决战2011高考数学（三）数列专题精练 新人教A版

用心 爱心 专心 1 决战决战 20112011 高考数学专题精练 三 数列 高考数学专题精练 三 数列 1 已知数列 n a的前n项和5 n n St t 是实数 下列结论正确的是 A t为任意实数 n a均是等比数列 B 当且仅当1t 时 n a是等比数列 C 当且仅当0t 时 n a是等比数列 D 当且仅当5t 时 n a是等比数列 2 在实数数列 n a中 已知0 1 a 1 12 aa 1 23 aa 1 1 nn aa 则 4321 aaaa 的最大值为 A 0 B 1 C 2 D 4 3 已知数列 n a的通项为 11 22 1 33 nn n a 下列表述正确的是 A 最大项为 0 最小项为 20 81 B 最大项为 0 最小项不存在 C 最大项不存在 最小项为 20 81 D 最大项为 0 最小项为 4 a 4 若数列 10 n n nn a n aa则的通项公式为 为 A 递增数列B 递减数列 C 从某项后为递减D 从某项后为递增 二 填空题二 填空题 1 已知无穷等比数列 n a的前n项和 n S满足 nn aS 1 则该数列所有项的和为 2 设 1 a 2 a n a是各项不为零的n 4 n 项等差数列 且公差0 d 若将此数 列删去某一项后 得到的数列 按原来顺序 是等比数列 则所有数对 d a n 1 所组成的 集合为 3 2008 已知 n a为等差数列 23 12aa 则 5 a 4 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S 若 2 72 k S 且 1 18 kk aa 则正整数k 5 已知数列 n a的通项公式是 1 2 n n a 数列 n b的通项公式是nbn3 令集合 用心 爱心 专心 2 21 n aaaA 21 n bbbB Nn 将集合BA 中的元素按从 小到大的顺序排列构成的数列记为 n c 则数列 n c的前 28 项的和 28 S 6 已知等差数列 n anN 的首项 1 0a 设 n S为 n a的前n项和 且 611 SS 则 当 n S取得最大值时 n 7 已知数列 n a的通项公式为 1 3 2 n annN 设 n S为 n a的前n项和 则 30 S 8 在等比数列 n a中 2 8a 1 64a 则公比q为 9 已知数列 n a是以2 为公差的等差数列 n S是其前n项和 若 7 S是数列 n S中的唯一 最大项 则数列 n a的首项 1 a的取值范围是 10 用数学归纳法证明等式 a a aaa n n 1 1 1 2 12 1 a Nn 验证 1 n 时 等式左边 11 等差数列 n a中 公差1 d 1 43 aa 则 2042 aaa 12 把数列 1 21n 的所有数按照从大到小 左大右小的原则写成如上图所示的数表 第k行有 1 2k 个数 第k行的第s个数 从左数起 记为 A k s 则 1 2009 这个 数可记为 A 13 等比数列 n a的公比为 1 2 前n项和为 n S满足 1 1 lim n n S a 那么 1 a的值为 14 正整数集合 k A的最小元素为1 最大元素为2007 并且各元素可以从小到大排成一个 公差为k的等差数列 则并集 1759 AA 中元素有 个 15 n a是等差数列 28 1 5aa 则数列 n a的前9项和 9 S 16 对于各数互不相等的正数数组 n iii 21 n是不小于2的正整数 如果在qp 时 用心 爱心 专心 3 有 qp ii 则称 p i与 q i 是该数组的一个 逆序 一个数组中所有 逆序 的个数称为此 数组的 逆序数 例如 数组 1 3 4 2中有逆序 2 1 4 3 4 1 3 2 其 逆序 数 等于 4 若各数互不相等的正数数组 654321 aaaaaa的 逆序数 是 2 则 123456 aaaaaa的 逆序数 是 三 解答题三 解答题 1 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 8 分 第 3 小 题满分 6 分 设正数数列 n a的前n项和为 n S 且对任意的 Nn n S是 2 n a和 n a的等差中项 1 求数列 n a的通项公式 2 在集合kmmM2 Zk 且 15001000 k中 是否存在正整数m 使 得不等式 2 1005 2 n n a S 对一切满足mn 的正整数n都成立 若存在 则这样的正整 数m共有多少个 并求出满足条件的最小正整数m的值 若不存在 请说明理由 3 请构造一个与数列 n S有关的数列 n u 使得 n n uuu 21 lim存在 并求出 这个极限值 2 本题满分 16 分 第 1 小题 4 分 第 2 小题 6 分 第 3 小题 6 分 观察数列 1 1 1 1 正整数依次被 4 除所得余数构成的数列1 2 3 0 1 2 3 0 tan 1 2 3 3 n n an 1 对以上这些数列所共有的周期特征 请你类比周期函数的定义 为这类数列下一个 用心 爱心 专心 4 周期数列的定义 对于数列 n a 如果 对于一切正整数 n都满足 成立 则称数列 n a是以T为周期的周期数列 2 若数列 n a满足 21 nnnn aaanNS 为 n a的前n项和 且 23 2008 2010SS 证明 n a 为周期数列 并求 2008 S 3 若数列 n a的首项 1 1 0 2 ap p 且 1 2 1 nnn aaanN 判断数列 n a是否为周期数列 并证明你的结论 3 本题满分 22 分 第 1 小题 4 分 第 2 小题 6 分 第 3 小题 12 分 定义 将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个 子数列 已知无穷等比数列 n a的首项 公比均为 1 2 1 试求无穷等比子数列 31k a Nk 各项的和 2 是否存在数列 n a的一个无穷等比子数列 使得它各项的和为 1 7 若存在 求出满 足条件的子数列的通项公式 若不存在 请说明理由 3 试设计一个数学问题 研究 是否存在数列 n a的两个不同的无穷等比子数列 使 得其各项和之间满足某种关系 请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论 第 3 小题说明 本小题将根据你所设计的问题的质量分层评分 问题的表达形式可以 参考第 2 小题的表述方法 用心 爱心 专心 5 4 本小题满分 20 分 已知数列 n a和 n b满足 1 a 1 2 4 1 321 3 n nnnn aanban 其中 为实数 n为正整数 对任意实数 证明数列 n a不是等比数列 对于给定的实数 试求数列 n b的前n项和 n S 设0ab 是否存在实数 使得对任意正整数n 都有 n aSb 成立 若存 在 求 的取值范围 若不存在 说明理由 5 已知各项为正数的等比数列 n anN 的公比为 1 q q 有如下真命题 若 12 2 nn p 则 12 1 2 nnp aaa A A 其中 12 nnp 为正整数 1 若 12 1 22 nn p 试探究 12 1 2 nn aaA A与 p aq 之间有何等量关系 并给予证明 2 对 1 中探究得出的结论进行推广 写出一个真命题 并给予证明 6 本题满分 18 分 第 1 小题 4 分 第 2 小题 6 分 第 3 小题 8 分 用心 爱心 专心 6 已知 数列 n a有paaa 21 常数0 p 对任意的正整数 nn aaaSn 21 并有 n S满足 2 1 aan S n n 1 求a的值 2 试确定数列 n a是不是等差数列 若是 求出其通项公式 若不是 说明理由 3 对于数列 n b 假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bbn 且bbn n lim 则称b为数列 n b的 上渐进值 令 2 1 1 2 n n n n n S S S S p 求数列 nppp n 2 21 的 上渐进值 第 3 部分 数列 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 1 B 2 C 3 A 4 D 二 填空题二 填空题 1 1 2 1 4 4 4 3 6 4 4 5 820 用心 爱心 专心 7 6 89nn 或或 7 285 2 8 1 8 9 12 14 10 2 1aa 11 80 12 10 494 13 6 2 14 151 15 18 16 13 三 解答题三 解答题 1 解 1 由题意得 nnn aaS 2 2 当1 n时 1 2 11 2aaa 解得1 1 a 1 分 当2 n时 有 1 2 11 2 nnn aaS 式减去 式得 1 2 1 2 2 nnnnn aaaaa 于是 1 2 1 2 nnnn aaaa 111 nnnnnn aaaaaa 2 分 因为0 1 nn aa 所以1 1 nn aa 所以数列 n a是首项为1 公差为1的等差数列 3 分 所以 n a的通项公式为nan Nn 4 分 2 设存在满足条件的正整数m 则 2 1005 2 1 2 nnn 1005 2 n 2010 n 6 分 又2000 M 2002 2008 2010 2012 2998 所以2010 m 2012 2998均满足条件 它们组成首项为2010 公差为2的等差数列 8 分 用心 爱心 专心 8 设共有k个满足条件的正整数 则2998 1 22010 k 解得495 k 10 分 所以 M中满足条件的正整数m存在 共有495个 m的最小值为2010 12 分 3 设 n n S u 1 即 1 2 nn un 15 分 则 1 2 32 2 21 2 21 nn uuu n 1 1 12 1 11 3 1 2 1 2 1 12 nnn 其极限存在 且 2 1 1 12limlim 21 n uuu n n n 18 分 注 n n S c u c为非零常数 1 2 1 n Sc n n u c为非零常数 1 n Sc n n qu c为非零常数 1 0 q 等都能使 n n uuu 21 lim存在 按学生给出的答案酌情给分 写出数列 n u正确通项公式的得 3 分 求出极限再得 3 分 2 解 1 存在正整数 n Tn Taa 使使 2 证明 由 2132111nnnnnnnnnn aaaaaaaaaa 63nnn aaa 所以数列 n a是以6T 为周期的周期数列 由 23121233 2008 2010 2008 20102SSaaaaaa 知知 于是 121 212 20081003 21005 aaa aaa 又 15 0 kkk aaakN 所以 2008123423 1007Saaaaaa 3 当p 0 时 n a是周期数列 因为此时 0 n anN 为常数列 所以对 任意给定的正整数T及任意正整数n 都有 n Tn aa 符合周期数列的定义 当 1 0 2 p 时 n a是递增数列 不是周期数列 下面用数学归纳法进行证明 用心 爱心 专心 9 当1n 时 因为 1 1 0 2 ap p 所以 2 211 11 2 1 2 1 2 22 pp aaapp A A 且 2111111 2 1 12 12 0aaaaaaapp 所以 122 1 0 2 aaa 且且 假设当 n k 时 结论成立 即 12 1 0 2 kk aaaa 且且 则 1 2 1 12 0 kkkkkkk aaaaaaa 即 1kk aa 所以当 n k 1 时 结论也成立 根据 可知 n a是递增数列 不是周期数列 3 解 1 依条件得 31 31 1 N 2 k k ak 则无穷等比数列 31 k a 各项的和为 2 2 3 1 2 2 17 7 1 28 a 2 解法一 设此子数列的首项为 1 a 公比为q 由条件得 1 0 2 q 则 1 11 2 q 即 1 12 1 q 1 111 1 714 7 aq 而 1 1 N 2m am 则 1 11 88 aq 所以 满足条件的无穷等比子数列存在且唯一 它的首项 公比均为 1 8 其通项公式为 1 8 n n a Nn 解法二 由条件 可设此子数列的首项为 1 a 公比为 1 2m q N m 由 Nm 1 011 2m 1 1 1 1 7 1 2m a a 用心 爱心 专心 10 又若 1 1 16 a 则对每一 Nm 都有 1 11 11 1616 111 87 111 222 mm a 从 得 1 11 167 a 1 1 8 a 则 1 1 1 8 11 7 11 22 mm a 171 1 288 m q 因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一 此子数列是首项 公比均为 1 8 无穷等比子数列 通项公式为 1 8 n n a Nn 4 解 证明 假设存在一个实数 使 n a 是等比数列 1 分 则有 31 2 2 aaa 即 094 9 4 94 9 4 4 9 4 3 3 2 222 矛盾 4 分 所以 n a 不是等比数列 1 分 解 因为 nn n n bnab 3 2 21 1 3 1 1 1 1 3 分 又 18 1 b 所以 当18 0 Nnbn 此时0 n S 1 分 当18 时 0 18 1 b 3 2 1 n n b b Nn 此时 数列 n b 是以 18 为首项 3 2 为公比的等比数列 1 分 n S 3 2 1 18 5 3 n 2 分 要使bSa n 对任意正整数n成立 即 3 2 1 18 5 3 Nnba n 用心 爱心 专心 11 则令 分 得 n nn nf ba 3 2 1 2 1 3 2 1 18 5 3 3 2 1 当n为正奇数时 1 9 5 3 5 1 nfnnf为正偶数时 当 nf的最大值为 3 5 1 f nf的最小值为 9 5 2 f 3 分 于是 由 1 式得 a 5 9 18 5 3 18318 5 3 abb 当aba3 时 由18318 ab 不存在实数满足题目要求 1 分 当ab3 存在实数 使得对任意正整数n 都有bSa n 且 的取值范围是 183 18 ab 1 分 5 1 因为 12 1 22 nn p 所以 12 21nnp 又 1 1 n n aa q 12 12 11111 222 22 11 22222 111 nnpp nnp aaa qa qa qqa q A AA AA AA A 即 12 11 22 nnp aaa q A A 2 以下列出推广命题的评分建议 命题证明部分的得分 不得超过推广部分的 得分 对于命题仅作形式上的变化 或者不是对 1 的推广 不得分 如 若 12 21 nnp 则 12 11 22 nnp aaa q A A 第一层次 仅对题目所列进行简单总结或结构简单变化 1 分 如 若 12 02 22 nnr ppNrNr 则 12 1 22 r nnp aaa q A A 若 12 12 1 23 nn pnnpN 则 12 11 32 nnp aaa q A A 若 12 12 1 2 nn pnnpsN s 则 12 11 2 s nnp aaa q A A 以下两个层次 可以根据学生的实际答题情况再作划分 第二层次 对于确定项数 至少三项 给出一般性结论或部分推广常数 1 2 3 分 用心 爱心 专心 12 如 若 123 123 1 33 nnn pnnnpN 则 123 11 33 nnnp aaaa q A AA A 若 123 123 03 33 nnnr pnnnpNrNr 则 123