2012届高考数学一轮考点疏理 典型例题 练习题和解析 2.4 函数的奇偶性精品

用心 爱心 专心1 20122012 届高考数学一轮精品届高考数学一轮精品 2 2 4 4 函数的奇偶性 考点疏理函数的奇偶性 考点疏理 典型例典型例 题题 练习题和解析 练习题和解析 2 4 函数的奇偶性 知识网络 1 奇函数 偶函数的定义及其判断方法 2 奇函数 偶函数的图象 3 应用奇函数 偶 函数解决问题 典型例题 例 1 1 下面四个结论中 正确命题的个数是 A 偶函数的图象一定与 y 轴相交 函数为奇函数的充要条件是 偶函 f x 0 0f 数的图象关于 y 轴对称 既是奇函数 又是偶函数的函数一定是 f x 0 x R A 1 B 2 C 3 D 4 提示 不对 如函数是偶函数 但其图象与轴没有交点 不对 因为奇 2 1 f x x y 函数的定义域可能不包含原点 正确 不对 既是奇函数又是偶函数的函数可以为 f x 0 x 答案为 A aa 2 已知函数是偶函数 且其定义域为 则 2 3f xaxbxab 1 2aa A b 0 B b 0 C b 0 D b 0 3 1 a 1a 1a 3a 提示 由为偶函数 得 b 0 2 3f xaxbxab 又定义域为 故答案为 A 1 2aa 1 20aa 3 1 a 3 已知是定义在 R 上的奇函数 当时 则 在 R 上 f x 0 x 2 2f xxx f x 的 表达式是 A B C D 2 yx x 2 yx x 2 yxx 2 yx x 提示 由时 是定义在 R 上的奇函数得 0 x 2 2f xxx f x 当 x 0 时 0 x 2 2 2 f xfxxxxx 即 答案为 D 2 0 2 0 x xx f x xxx 2 f xx x 4 已知 且 那么 f 2 等于 53 8f xxaxbx 2 10f 26 提示 为奇函数 53 8f xxaxbx 2 818f 2 818f 2 26f 5 已知是偶函数 是奇函数 若 则的解析式为 f x g x 1 1 x xgxf f x 提示 由是偶函数 是奇函数 可得 联立 f x g x 1 1 x xgxf 用心 爱心 专心2 得 1 1 x xgxf 2 1111 1211 f x xxx 1 1 2 x xf 例 2 判断下列函数的奇偶性 1 2 1 1 1 x f xx x 22 11f xxx 3 4 2 2 lg 1 2 2 x f x x 2 2 0 0 xxx f x xxx 解 1 由 得定义域为 关于原点不对称 为非奇非偶函 1 0 1 x x 1 1 f x 数 2 既是奇函数又是偶函数 2 2 2 10 11 10 x xx x 0f x f x 3 由得定义域为 2 2 10 2 20 x x 1 0 0 1 2 2 lg 1 2 2 x f x x 2 2 lg 1 x x 为偶函数 22 22 lg 1 lg 1 xx fx xx f x f x 4 当时 则 0 x 0 x 22 fxxxxxf x 当时 则 0 x 0 x 22 fxxxxxf x 综上所述 对任意的 都有 为奇函数 x fxf x f x 例 3 若奇函数是定义在 1 上的增函数 试解关于的不等式 f x 1 a 2 2 4 0f af a 解 由已知得 2 2 4 f af a 因 f x 是奇函数 故 于是 22 4 4 f afa 2 2 4 f afa 又是定义在 1 1 上的增函数 从而 f x 2 2 3224 1211332 141 5335 aaa aaa a aa 或 即不等式的解集是 3 2 例 4 已知定义在 R 上的函数对任意实数 恒有 且当 f x x y f xf yf xy 时 又 0 x 0f x 2 1 3 f 1 求证 为奇函数 2 求证 在 R 上是减函数 3 求在 6 f x f x f x 3 上的最大值与最小值 1 证明 令 可得 从而 f 0 0 0 xy 0 0 00 0 ffff 用心 爱心 专心3 令 可得 即 故为奇函 yx 0 0f xfxf xxf fxf x f x 数 2 证明 设 R 且 则 于是 从而 12 xx 12 xx 12 0 xx 12 0f xx 121222122212 0f xf xfxxxf xf xxf xf xf xx 所以 为减函数 f x 3 解 由 2 知 所求函数的最大值为 最小值为 3 f 6 f 3 3 2 1 2 1 1 3 1 2fffffff 6 6 3 3 4ffff 于是 在 3 6 上的最大值为 2 最小值为 4 f x 课内练习 1 下列命题中 真命题是 C A 函数是奇函数 且在定义域内为减函数 1 y x B 函数是奇函数 且在定义域内为增函数 30 1 yxx C 函数是偶函数 且在 3 0 上为减函数 2 yx D 函数是偶函数 且在 0 2 上为增函数 2 0 yaxc ac 提示 A 中 在定义域内不具有单调性 B 中 函数的定义域不关于原点对称 D 中 1 y x 当时 在 0 2 上为减函数 答案为 C 0a 2 0 yaxc ac 2 若 都是奇函数 在 0 上有最大值 5 x g x 2f xaxbg x 则在 0 上有 f x A 最小值 5 B 最大值 5 C 最小值 1 D 最大值 3 提示 为奇函数 为奇函数 x g x 2 xbgxaxf 又有最大值 5 2 在 0 上有最大值 3 f x 2 在上有最小值 3 在上有最小值 1 答案为 C f x 0 f x 0 3 定义在 R 上的奇函数在 0 上是增函数 又 则不等式 f x 3 0f 的解集为 A 0 xf x A 3 0 0 3 B 3 3 C 3 0 3 D 3 0 3 提示 由奇偶性和单调性的关系结合图象来解 答案为 A 4 已知函数是偶函数 在 0 2 上是单调减函数 则 A yf x 2 yf x A B 0 1 2 fff 1 0 2 fff C D 1 2 0 fff 2 1 0 fff 用心 爱心 专心4 提示 由f x 2 在 0 2 上单调递减 在 2 0 上单调递减 f x 是偶函数 在 0 2 上单调递增 又 故应选 A yf x f x 1 1 ff 5 已知奇函数 当 0 1 时 lg 那么当 1 0 时 f x x f x x 1 1 x 的表达式是 f xlg 1 x 提示 当 1 0 时 0 1 x x 1 lglg 1 1 f xfxx x 6 已知是奇函数 则 2008 xa xa xf 2 log 3 2007 a2007a 提示 解得 经检验适合 3 2 0 log0 a f a 2 1 a a 1a 2007 20072008 a a 7 若是偶函数 当 0 时 则 f x x 1f xx 的解集是 1 0f x 02 xx 提示 偶函数的图象关于 y 轴对称 先作出的图象 由图可知 f x 的解集为 的解集为 0f x 11 xx 1 0f x 02 xx 8 试判断下列函数的奇偶性 1 2 3 2 2 f xxx 33 1 2 x x xf 0 1 x x x xf 解 1 函数的定义域为 R 2 2 2 2 fxxxxxf x 故为偶函数 f x 2 由得 定义域为 关于原点对称 2 10 3 30 x x 110 xx 且 1 0 0 1 故为奇函数 22 11 33 xx f x xx 2 1 x fxf x x f x 3 函数的定义域为 0 0 1 1 它不关于原点对称 故函数既非奇函 数 又非偶函数 9 已知函数对一切 都有 若 用 f x x yR f xyf xf y 3 fa 表示 a 12 f 解 显然的定义域是 它关于原点对称 在中 f x R f xyf xf y 令 得 yx 0 ff xfx 令 得 0 xy 0 0 0 fff 0 0f 即 是奇函数 0f xfx fxf x f x 3 fa 12 2 6 4 3 4 3 4ffffa 10 已知函