 年福建省理年福建省理 1313 分 分 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AA1 AD 1 E为CD中点 I 求证 B1E AD1 II 在棱AA1上是否存在一点P 使得DP 平面B1AE 若存在 求AP的长 若不存在 说明理由 III 若二面角A B1E A1的大小为 30 求AB的长 答案答案 解 I 如图 以A为原点 的方向分别为x轴 AB AD AA1 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系 设AB a 则A 0 0 0 D 0 1 0 D1 0 1 1 E B1 a 0 1 a 2 1 0 1 0 1 1 a 0 1 AD B1E a 2 1 1 AB1 AE a 2 1 0 0 1 1 1 1 0 B1E AD1 AD1 B1E a 2 II 假设在棱AA1上存在一点P 0 0 z0 使得DP 平面B1AE 此时 0 1 z0 DP 又设平面B1AE的法向量n n x y z n n 平面B1AE n n n n 得Error AB1 AE 取x 1 得平面B1AE的一个法向量n n 1 a 2 a 要使DP 平面B1AE 只要n n 即 az0 0 解得z0 DP a 2 1 2 又DP 平面B1AE 存在点P 满足DP 平面B1AE 此时AP 1 2 III 连接A1D B1C 由长方体ABCD A1B1C1D1及AA1 AD 1 得AD1 A1D B1C A1D AD1 B1C 又由 I 知B1E AD1 且B1C B1E B1 AD1 平面DCB1A1 20 是平面A1B1E的一个法向量 此时 0 1 1 AD1 AD1 设与n n所成的角为 则 cos AD1 n n AD1 n n AD1 2 2 2 2 1 4 a a a a 二面角A B1E A1的大小为 30 cos cos30 即 解得 2 即AB的长为 2 2 3 2 5 2 1 4 a a 3 2 a 考点考点 用空间向量求平面间的夹角 空间中直线与直线之间的位置关系 直线与平面平行的判定 解析解析 由题意及所给的图形 以A为原点 的方向分别为x轴 y轴 z轴的正方向建 AB AD AA1 立空间直角坐标系 设AB a 给出图形中各点的坐标 可求出向量 1和 的坐标 验证其数量积为 AD B1E 0 即可证出两线段垂直 II 由题意 可先假设在棱AA1上存在一点P 0 0 z0 使得DP 平面B1AE 求出平面B1AE 法向量 可法向量与直线DP的方向向量内积为 0 由此方程解出z0的值 若能解出 则说明存在 若不 存在符合条件的z0的值 说明不存在这样的点P满足题意 III 由题设条件 可求面夹二面角的两个平面的法向量 利用两平面的夹角为 30 建立关于 的方程 解出的值即可得出AB的长 aa 例例 5 5 20122012 年辽宁省文年辽宁省文 1212 分 分 如图 直三棱柱 ABCA B C 90BAC 2 ABAC 1 点M N分别为和的中点 A A A B B C 证明 平面 MN A ACC 求三棱锥的体积 AMNC 椎体体积公式 其中为底面面积 为高 1 3 VSh Sh 21 答案答案 解 I 证明 连接 ABAC 90BAC ABAC 三棱柱为直三棱柱 ABCA B C M为中点 AB 又 N为的中点 MN AC B C 又 平面 MN 平面 MN A ACC A ACC 连接 BN 由题意得 平面平面 A NB C A B C B BCCB C 平面 A N NBC 又 1 2 A NB C 111 1 11 2 1 1 222 3 26 AMNCNA NCNA BCANBC VVVV 考点考点 与二面角有关的立体几何综合题 直线与平面平行的判定 棱锥体积的计算 转化思想的应用 解析解析 I 连接 说明三棱柱为直三棱柱 ABAC ABCA B C 22 推出MN AC 然后证明MN 平面 A ACC 另解 取A B 的中点P 连接MP NP M N分别为AB B C 的中点 MP AA NP A C MP 平面A ACC PN 平面A ACC 又 MP NP P 平面MPN 平面A ACC 又 MN 平面MPN MN 平面A ACC 连接 BN 由可求 11 22 AMNCNA NCNA BCANBC VVVV 例例 6 6 20122012 年江苏省年江苏省 1414 分 分 如图 在直三棱柱中 分别是棱 111 ABCABC 1111 ABAC DE 上的点 点 不同于点 且为的中点 1 BCCC DCADDEF 11 BC 求证 1 平面平面 ADE 11 BCC B 2 直线平面 1 AFADE 答案答案 证明 1 是直三棱柱 平面 111 ABCABC 1 CC ABC 又 平面 AD ABC 1 CCAD 又 平面 平面 1 ADDECCDE 111 BCC BCCDEE AD 11 BCC B 又 平面 平面平面 AD ADEADE 11 BCC B 2 为的中点 1111 ABAC F 11 BC 111 AFBC 又 平面 且平面 1 CC 111 ABC 1 AF 111 ABC 11 CCAF 又 平面 平面 111 CCBC 11 BCC B 1111 CCBCC 1 AF 111 ABC 由 1 知 平面 AD 11 BCC B 1 AFAD 23 又 平面平面 直线平面AD 1 ADEAF ADE 1 AFADE 考点考点 直线与平面 平面与平面的位置关系 解析解析 1 要证平面平面 只要证平面上的平面即可 它可由已知ADE 11 BCC BADEAD 11 BCC B 是直三棱柱和证得 111 ABCABC ADDE 2 要证直线平面 只要证 平面上的即可 1 AFADE 1 AFADEAD 四四 关于线线 线面及面面垂直的问题关于线线 线面及面面垂直的问题 典型例题 典型例题 例例 1 1 20122012 年浙江省理年浙江省理 5 5 分 分 已知矩形 将沿矩ABCD1AB 2BC ABD 形的对角线所在的直线进行翻折 在翻折过程中 BD A 存在某个位置 使得直线与直线垂直ACBD B 存在某个位置 使得直线与直线垂直ABCD C 存在某个位置 使得直线与直线垂直ADBC D 对任意位置 三对直线 与 与 与 均不垂直ACBDABCDADBC 答案答案 B 考点考点 空间中直线与直线之间的位置关系 解析解析 如图 依题意 AEBDCFBD1AB 2BC AECF 6 3 3 3 BEEFFD A 若存在某个位置 使得直线与直线垂直 则 平面 从ACBDBDAEBDAEC 而 这与已知矛盾 排除 A BDEC B 若存在某个位置 使得直线与直线垂直 则 平面 平面 平面ABCDCDABCABC 取中点 连接 则 就是二面角的平面角 此角BCDBCMMEMEBDAEMABDC 显然存在 即当在底面上的射影位于的中点时 直线与直线垂直 故 B 正确 ABCABCD C 若存在某个位置 使得直线与直线垂直 则 平面 从而平面 平ADBCBCACDACD 面 即在底面上的射影应位于线段上 这是不可能的 排除 C BCDABCDCD D 由上所述 可排除 D 故选 B 24 例例 2 2 20122012 年全国课标卷文年全国课标卷文 1212 分 分 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱垂直底面 ACB 90 AC BC AA1 D 是棱 AA1的中点 1 2 证明 平面 BDC1 平面 BDC 平面 BDC1分此棱柱为两部分 求这两部分体积的比 答案答案 解 证明 由题设 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱垂直底面 ACB 90 BC CC1 BC AC CC1AC C BC 平面 ACC1A1 又 DC1平面 ACC1A1 DC1 BC 由题设 AC BC AA1 D 是棱 AA1的中点 1 2 A1DC1 ADC 450 CDC 900 即 DC1 DC 又 DCBC C DC1 平面 BDC 又 DC1平面 BDC1 平面 BDC1 平面 BDC 设棱锥 B DACC1的体积为 V1 则 ACa 3 1 12 a11 Vaaa 322 又 三棱柱 ABC A1B1C1的体积 3 1 Vaa2aa 2 11 VVV1 1 平面 BDC1分此棱柱为两部分体积的比为 1 1 25 考点考点 直三棱柱的性质 平面和平面的位置关系 棱柱和棱锥的体积 解析解析 要证明平面 BDC1 平面 BDC 只要证一个平面的一条直线垂直于另一个平面即可 由由题设 可证得 DC1 BC DC1 DC 由 DCBC C 得 DC1 平面 BDC 而 DC1平面 BDC1 因此平面 BDC1 平面 BDC 求出三棱柱 ABC A1B1C1的体积和棱锥 B DACC1的体积即可求得结果 例例 3 3 20122012 年北京市理年北京市理 1414 分 分 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 BC 3 AC 6 D E 分别是 AC AB 上的点 且 DE BC DE 2 将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置 使 A1C CD 如图 2 1 求证 A1C 平面 BCDE 2 若 M 是 A1D 的中点 求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小 3 线段 BC 上是否存在点 P 使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 说明理由 答案答案 解 1 CD DE A1E DE DE 平面 A1CD 又 A1C平面 A1CD A1C DE 又 A1C CD A1C 平面 BCDE 2 如图建立空间直角坐标系 则Cxyz B 0 3 0 C 0 0 0 D 2 0 0 E 2 2 0 A1 0 0 2 3 1 A B0 32 3 BE21 0 设平面 A1BE 法向量为 n xyz 则 即 1 A B n 0 BE n 0 3y2 3z 0 2xy 0 3 z y 2 1 x y 2 n 123 26 又 M 是 A1D 的中点 M 1 0 3 CM1 03 设 CM 与平面 A1BE 法向量所成角为 则 CM n1 032 cos 21431 3 CMn 0 45 CM 与平面 A1BE 所成角为 000 9045 45 3 设线段 BC 上点 P 设 P 点坐标为 则 0p0 p0 3 则 1 A P0 p2 3 DP2 0P 设平面 A1DP 法向量为 1 111 n xyz 则 11 11 py2 3z 0 2xpy 0 11 11 3 z py 6 1 x py 2 1n 3p 63p 假设平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 则 即 1n n 0 解得 与不符 3p123p 0 p 2 p0 3 线段 BC 上不存在点 P 使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 考点考点 线面垂直的判定 线面角的计算 两平面垂直的条件 解析解析 1 根据线面垂直的判定进行判定 2 建立空间直角坐标系可易解决 3 用反证法 假设平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 得出与已知相矛盾的结论即可 例例 4 4 20122012 年北京市文年北京市文 1414 分 分 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 D E 分别为 AC AB 的中点 点 F 为线段 CD 上的一点 将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置 使 A1F CD 如图 2 27 1 求证 DE 平面 A1CB 2 求证 A1F BE 3 线段 A1B 上是否存在点 Q 使 A1C 平面 DEQ 说明理由 答案答案 解 1 证明 在图 1 Rt ABC 中 C 90 D E 分别为 AC AB 的中点 DE BC 在图 2 中 DE平面 A1CB DE 平面 A1CB 2 证明 DE A1D DE CD A1D CD D DE 平面 A1CD A1F平面 A1CB DE A1F 又 A1F CD CD DE D CD平面 BEDC DE平面 BEDC A1F 平面 BEDC 又 BE平面 BEDC A1F BE 3 线段 A1B 上存在点 Q 使 A1C 平面 DEQ 点 Q 为 A1B 的中点 理由如下 取 A1C 中点 P 连接 DP QP PDCB DECB PDDE 1 2 1 2 DEQP 是平行四边形 D E Q P 四点共面 由 2 知 DE 平面 A1CD 又 A1C平面 A1CD DE A1C P Q 是 A1B 和 A1C 的中点 PQ CB DE PQ A1C 又 AD CD A1P CP PD A1C 又 PQ PD P A1C 平面 PQD 即 A1C 平面 DEQ 考点考点 线面平行 线线垂直 线面垂直的判定 三角形中位线的性质 平行四边形的判定和性质 解析解析 1 由线面平行的判定理直接证出 2 要证两异面直线垂直 就要证一条直线垂直于另一条直线所在的平面 因此考虑证明 A1F 平面 BEDC 即可 3 在线段 A1B 上找出使 A1C 平面 DEQ 的点 Q 进行证明 例例 5 5 20122012 年安徽省文年安徽省文 1212 分 分 如图 长方体中 底面是正方形 是 1111 DCBAABCD 1111 DCBAO 的中点 是棱上任意一点 BDE 1 AA 证明 BD 1 EC 如果 2 求 的长 ABAE2 1 ECOE 1 AA 28 答案答案 解 I 连接 AC 共面 1 AECC 1 E A C C 长方体中 底面是正方形 1111 DCBAABCD 1111 DCBA ACBD EABD ACEAA 面 BD 1 EACC 1 BDEC 连接 11 AC 在矩形中 11 ACC A 1 OEEC 11 OAEEAC 11 1 ACAE AOEA 解得 1 22 22 2 AA 1 3 2AA 考点考点 两直线的位置 相似三角形的判定和性质 解析解析 I 要证 只要面即可 一方面 由正方形的性质有 另 1 BDEC BD 1 EACCACBD 一方面由长方体的性质有 且和是相交的 从而面 EABD ACEABD 1 EACC 由 根据角的转换可知 从而根据相似三角形的性质可由对 1 OEEC 11 OAEEAC 应边比求出 的长 1 AA 例例 6 6 20122012 年广东省文年广东省文 1313 分 分 如图所示 在四棱锥P ABCD中 AB平面PAD AB CD PD AD E是 29 PB的中点 F是DC上的点且DF AB PH为PAD中AD边上的高 2 1 1 证明 PH平面ABCD 2 若PH 1 AD FC 1 求三棱锥E BCF的体积 2 3 证明 EF平面PAB 答案答案 解 1 证明 平面 平面 AB PADPH PADPHAB 为 中边上的高 PHPADADPHAD 平面 ABADA PH ABCD 2 连接 取中点 连接 BHBHGEG 是的中点 EPB EGPH 平面 平面 PH ABCDEG ABCD 11 22 EGPH 11 1 33 2 E BCFBCF VSEGFC AD EG 2 12 3 证明 取中点 连接 PAMMDME 是的中点 EPB 1 2 MEAB 1 2 DFAB MEDF 四边形是平行四边形 MEDF EFMD PDAD MDPA 30 平面 平面 AB PADMD PADMDAB 平面 PAABA MD PAB 平面 EF PAB 考点考点 空间线线 线面的平行和垂直 三棱锥的体积 解析解析 1 证明垂直于平面内的两条相交直线和即可 PHABCDABAD 2 连接 取中点 连接 则由三角形中位线定理和 1 平面 BHBHGEGPH ABCD 可得三棱锥E BCF底面上的高 从而三棱锥E BCF的体积可求 11 22 EGPH 3 取中点 连接 一方面由三角形中位线定理可得四边形是平行PAMMDMEMEDF 四边形 即 另一方面 由垂直于平面的两条相交直线和可证明平 EFMDMDPABPAABMD 面 从而可得平面 PABEF PAB 例例 7 7 20122012 年江西省文年江西省文 1212 分 分 如图 在梯形ABCD中 AB CD E F是线段AB上的两点 且 DE AB CF AB AB 12 AD 5 BC 4 DE 4 现将 ADE CFB分别沿DE CF折起 使A B两点2 重合与点G 得到多面体CDEFG 1 求证 平面DEG 平面CFG 2 求多面体CDEFG的体积 答案答案 解 1 证明 在平面图中 AB CD DE EF CF EF 四边形CDEF为矩形 DE AB AD 5 DE 4 BC 4 AE 3 BF 4 2 AB 12 EF 5 将 ADE CFB分别沿DE CF折起 使A B两点重合与点G 得到多面体CDEFG GE AE 3 GF BF 4 在 EFG中 有 EG GF 222 EFGEGF 又 CF EF CF FG EF FG F CF 平面EFG 又 EG平面EFG CF EG EG 平面CFG 即平面DEG 平面CFG 2 在平面EGF中 过点G作GH EF于H 31 则 12 5 EG GF GH EF 平面CDEF 平面EFG GH 平面CDEF 1112 4 516 335 CDEFGCDEF VSGH 考点考点 平面与平面垂直的判定 棱锥的体积 解析解析 1 判断四边形CDEF为矩形 然后证明EG GF 推出CF EG 然后证明平面DEG 平面CFG 2 在平面EGF中 过点G作GH EF于H 求出GH 说明GH 平面CDEF 利用 CDEFG V 求出体积 1 3 CDEF SGH 例例 8 8 20122012 年浙江省文年浙江省文 1515 分 分 如图 在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD A1B1C1D1中 AD BC AD AB AB AD 2 BC 4 AA1 2 E是DD1的中点 F是平面B1C1E与直线AA1的交点 2 1 证明 i EF A1D1 ii BA1 平面B1C1EF 2 求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值 答案答案 1 证明 i 平面ADD1 A1 平面ADD1 A1 1111 C BAD 11 C B 11 C B 又 平面平面ADD1 A1 11 BC EF EF 11 C BEF 又 1111 C BAD 11 ADEF ii 11111111111 BBABC DBCABC D 111 BBBC 又 111111111 BCB AB AB BB 1111 BCABB A 又 111 BAABB A 111 BABC 由 i E是DD1的中点 11 ADEF F是AA1的中点 32 111 2 tantan 2 AB FAAB 即 111 AB FAAB 11 BAB F 又 平面 111 BCB FB 1 BA 11 BC EF 2 设与交点为H 连结 1 BA 1 B F 1 C H 由 1 知 11 BCEF 是与平面所成的角 1 BC H 1 BC 11 BC EF 如图 在矩形中 11 ABB A2AB 1 2AA 由勾股定理得 1 6AB 又 1 2BB 由 Rt Rt 得 即 1 ABA 1 HBB 11 1 A AAB BHBB 26 2BH 4 6 BH 又由 得 1 2BB 4BC 1 2 5BC 在 Rt 中 1 BHC 1 2 5BC 4 6 BH 1 1 30 sin 15 BH BC H BC 所以 BC 与平面所成角的正弦值是 11 BC EF 30 15 考点考点 四棱锥中线线平行 线面垂直和线面角证明和的计算 平面几何知识 解析解析 1 i 根据一直线平行于两相交平面 则这条直线平行于两平面的交线即可得 ii 证明BA1垂直于平面B1C1EF中的两条相交直线和即可 11 BC 1 B F 2 设与交点为H 连结