山东省济宁市梁山一中高中数学《4.2.1直线与圆的位置关系》学案 新人教A版必修2

1 4 2 14 2 1 直线与圆的位置关系学案直线与圆的位置关系学案 一 学习目标 一 学习目标 能根据给定直线 圆的方程 判断直线与圆的位置关系 能用直线和 圆的方程解决一些简单的问题 二 重点 难点 二 重点 难点 重点 难点 三 知识要点 三 知识要点 1 直线与圆的位置关系及其判定 方法一 方程组思想 由直线与圆的方程组成的 方程组 消去 x 或 y 化为一元二次方程 由判别式符号进行判别 方法二 利用圆心 到直线的距离 比较 d 与 a b0AxByC 22 AaBbC d AB r 的大小 1 相交 2 相切 3 相离dr 0 dr 0 dr 0 2 直线与圆的相切研究 是高考考查的重要内容 同时 我们要熟记直线与圆的各种 方程 几何性质 也要掌握一些常用公式 例如点线距离公式 00 22 AxByC d AB 四 自主探究 四 自主探究 一 例题精讲 一 例题精讲 例 1 02 年全国卷 文 若直线 1 a x y 1 0 与圆 x2 y2 2x 0 相切 则 a 的 值为 解 将圆 x2 y2 2x 0 的方程化为标准式 x 1 2 y2 1 其圆心为 1 0 半径为 1 由直线 1 a x y 1 0 与该圆相切 则圆心到直线的距离 a 1 2 11 1 1 1 a d a 例 2 求直线被圆所截得的弦长 P144 练习 1 220lxy 22 3 9Cxy 题 解 由题意 列出方程组 消 y 得 得 22 220 3 9 xy xy 2 51440 xx 12 14 5 xx 12 4 5 x x 设直线与圆交于点 则220 xy 22 3 9xy 11 A x y 22 B xy 222 211212 1 1 4ABkxxkxxx x 22 1442 145 12 4 555 另解 圆心 C 的坐标是 半径长 圆心到直线的距离 3 0 3r 220 xy 2302 4 5 55 d 所以 直线被圆截得的弦长是220 xy 22 3 9xy 2222 4 52 145 22 3 55 rd 例 3 04 年辽宁卷 13 若经过点的直线与圆相切 1 0 P 22 4230 xyxy 则此直线在 y 轴上的截距是 解 圆的标准方程为 则圆心 半径 22 2 1 2xy 2 1 C 2r 设过点的直线方程为 即 1 0 P 1 yk x 0kxyk 2 圆心到切线的距离 解得 2 21 2 1 kk dr k 1k 直线方程为 在 y 轴上的截距是 1 1yx 点评 研究直线和圆的相切 简捷的方法是利用公式 还可以 00 22 AxByC dr AB 由方程组只有一个实根进行解答 选择恰当的方法 是我们解题的一种能力 例 4 设圆上的点A 2 3 关于直线x 2y 0 的对称点仍在这个圆上 且与直线x y 1 0 相交的弦长为 求圆的方程 2 2 解 设 A 关于直线 x 2y 0 的对称点为 A 由已知得 AA 为圆的弦 得到 AA 的对 称轴 x 2y 0 过圆心 设圆心 P 2a a 半径为 r 则 r PA 2a 2 2 a 3 2 又弦长 圆心到弦 AA 的距离为 22 2 22 Rd 21 31 22 aaa d 即 4 a 1 2 a 3 2 2 解得 a 7 或 a 3 2 2 31 2 2 a R 2 31 2 a 当 a 3 时 r 当 a 7 时 r 所求圆方程为 x 6 2 y 3 2 52 或52244 x 14 2 y 7 2 244 点评 在解答与圆的弦长相关的一些问题时 常用勾股定理 得到圆心到弦的距离 d 半径 r 半弦长的一个勾股式 这种方法与方程组的思想求解弦长问题相比 计算过程 较为简单 五 目标检测五 目标检测 一 基础达 一 基础达标标 1 直线 4x 3y 2 0 与圆的位置关系是 22 24110 xyxy A 相交 B 相切 C 相离 D 以上都不对 2 08 年全国卷 文 10 若直线与圆有公共点 则 1 xy ab 22 1xy A B C D 22 1ab 22 1ab 22 11 1 ab 22 11 1 ab 3 平行于直线 2x y 1 0 且与圆 x2 y2 5 相切的直线的方程是 A 2x y 5 0 B 2x y 5 0 C 2x y 5 0 或 2x y 5 0 D 2x y 5 0 或 2x y 5 0 4 直线 x 2 被圆所截弦长等于 则 a 的值为 22 4xay 2 3 A 1 或 3 B 或 C 1 或 3 D 22 3 5 04 年全国卷 文 5 理 4 圆在点处的切线方程为 22 40 xyx 1 3 P A B C D 320 xy 340 xy 340 xy 320 xy 6 已知圆 C 及直线 则直线 被 C 截得的弦长 22 1 2 4xy l30 xy l 为 7 03 年上海春 若经过两点 A 1 0 B 0 2 的直 线 l 与圆 x 1 2 y a 2 1 相切 则 a 二 能力提高 二 能力提高 8 求直线x y 2 0 截圆 x2 y2 4 得的劣弧所对的圆心角 33 3 9 一直线过点 被圆截得的弦长为 8 求此弦所在直线方程 3