2012届高中数学 1.1.2从函数视角研究数列素材 北师大版必修5

1 1 1 21 1 2 从函数视角研究数列从函数视角研究数列 沪教版高二年级第一学期课本中第 6 页写道 从函数的观点看 数列可以看成是以正整数 集 或其子集 为定义域的函数 数列是一个定义在正整数集 或其子集 上的特殊函数 从这个意义上看 它丰富了学生所接触的函数概念的范围 引导学生利用函数去研究数列问 题 能使解数列的问题更有新意和综合性 更能有效地培养学生的思维品质和创新意识 因 此我们在解决数列问题时 应充分利用函数的有关知识 以函数的概念 图像 性质为纽带 架起函数与数列之间的桥梁 揭示它们之间的内在联系 从而有效地解决数列问题 一 一 数列通项公式 求和公式与函数关系数列通项公式 求和公式与函数关系 通过对数列中的通项公式以及前 n 项和公式等这些特殊的函数关系的概念理解与分析 引导 学生充分认识 和 n 的对应关系 从而利用概念 鼓励学生主动探究 挖掘出数列通 项公式 求和公式与函数的内在联系 使学生知识系统化 培养学生数学整体意识 用联系 发展的眼光学习数学 在教学实践过程中 通过学生的自主学习 发挥他们的主体作用 归 纳出数列通项公式 求和公式与函数对应关系如下 数列通项公式对应函数 等差数列 时为一次函数 等比数列 指数型函数 数列前 n 项和公式对应函数 等差数列 时为二次函数 等比数列 指数型函数 我们用函数的观点揭开了数列神秘的 面纱 将数列的通项公式以及前 n 项和看成是关于 n 的函数 为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示 例例 1 1 等差数列中 则 2 分析 因为是等差数列 所以是关于 n 的一次函数 一 次函数图像是一条直线 则 n m m n m n 三点共线 所以利用每两点形成直 线斜率相等 即 得 0 图像如下 这里利用等差数列通项公 式与一次函数的对应关系 并结合图像 直观 简洁 例例 2 2 等差数列中 前 n 项和为 若 n 为 何值时最大 分析 等差数列前 n 项和可以看成关于 n 的二次函数 是抛物线 上的离散点 根据题意 则因为欲求最大值 故其对应二次函数图像开口向下 并且对称轴为 即当时 最大 例例 3 3 等差数列和等比数列首项均为 1 且公差不等于 1 公比 则 集合 n an 一定含有元素 3 分析 等差数列 由于首项为 1 即 所以它的图像是必 过 1 1 的一条直线 而等比数列首项为 1 公比为 q 故 它表示指数函数图像向右平移一个单位得到 必过 1 1 所以此集合中必定 含有元素 1 1 二 构建函数 揭示数列本质二 构建函数 揭示数列本质 新课程倡导学生积极主动 勇于探索的学习方法 而学会构建函数 一方面体现了学生在学 习过程中的体验 思考与参与 另一方面也培养了学生的思维品质和创新意识 在构建函数 之后 我们需要利用函数的概念和性质来解决问题 函数基本性质包括了奇偶性 单调性 周期性 最值性等等 在数列学习中渗透函数思想 不仅可以进一步巩固函数知识 而且可 以拓宽学生解决数列问题的视野 1 1 构造具体函数 成功构造具体函数 成功 转化转化 例例 4 4 递增数列 对任意正整数 n 恒成立 求 分析 构造一次函数 由数列递增得到 对于一切恒成立 即恒成立 所以对一切恒成立 设 则只需求出的最大值即可 显然有最大值 所以的取值范围是 构造二次函数 看成函数 它的定义 域是 因为是递增数列 即函数为递增函数 单调增区间 4 为 抛物线对称轴 因为函数 f x 为离散函数 要函数单调递增 就看动轴 与已知区间的位置 从对应图像上看 对称轴在的左侧也可以 如图 因 为此时 B 点比 A 点高 于是 得 例例 5 5 数列通项 前 30 项中最大项和最小项分别是 C A B C D 分析 构造特殊函数 将数列通项整理 脱去外衣 分离常数 得 该函数图象是经过坐标轴平移后的反比例函数图像 如图 根据函数图像特点 判断出答案应选 C 2 2 构造抽象函数 成功构造抽象函数 成功 突围突围 例例 6 6 已知数列 满足 则 分析 因为不清楚数列的具体类型 所以仅仅利用数列的知识不容易解决 而此时我们从函 数视角去考虑 就容易联想到函数的周期性 令 则 那么函数满足 则 得 则 即函数周期为 12 5 0 所以 3 3 数列应用题中构造函数 成功 数列应用题中构造函数 成功 解决解决 数列知识本身就是来源于实际问题 又被广泛应用于实际问题 带有情境的数列问题 不仅 可以考察学生的综合能力 而且可以考察学生解决实际问题的能力 例例 6 6 在一次人才招聘会上 A B 两家公司分别开出它们的工资标准 A 公司允诺第一年月 工资为 1500 元 以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元 B 公司允诺第一年月工资为 2000 元 以后每年月工资在上一年的基础上递增 5 设某人年初被 A B 两家公司同时录用 试问 该人在 A 公司工作比在 B 公司工作的月工资最多时可高出多少元 精确到 1 元 分析 由题意可知 此人在 A B 两公司工作的第 n 年月工资数分别为 其中 问题是该人在 A 公司比在 B 公司工资每月高出部分的最大值 故需要比较和 可设 所以问题转化为研究函数最大值 因为当时 即 所以当时 单调递增 而当时 单调递减 因而当时 有最大值 计算器算出 6 故此人在 A 公司工作比在 B 公司工作的月工资最多时可高出 827 元 通过对以上实例的研究和分析 笔者发现 数列作为离散函数的典型代表之一 不仅在高中 数学中具有重要位置 而且 在现实生活中有着非常广泛的作用 因此 在教学实践过程中 教师应创设恰当的情境 让学生在这个情境中自觉领会和发现知识的形成过程 在感悟的过 程中深刻体会其