广东省2013年高考物理二轮复习 专题三 电场和磁场第2讲 带电粒子在电磁场中的运动

1 专题三专题三 电场和磁场第电场和磁场第 2 2 讲讲 带电粒子在电磁场中的运动带电粒子在电磁场中的运动 体系构建体系构建 考向分析考向分析 本专题主要考查带电粒子在电场中的类平抛运动 有界磁场和复合场中的圆周运动 主 要题型有 一 带电粒子在边界为直线 圆周的磁场中的圆周运动 二 一族粒子在磁场中 的圆周运动 三 带电粒子在交变电场或磁场中的运动 四 以速度选择器 质谱仪 回旋 加速器 霍尔元件 磁流体发电机等为背景的实际问题 五 临界问题和多解问题 本专题对学生的空间想象能力 分析综合能力 应用数学知识处理物理问题的能力有较 高的要求 是考查考生多项能力的极好载体 因此成为广东高考的热点 在近三年的理科综 合能力测试中每年都有涉及 如 2011 年广东理综第 35 题 2012 年广东理综第 15 题 从试 题的难度上看 多属于中等难度和较难的题 热点例析热点例析 题型一 带电粒子在电场中的运动 1 带电粒子在电场中加速 当电荷量为q 质量为m 初速度为v0的带电粒子经电压U加速后 速度变为vt 由动 能定理得 qU mv mv 若v0 0 则有vt 这个关系式对任意静电场都是适用 1 22t 1 22 0 2qU m 的 对于带电粒子在电场中的加速问题 应突出动能定理的应用 2 带电粒子在匀强电场中的偏转 电荷量为q 质量为m的带电粒子由静止开始经电压U1加速后 以速度v1垂直进入由两 带电平行金属板产生的匀强电场中 则带电粒子在匀强电场中做类平抛运动 其轨迹是一条 2 抛物线 如图所示 qU1 mv 1 22 1 设两平行金属板间的电压为U2 板间距离为d 板长为L 1 带电粒子进入两板间后 粒子在垂直于电场的方向上做匀速直线运动 有 vx v1 L v1t 粒子在平行于电场的方向上做初速度为零的匀加速直线运动 有 vy at y at2 a 1 2 qE m qU2 md 2 带电粒子离开极板时 侧移距离y at2 与m q无关 1 2 qU2L2 2mdv2 1 U2L2 4dU1 轨迹方程为 y 与m q无关 U2x2 4dU1 偏转角度 的正切值 tan at v1 qU2L mdv2 1 U2L 2dU1 关于类平抛运动有一个很有用的推论 所有离开偏转电场的运动电荷好像都是从极板的 中心沿中心与射出点的连线射出的 例 1 如图 板间距为d 板长为 4d的水平金属板A和B上下正对放置 并接在电源 上 现有一质量为m 带电荷量为 q的质点沿两板中心线以某一速度水平射入 当两板间 电压U U0 且A接负时 该质点就沿两板中心线射出 A接正时 该质点就射到B板距左端 为d的C处 取重力加速度为g 不计空气阻力 1 求质点射入两板时的速度 2 当A接负时 为使带电质点能够从两板间射出 求 两板所加恒定电压U的范围 规律总结规律总结带电粒子在匀强电场中偏转的运动是类平抛运动 解此类题目的关键是将运动 分解成两个简单的直线运动 例 2 如图所示 绝缘水平面上的AB区域宽度为d 带正电 电荷量为q 质量为m 的小滑块以大小为v0的初速度从A点进入AB区域 当滑块运动至区域的中点C时 速度大 小为vC v0 从此刻起在AB区域内加上一个水平向左的匀强电场 电场强度保持不变 并 3 2 且区域外始终不存在电场 1 若加电场后小滑块受到的电场力与滑动摩擦力大小相等 求滑块离开AB区域时的 速度 2 要使小滑块在AB区域内运动的时间达到最长 电场强度应满足什么条件 并求这 种情况下滑块离开AB区域时的速度 设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力 3 方法点拨方法点拨本题第 2 问有一定难度 关键是想象出时间最长的物理情景 而具体的解 答过程并不复杂 拓展练习拓展练习 1 1 如图所示 真空中水平放置的两个相同极板Y和Y 长为L 相距d 足够大 的竖直屏与两板右侧相距b 在两板间加上可调偏转电压U 一束质量为m 带电荷量为 q 的粒子 不计重力 从两板左侧中点A以初速度v0沿水平方向射入电场且能穿出 1 证明粒子飞出电场后的速度方向的反向延长线交于两板间的中心O点 2 求两板间所加偏转电压U的范围 3 求粒子可能到达屏上区域的长度 题型二 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动 1 带电粒子在磁场中的运动大体包含五种常见情境 即 无边界磁场 单边界磁场 双边界磁场 矩形边界磁场 圆形边界磁场 带电粒子在磁场中的运动问题综合性较强 解 这类问题往往要用到圆周运动的知识 洛伦兹力 还要牵涉数学中的平面几何 解析几何等 知识 因此 解此类试题 除了运用常规的解题思路 画草图 找 圆心 定 半径 等 之外 更应侧重于运用数学知识进行分析 2 带电粒子在有界匀强磁场中运动时 其轨迹为不完整的圆周 解决这类问题的关键 有以下三点 1 确定圆周的圆心 若已知入射点 出射点及入射方向 出射方向 可通过入射点 和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线 两直线的交点即为圆周的圆心 若已知入射 点 出射点及入射方向 可通过入射点作入射线的垂线 连接入射点和出射点 作此连线的 垂直平分线 两垂线的交点即为圆周的圆心 2 确定圆的半径 一般在圆上作图 由几何关系求出圆的半径 3 求运动时间 找到运动的圆弧所对应的圆心角 由公式t T求出运动时间 2 3 解析带电粒子穿过圆形区域磁场问题常可用到以下推论 1 沿半径方向入射的粒子一定沿另一半径方向射出 2 同种带电粒子以相同的速率从同一点垂直射入圆形区域的匀强磁场时 若射出方 向与射入方向在同一直径上 则轨迹的弧长最长 偏转角有最大值且为 2arcsin 2arcsin R r RBq mv 4 例 3 一匀强磁场 磁场方向垂直于xOy平面 在xOy平面上 磁场分布在以O为中 心的一个圆形区域内 一个质量为m 电荷量为q的带电粒子 由原点O开始运动 初速度 为v 方向沿x轴正方向 后来粒子经过y轴上的P点 此时速度方向与y轴的夹角为 30 P到O的距离为L 如图所示 不计重力的影响 求磁场的磁感应强度B的大小和xOy平面 上磁场区域的半径R 规律总结规律总结带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心 半径及运动时间的确定方法 1 圆心的确定一般有以下四种情况 已知粒子运动轨迹上两点的速度方向 作这两速度的垂线 交点即为圆心 已知粒子入射点 入射方向及运动轨迹上的一条弦 作速度方向的垂线及弦的垂直平 分线 交点即为圆心 已知粒子运动轨迹上的两条弦 作出两弦垂直平分线 交点即为圆心 已知粒子在磁场中的入射点 入射方向和出射方向 不一定在磁场中 延长 或反 向延长 两速度方向所在直线使之成一夹角 作出这一夹角的角平分线 角平分线上到两直 线距离等于半径的点即为圆心 2 半径的确定和计算 当m v q B四个量中只有部分量已知 不全都是已知量时 半径的计算是利用几何 知识确定 常用解直角三角形的方法及圆心角等于圆弧上弦切角的两倍等知识 但当 m v q B四个量都是已知量时 半径由公式r 确定 mv qB 3 在磁场中运动时间的确定 利用圆心角与弦切角的关系 或者是四边形内角和等于 360 计算出圆心角 的大小 由公式t T可求出运动时间 有时也用弧长与线速 360 度的比t s v 拓展练习拓展练习 2 2 2012 江苏单科 9 双选 如图所示 MN是磁感应强度为B的匀强磁场 的边界 一质量为m 电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场 若粒子速度为v0 最远 能落在边界上的A点 下列说法正确的有 A 若粒子落在A点的左侧 其速度一定小于v0 B 若粒子落在A点的右侧 其速度一定大于v0 C 若粒子落在A点左右两侧d的范围内 其速度不可能小于v0 qBd 2m 5 D 若粒子落在A点左右两侧d的范围内 其速度不可能大于v0 qBd 2m 题型三 带电粒子在电磁场中的运动 带电粒子在电磁场中的运动 主要是匀变速直线运动 类平抛运动 匀速圆周运动的不 同组合 空间中电磁场的分布有组合场和复合场两种 前者指的是在不同的空间里存在不同 的电场或磁场 后者指的是在同一空间内存在不同的电场或磁场 例 4 2012 广东三水实验中学高三摸底考试物理试题 如图所示 平行板电容器的 极板长度L1 1 6 m 间距d 1 m 加上U 300 V 的恒定电压 距离极板右边缘L2处有一 光屏P 在这个区域内又有一垂直纸面向里的 磁感应强度为B 50 T 的匀强磁场 上下无 限 现有一质量m 1 10 8 kg 电荷量q 1 10 9 C 的微粒 不计重力 以v0 8 m s 的初速度从上金属板附近水平射入 通过电容器后 再进入匀强磁场B 取 sin 37 0 6 cos 37 0 8 试求 1 微粒离开电容器时的速度v的大小及方向 2 要微粒能打中光屏 则L2的最大值L2m 规律总结规律总结本题分别考查了带电粒子在电场中的类平抛运动和在磁场中的匀速圆周运动 是一经典题型 处理类平抛运动的根本方法是 化曲为直 而处理带电粒子在磁场中的匀 速圆周运动 画出其临界情况示意图是求解关键 例 5 2012 浙江理综 24 如图所示 两块水平放置 相距为d的长金属板接在电 压可调的电源上 两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场 将喷墨打印机的 喷口靠近上板下表面 从喷口连续不断喷出质量均为m 水平速度均为v0 带相等电荷量的 墨滴 调节电源电压至U 墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动 进入电场 磁 场共存区域后 最终垂直打在下板的M点 1 判断墨滴所带电荷的种类 并求其电荷量 2 求磁感应强度B的值 3 现保持喷口方向不变 使其竖直下移到两板中间的位置 为了使墨滴仍能到达下 板M点 应将磁感应强度调至B 则B 的大小为多少 拓展练习拓展练习 3 3 2012 课标全国理综 25 如图 一半径为R的圆表示一柱形区域的横截 面 纸面 在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场 一质量为m 电荷量为q的粒子 沿图中直线在圆上的a点射入柱形区域 在圆上的b点离开该区域 离开时速度方向与直线 6 垂直 圆心O到直线的距离为R 现将磁场换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场 同一 3 5 粒子以同样速度沿直线在a点射入柱形区域 也在b点离开该区域 若磁感应强度大小为 B 不计重力 求电场强度的大小 误区档案误区档案 1 忽视洛伦兹力随着速度的变化而变化导致错误 有洛伦兹力和其他恒力 如重力 电场力等 参与的直线运动 为匀速直线运动 有洛 伦兹力和其他恒力 如重力 电场力等 参与的匀速圆周运动 是洛伦兹力提供向心力 其 他恒力的合力为零 易错题例 如图所示 质量为m 电荷量为q的带正电粒子 以初速度v0垂直射入 相互正交的匀强电场E和匀强磁场B 从P点离开该区域的速率为vP 此时侧移量为s 下 列说法中正确的是 A 在P点带电粒子所受磁场力有可能比电场力大 B 带电粒子的加速度大小恒为 qBv0 qE m C 带电粒子到达P点的速度vP v2 0 2qEs m D 带电粒子到达P点的速率vP v2 0 2qEs m 易错分析 本题易错选 B 认为粒子做的类平抛运动 由于洛伦兹力始终与速度垂直 其方向不断改变 是一变力 所以粒子的加速度是变化的 其轨迹既非圆弧 亦非抛物线 不能用匀变速运动求解vP 可考虑用动能定理求解 因为在以上过程中洛伦兹力对带电粒子 不做功 电场力对其做正功 则有 qEs mv mv 所以vP 故选项 C 正确 选项 D 错误 由于开始洛伦兹 1 22P 1 22 0 v2 0 2qEs m 力向下最后偏向上 所以电场力向上且大于洛伦兹力 选项 A 亦正确 答案 AC 2 速度选择器选择的是速度 与带电粒子的电荷量及电性均无关 3 经回旋加速器加速后的粒子动能取决于回旋加速器的直径和磁场的磁感应强度 与 回旋加速器中加速电压无关 4 忽略电荷的电性导致错误 在判断洛伦兹力的方向时 易忽略是正电荷还是负电荷 判断时 四指指向正电荷运动 方向 或负电荷运动的反方向 洛伦兹力的方向既与磁场方向垂直 又与运动电荷速度方 向垂直 但磁场的方向与运动电荷速度方向不一定垂直 5 考虑周全 防止漏解 带电粒子在电磁场中的运动 由于带电情况及运动的周期性等多种因素的影响 往往使 问题形成多解 因此我们要考虑周全 防止漏解 7 1 如图所示 一个带电粒子 从粒子源飘入 初速度很小 可忽略不计 电压为U1的 加速电场 经加速后从小孔S沿平行金属板A B的中心线射入 A B板长均为L 相距为 d 电压为U2 则带电粒子能从A B板间飞出 应该满足的条件是 A B U2 U1 2d L U2 U1 d L C D U2 U1 2d2 L2 U2 U1 d2 L2 2 如图所示 带电粒子在没有电场和磁场的空间内以速度v0从坐标原点O沿x轴方向 做匀速直线运动 若空间只存在垂直于xOy平面的匀强磁场时 粒子通过P点时的动能为 Ek 当空间只存在平行于y轴的匀强电场时 则粒子通过P点时的动能为 A Ek B 2Ek C 4Ek D 5Ek 3 2012 北京理综 16 处于匀强磁场中的一个带电粒子 仅在磁场力作用下做匀速 圆周运动 将该粒子的运动等效为环形电流 那么此电流值 A 与粒子电荷量成正比 B 与粒子速率成正比 C 与粒子质量成正比 D 与磁感应强度成正比 4 如图所示 在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域 圆心坐标为O1 a 0 圆内 分布有垂直纸面向里的匀强磁场 在直线y a的上方和直线x 2a的左侧区域内 有一沿 y轴负方向的匀强电场 场强大小为E 一质量为m 电荷量为 q q 0 的粒子以速度v 从O点垂直于磁场方向射入 当射入速度方向沿x轴正方向时 粒子恰好从O1点正上方的A 点射出磁场 不计粒子重力 1 求磁感应强度B的大小 2 若粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入第一象限 当速度方向沿x轴正方向 的夹角 30 时 求粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间t 5 如图所示 一束极细的可见光照射到金属板上的A点 可以从A点向各个方向发射 8 出速率不同的电子 这些电子被称为光电子 金属板左侧有一个方向垂直纸面向里 磁感应 强度为B 且面积足够大的匀强磁场 涂有荧光材料的金属小球P 半径忽略不计 置于金 属板上的A点的正上方 A P同在纸面内 两点相距L 从A点发出的光电子 在磁场中偏 转后 有的能够打在小球上并使小球发出荧光 现已测定 有一个垂直磁场方向 与金属板 成 30 角射出的光电子击中了小球 求这一光电子从金属板发出时的速率v和它在磁场 中运动的可能时间t 已知光电子的比荷为e m 6 如图所示 xOy是位于足够大的绝缘光滑水平桌面内的平面直角坐标系 虚线MN是 xOy的角平分线 在MN的左侧区域 存在着沿x轴负方向 场强为E的匀强电场 在MN 的右侧区域 存在着方向竖直向下 磁感应强度为B的匀强磁场 现有一带负电的小球a从 y轴上的P 0 l 点 在电场力作用下由静止开始运动 a球到达虚线MN上的Q点时与另 一个不带电的静止小球b发生碰撞 碰后两小球粘合在一起进入磁场 它们穿出磁场的位置 恰好在O点 若a b两小球的质量相等且均可视为质点 a b碰撞过程中无电荷量损失 求 1 a b两球碰撞合在一起进入磁场中的速度大小 2 a球的比荷k 即电荷量与质量之比 3 过O点后 粘在一起的两个小球再次到达虚线MN上的位置坐标 结果用E B l 表示 参考答案参考答案 精要例析 聚焦热点 热点例析热点例析 例 1 答案 答案 1 2 U0 U U0 2gd 9 8 7 8 解析 解析 1 当两板加上U0电压且A板为负时 有 mg qU0 d A板为正时 设带电质点射入两极板时的速度为v0 向下运动的加速度为a 经时间t 射到C点 有 mg ma qU0 d d v0t at2 d 2 1 2 由 得 v0 2gd 2 要使带电质点能从两板射出 设它在竖直方向运动的加速度为a1 时间为t1 应 有 9 a1t d 2 1 22 1 t1 4d v0 由 得 a1 g 8 若a1的方向向上 设两板所加恒定电压为U1 有 mg ma1 qU1 d 若a1的方向向下 设两板所加恒定电压为U2 有 mg ma1 qU2 d 由 得 U1 U0 U2 U0 解得 U1 U0 U2 U0也是可以的 9 8 7 8 9 8 7 8 所以 所加恒定电压范围为 U0 U U0 9 8 7 8 例 2 答案 答案 1 v0 方向水平向右 2 E2 方向水平向左 v0 1 2 mv2 0 2qd 2 2 解析 解析 1 设滑块所受滑动摩擦力大小为f 则滑块从A点运动至C点过程 由动能定 理得 f m v v d 2 1 22 02C 假设最后滑块从B点离开AB区域 则滑块从C点运动至B点过程 由动能定理得 qE1 f m v v d 2 1 22C2B 将vC v0和qE1 f代入解得vB v0 3 2 1 2 由于滑块运动至B点时还有动能 因此滑块从B点离开AB区域 速度大小为v0 方向 1 2 水平向右 2 要使小滑块在AB区域内运动的时间达到最长 必须使滑块运动至B点停下 然后 再向左加速运动 最后从A点离开AB区域 滑块从C点运动至B点过程 由动能定理得 qE2 f mv d 2 1 22C 由 两式可得电场强度 E2 mv2 0 2qd 滑块运动至B点后 因为qE2 2f f 所以滑块向左加速运动 从B运动至A点过程 由动能定理得 qE2 f d mv 1 22A 由以上各式解得滑块离开AB区域时的速度 vA v0 方向水平向左 2 2 拓展练习 1 答案 答案 1 见解析 2 U 3 md2v2 0 qL2 md2v2 0 qL2 d L 2b L 解析 解析 1 设粒子在运动过程中的加速度大小为a 离开偏转电场时偏转距离为y 沿 电场方向的速度为vy 偏转角为 其反向延长线通过O点 O点与板右端的水平距离为 x 则有 10 y at2 1 2 L v0t vy at tan vy v0 y x 联立可得x L 2 即粒子飞出电场后的速度方向的反向延长线交于两板间的中心 2 a Eq m E U d 由 式解得y qUL2 2dmv2 0 当y 时 U d 2 md2v2 0 qL2 则两板间所加电压的范围为 U md2v2 0 qL2 md2v2 0 qL2 3 当y 时 粒子在屏上侧向偏移的距离最大 设为y0 则 d 2 y0 b tan L 2 而 tan d L 解得y0 d L 2b 2L 则粒子可能到达屏上区域的长度为 d L 2b L 例 3 答案 答案 L 3mv qL 3 3 解析 解析 粒子在磁场中受洛伦兹力作用做匀速圆周运动 设其半径为r 则由洛伦兹力提 供向心力得 qvB m v2 r 据此并由题意知 粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上 且P点在磁场区之外 过 P沿速度方向作反向延长线 它与x轴相交于Q点 作过O点与x轴相切 并且与PQ相切的 圆弧 切点A即粒子离开磁场区的地点 这样也求得圆弧轨迹的圆心C 如图所示 在 PCA 中 CA PQ sin 30 r L r 11 得L 3r 由 求得B 3mv qL 图中OA即半径 圆形磁场区半径 R 由几何关系得R L 3 3 拓展练习 2 BC 解析 解析 带电粒子沿垂直边界的方向射入磁场时 落在边界上的点离 出发点最远 当入射方向不是垂直边界的方向时 落在边界上的点与出发点的距离将小于这 个距离 即速度大于或等于v0 但入射方向不是 90 时 粒子有可能落在A点的左侧 A 项 错误 但粒子要落在A点的右侧 其速度一定要大于临界速度v0 B 项正确 设OA之间距离 为L 若粒子落在A点两侧d范围内 则以最小速度v入射的粒子做圆周运动的直径应为 L d 由洛伦兹力提供向心力 qvB qv0B 解得v v0 C 项正确 由于 mv2 L d 2 mv2 0 L 2 qBd 2m 题中没有强调粒子的入射方向 因此无法确定速度的最大值 D 项错误 例 4 答案 答案 1 10 m s 与水平方向夹角为 37 2 3 2 m 解析 解析 1 电荷射入电容器后做类平抛运动 根据平抛运动的规律 在水平方向上 电子通过电容器的时间为t 0 2 s L1 v0 在竖直方向上 电容器两板间向下的电场强度为E U d 电场力F qE 点电荷向下的加速度为a F m 以上各式解得a 30 m s2 qU md 点电荷离开金属板时的竖直速度vy at 6 m s 点电荷离开电容器时的速度大小v 10 m s v2x v2y 设与水平方向所夹的角为 则 tan vy vx 3 4 所以 37 2 点电荷进入磁场后做匀速圆周运动 若最后能打中光屏 则临界条件是轨迹与光 屏P相切于C点 如图所示 12 根据qvB m v2 R 得半径R 2 m mv qB 由几何关系得L2的最大长度为 L2m Rsin R 3 2 m 例 5 答案 答案 1 负电荷 2 3 mgd U v0U gd2 4v0U 5gd2 解析 解析 1 墨滴在电场区域做匀速直线运动 有 q mg U d 解得 q mgd U 由于电场方向向下 电荷所受电场力向上 可知 墨滴带负电荷 2 墨滴垂直进入电 磁场共存区域 重力仍与电场力平衡 合力等于洛伦兹力 墨 滴做匀速圆周运动 有qv0B m v2 0 R 考虑墨滴进入磁场和撞板的几何关系 可知墨滴在该区域恰完成四分之一圆周运动 则 半径 R d 联立解得B v0U gd2 3 根据题设 墨滴运动轨迹如图 设圆周运动半径为R 有 qv0B m v2 0 R 由图示可得 R 2 d2 R 2 d 2 得 R d 5 4 联立解得 B 4v0U 5gd2 13 拓展练习 3 答案 答案 14qRB2 5m 解析 解析 粒子在磁场中做圆周运动 设圆周的半径为r 由牛顿第二定律和洛伦兹力公式 得 qvB m v2 r 式中v为粒子在a点的速度 过b点和O点作直线的垂线 分别与直线交于c和d点 由几何关系知 线段 ac 和过a b两点的轨迹圆弧的两条半径 未画出 围成一正方形 因此bc r acbc 设 x 由几何关系得 cd R x ac 4 5 R bc 3 5R2 x2 联立 式得r R 7 5 再考虑粒子在电场中的运动 设电场强度的大小为E 粒子在电场中做类平抛运动 设 其加速度大小为a 由牛顿第二定律和带电粒子在电场中的受力公式得 qE ma 粒子在电场方向和直线方向所走的距离均为r 由运动学公式得 r at2 1 2 r vt 式中t是粒子在电场中运动的时间 联立 式得 E 14qRB2 5m 创新模拟 预测演练 1 C 解析 解析 加速电场中 qU1 mv2 偏转电场中 y 解之得 1 2 1 2 qU2 dm L2 v2 d 2 U2 U1 选 C 2d2 L2 2 D 解析 解析 由题意知带电粒子只受电场力或洛伦兹力的作用 且有Ek mv 1 22 0 当空间只存在电场时 带电粒子经过P点 说明 vPy t v0 t 10 cm 即vPy 2v0 1 2 由动能的定义可得 EkP mv mv 5Ek 1 22 0 1 22Py 14 3 D 解析 解析 由电流的定义I 可知 设粒子的电荷量为q 质量为m 在磁场中运动 Q t 的周期为T 则I 对于一个粒子来说 电荷量和质量是一定的 所以产生 2 m qB q T q2B 2 m 的环形电流与磁感应强度成正比 D 项正确 A