高考数学 不等式的证明方法习题精选精讲

1 不等式的证明不等式的证明 不等式的证明是高中数学的一个难点 证明方法多种多样 近几年高考出现较为形式较为活跃 证明中经常需与函 数 数列的知识综合应用 灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提 下面我们将证明中常见的几种方法 作一列举 注意的变式应用 常用 其中 来解决有关根式不等式的问题 abba2 22 22 22 baba Rba 1 比较法 比较法是证明不等式最基本的方法 有做差比较和作商比较两种基本途径 1 已知 a b c 均为正数 求证 accbbacba 111 2 1 2 1 2 1 证明 a b 均为正数 0 4 4 4 1 4 1 4 1 2 baabbaab abbaabab baba ba 同理 0 4 1 4 1 4 1 2 cbbccbcb cb 0 4 1 4 1 4 1 2 caacacac ac 三式相加 可得0 111 2 1 2 1 2 1 accbbacba accbbacba 111 2 1 2 1 2 1 2 综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等 运用不等式的变换 从已知条件推出所要证明的结论 2 2 a b 0 c 1 cba 求证 3 1 222 cba 证 证 2222 1 3cbacba 2222 3cbacba 0 222222 222 222 accbba cabcabcba 3 3 设a b c是互不相等的正数 求证 444 cbaabccba 证 证 2244 2baba 2244 2cbcb 2244 2acac 222222444 accbbacba cabcbbacbba 222222222 22 同理 abcaccb 22222 2 bcabaac 22222 2 222222 cbaabcaccbba 4 4 知 a b c 求证 R 2 222222 cba accbba 证明 2 222222 2 22 ba bababa abab 即 两边开平方得 2 2 22ba ba 2 2 2 222 baba ba 2 同理可得三式相加 得 2 222 cb cb 2 222 ac ac 2 222222 cba accbba 5 5 0 yx 且 1 yx 证 9 1 1 1 1 yx 证 证 1 1 1 1 1 1 y yx x yx yx 25 2 2 y x x y y x x y 9225 6 6 已知 9 11 1 1 11 ba baRba求证 策略 由于的背后隐含说明1 4 1 2 1 2 baRbaab ba ab baRba 4 1 ab着一个不等式 证明 4 1 1 abbaRba 9 1 1 1 1 9 81 2 1 1 1 111 1 1 1 1 1 ba ababab ba abbaba 而 3 分析法 分析法的思路是 执果索因 从求证的不等式出发 探索使结论成立的充分条件 直至已成立的不等式 7 已知a b c为正数 求证 3 3 2 2 3 abc cba ab ba 证 证 要证 3 3 2 2 3 abc cba ab ba 只需证 3 32abccab 即 3 32abcabc 33 33abcababcababc 成立 原不等式成立 8 0 cba 且 1 cba 求证 3 cba 证 3 cba3 2 cba 即 2222 acbcab baab 2 cbbc 2 caac 2 即 2 222 cacbbaacbcab 原命题成立 4 换元法 换元法实质上就是变量代换法 即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换 以达到化难为易的目的 9 1 b 求证 1 1 1 22 baab 3 证明 证明 令 sin a 2 k k sin b 2 k k 左 coscossinsincoscossinsin 1 cos 1 1 1 22 baab 10 1 22 yx 求证 22 yx 证 证 由 1 22 yx 设 cos x sin y 2 2 4 sin 2sincos yx 22 yx 11 知 a b c 求证 411 cacbba 证明 a b 0 b c 0 a c 0 可设 a b x b c y x y 0 则 a c x y 原不等式转化为 证明即证 即证 原不等式成立 当仅 x y 当 yxyx 411 4 11 yx yx42 x y y x 2 x y y x 成立 12 知 1 x y 2 求证 x xy y 3 22 2 1 22 证明 1 x y 2 可设 x rcos y rsin 其中 1 r 2 0 22 2 2 x xy y r r sin r 1 sin 1 sin r r 1 sin 2222 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 3 2 1 22 2 1 2 r 而r r 3 x xy y 3 2 3 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 1 22 13 已知 x 2xy y 2 求证 x y 22 10 证明 x 2xy y x y y 可设 x y rcos y rsin 其中 0 r 0 2222 2 2 x y x y 2y rcos 2rsin r sin ractan 5 2 1 r510 14 解不等式 15 xx 2 1 解 因为 6 故可令 sin cos 0 22 1 5 xxx 56 1 x6 2 则原不等式化为 sin cos 所以 sin cos6 6 2 1 6 2 1 6 由 0 知 cos 0 将上式两边平方并整理 得 48 cos2 4 cos 23 0 2 2 1 6 6 解得 0 cos 所以 x 6cos2 1 且 x 1 故原不等式的解集是 x 1 x 24 6282 12 4724 4 12 4724 15 1 x 2 1x 2 证明 1 x 0 1 x 1 故可设 x cos 其中 0 2 则 x cos sin cos sin 2 1x 2 cos1 2 4 4 4 4 3 1 sin 即 1 x 2 4 2 2 1x 2 增量代换法增量代换法 在对称式 任意互换两个字母 代数式不变 和给定字母顺序 如 a b c 的不等式 常用增量进行代换 代换的目 的是减少变量的个数 使要证的结论更清晰 思路更直观 这样可以使问题化难为易 化繁为简 16a bR 且 a b 1 求证 a 2 b 2 22 2 25 证明 a bR 且 a b 1 设 a t b t tR 2 1 2 1 则 a 2 b 2 t 2 t 2 t t 2t 22 2 1 2 2 1 2 2 5 2 2 5 22 2 25 2 25 a 2 b 2 22 2 25 利用利用 1 1 的代换型的代换型 1717 9 111 1 cba cbaRcba求证 且已知 策略 做 1 的代换 证明 c cba b cba a cba cba 111 922233 c b b c c a a c b a a b 5 反证法 反证法的思路是 假设矛盾肯定 采用反证法时 应从与结论相反的假设出发 推出矛盾的过程中 每一 步推理必须是正确的 18 若 p 0 q 0 p q 2 求证 p q 2 证明 反证法 33 假设 p q 2 则 p q 8 即 p q 3pq p q 8 p q 2 pq p q 2 33333 故 pq p q 2 p q p q p pq q 又 p 0 q 0 p q 0 3322 pq p pq q 即 p q 0 矛盾 故假设 p q 2 不成立 p q 2 222 19 已知a b c 0 1 求证 ba 1 cb 1 ac 1 不能均大于4 1 证明 证明 假设 ba 1 cb 1 ac 1 均大于4 1 1 a b均为正 2 1 4 1 1 2 1 ba ba 同理 2 1 4 1 1 2 1 cb cb 2 1 2 1 ac 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 accbba 5 2 3 2 3 不正确 假设不成立 原命题正确 20 已知 a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a 不能同时大于 4 1 证明 假设三式同时大于 0 a 1 1 a 0 4 1 2 1 4 1 1 2 1 ba ba 21 a b Rc 0 cba 0 cabcab 0 cba 求证 a b c均为正数 证明 证明 反证法 假设a b c不均为正数 又 0 cba a b c两负一正 不妨设 0 a 0 b 0 c 又 0 cba 0 bac 同乘以 ba 2 babac 即 0 22 babaabbcac 与已知 0 cabcab 矛盾 假设不成立 a b c均为正数 6 放缩法 放缩时常用的方法有 1 去或加上一些项 2 分子或分母放大 或缩小 3 用函数单调性放缩 4 用已知不等式放缩 22 已知 a b c d 都是正数 求证 1 2 cba b dcb c adc d bad a 证明 dcba b cba b ba b dcba c dcb c dc c dcba d adc d dc d dcba a bad a ba a 将上述四个同向不等式两边分别相加 得 1 2 cba b dcb c adc d bad a 23 Nn 求证 12 1 3 1 2 1 1 11 2 n n n 证明 1 2 1 221 kk kkkkk 1 2 1 221 kk kkkkk 1 2 23 2 12 21 1 2 1 1 nn n 12 n 1 2 23 2 12 2 1 2 1 1nn n 11 2 n 判别式法 24A B C 为 ABC 的内角 x y z为任意实数 求证 Ayzzyxcos2 222 CxyBxzcos2cos2 6 证明 证明 构造函数 判别式法令 cos2cos2cos2 222 CxyBxzAyzzyxxf cos2 coscos 2 222 AyzzyCyBzxx 为开口向上的抛物线 cos2 4 coscos 4 222 AyzzyCyBz cos2coscos2sinsin 4 2222 AyzCByzCyBz sinsincos cos2coscos2sinsin 4 2222 CBCByzCByzCyBz sinsin2sinsin 4 2222 CByzCyBz 0 cossin 4 2 CyBz 无论y z为何值 0 Rx 0 xf 命题真 构造函数法 构造函数法证明不等式构造函数法证明不等式 24 设 0 a b c 2 求证 4a b c abc 2ab 2bc 2ca 22 证明 视 a 为自变量 构造一次函数 4a b c abc 2ab 2bc 2ca bc 2b 2c 4 af 22 a b c 2bc 由 0 a 2 知表示一条线段 又 b c 2bc b c 0 22 af 0 f 222 2 f b c 4b 4c 8 b 2 c 2 0 2222 可见上述线段在横轴及其上方 0 即 4a b c abc 2ab 2bc 2ca af 22 构造向量法证明不等式构造向量法证明不等式 根据已知条件与欲证不等式结构 将其转化为向量形式 利用向量数量积及不等式关 系 就能避免复杂的凑配技巧 使解题过程简化 应用这一方法证明一些具有和积结构的代数 m n m n 不等式 思路清晰 易于掌握 25 设 a b R 且 a b 1 求证 a 2 b 2 22 2 25 证明 构造向量 a 2 b 2 1 1 设和的夹角为 其中 0 m n m n m 22 2 2 ba n2 m n cos cos m n 22 2 2 ba2 另一方面 a 2 1 b 2 1 a b 4 5 而 0 cos m n 1 所以 5 从而 a 2 b 2 22 2 2 ba2 22 2 25 构造解析几何模型证明不等式构造解析几何模型证明不等式 如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系 则可根据已知式的结构 挖掘出它的几何背