分组分解法因式分解(5课时)

分组分解法 第一教时 分组分解法 第一教时 一 复习 把下列多项式因式分解 1 2x2 10 x 2 a m n b m n 3 2a x 5y 4b 5y x 4 x y 2 2 x y 二 新课讲解 1 引入 提问 如何将多项式 am an bm bn 因式分解 分析 很显然 多项式 am an bm bn 中既没有公因式 也不好用公式法 怎么办呢 由于 am an a m n bm bn b m n 而 a m n b m n m n a b 这样就有 am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法分组分解法 说明 如果把一个多项式的项分组并提出公因式后 它们的另一个因式正好相同 那么这个 多项式就可以用分组分解法来分解因式 练习 把下列各式分解因式 1 20 x y x y 2 p q k p q 3 5m a b a b 4 2m 2n 4x m n 2 应用举例 例 1 把 a2 ab ac bc 分解因式 分析 把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组 分别提出公因式 a 与 c 后 另一个 因式正好都是 a b 这样就可以继续提公因式 解 a2 ab ac bc a2 ab ac bc a a b c a b a b a c 例 2 把 2ax 10ay 5by bx 分解因式 分析 把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组 并使两组的项按 x 的降幂排列 然后从两组中分别提出公因式 2a 与 b 这时另一个因式正好都是 x 5y 这样就可继续提公 因式 解 2ax 10ay 5by bx 2ax 10ay 5by bx 2a x 5y b x 5y x 5y 2a b 提问 这两个例题还有没有其他分组解法 请你试一试 如果能 请你看一下结果是否相同 练习 把下列各式分解因式 1 ax bc 3a 3b 2 a2 2ab ac 2bc 3 a ax b bx 4 xy y2 yz xz 5 2x3 x2 6x 3 6 2ax 6bx 5ay 15by 7 mn m n 1 8 mx2 mx nx n 9 8m 8n mx nx 10 x2 2bx ax 2ab 11 ma2 na2 mb2 nb2 四 课外作业 把下列各式分解因式 1 a m n b m n xy a b x a b 3 n x y x y a b q a b 5 p m n m n 2a 4b m a 2b 7 a2 ac ab bc 3a 6b ax 2bx 9 2x3 x2 6x 3 2ax 6bx 7ay 21by xy x y 1 ax2 bx2 ay2 by2 x3 2x2y 4xy2 8y3 3m 3y ma ay 4x3 4x2y 9xy2 9y3 x3y 3x2 2x2y2 6xy 分组分解法 第二教时 分组分解法 第二教时 一 复习 1 提问 什么是分组分解法 分组时有什么要求 2 用分组分解法因式分解 1 ax ay bx by 2 mx my nx ny 3 ab ac b2 bc 4 2x 4y xy 2y2 5 5am a b 5bm 6 x3 x2 4x 4 二 新课讲解 1 例题分析 例 3 把 3ax 4by 4ay 3bx 分解因式 分析 如果象上节课一样 分别把前后两项分别分成两组 则无法继续分解 但把一 三两 项和二 四两项分别分成两组 是可以分解下去的 解 3ax 4by 4ay 3bx 3ax 4ay 3bx 4by 加法交换律 3ax 4ay 3bx 4by 分组 a 3x 4y b 3x 4y 提公因式 3x 4y a b 再提公因式 练习 用分组分解法因式分解 1 ac 2b 2a bc 2 ad bc ab cd 3 5ax 6by 5ay 6bx 4 ab 4xy 4ay bx 例 4 把 m2 5n mn 5m 分解因式 分析 如果把前后两项分别分成两组 虽然后两项有公因式 但前后两组之间却没有公因式 不好继续分解 如果把一 四两项和二 三两项分成两组 就可以继续分解了 解 m2 5n mn 5m m2 5m 5n mn m2 5m 5n mn m m 5 n m 5 m 5 m n 练习 把下列各式分解因式 1 x2 y xy x 2 5ax2 b2 b2x 5ax 3 x2 yz xy xz 4 4x2 3z 3xz 4x 5 5am b a 5bm 6 x2 yz xy xz 四 课外作业 把下列各式分解因式 1 mn m n 1 2 3mx 4ny 4my 3nx 3 m3 m2 m 1 4 m3 m2 m 1 5 a2 2b ab 2a 6 ax by ay bx 7 xy z y xz 8 a2x by ay abx 9 mx3 mx2 mx m 10 a2b a2c a3 abc 分组分解法 第三教时 分组分解法 第三教时 一 复习 1 什么是分组分解法 2 把下列各式分解因式 1 ac ad bc bd 2 ay2 ax bx by2 3 5ax 6by 10ay 3bx 4 5x2 7a 7ax 5x 3 填空 1 a2 b2 2 a2 2ab b2 3 a2 2ab b2 二 新课讲解 1 例题与练习 例 5 把 x2 y2 ax ay 分解因式 分析 显然无论如何分组都无法用前面的知识来分解 是不是无法分解呢 不是 由于第一 二两项满足平方差公式 x2 y2 x y x y 而三 四两项有公因式 a 而 ax ay a x y 这时可 以看出 x y x y 与 a x y 有公因式 x y 解 x2 y2 ax ay x2 y2 ax ay x y x y a x y x y x y a x y x y a 练习 把下列各式分解因式 1 4a2 b2 6a 3b 2 9m2 6m 2n n2 3 x2y2 4 xy2 2y 4 a2b2 c2 abd cd 例 6 把 a2 2ab b2 c2分解因式 分析 用刚才的方法不能见效 我们发现 a2 2ab b2是完全平方式 a b 2 此时 原式就变为 a b 2 c2 再用平方差公式 解 a2 2ab b2 c2 a2 2ab b2 c2 分组 a b 2 c2 运用完全平方公式 a b c a b c 运用平方差公式 a b c a b c 练习 把下列各式分解因式 1 4a2 4ab b2 1 2 c2 a2 2ab b2 3 x2 4y2 12yz 9z2 4 a2b2 c2 2ab 1 四 课外作业 把下列各式分解因式 4x2 y2 4x 2y b2 a2 ax bx m 2n m2 4n2 p 3q 9q2 p2 s2 t2 3s 3t x2 2x 2y y2 4a2 b2 2a b 9a2 6a 2b b2 x2 2x 1 y2 m2 2mn n2 p2 4x2 4xy y2 16z2 a2 b2 2bc c2 x2 4y2 4y 1 x2 y2 z2 2yz 分组分解法 第四教时 分组分解法 第四教时 一 复习 把下列各式分解因式 1 a2 2a 2b b2 2 4m2 9n2 3n 2m 3 m2 2mn n2 4c2 4 a2 b2 2bc c2 提问 什么样的多项式可以用分组后运用公式法 二 新课讲解 1 例题与练习 例 7 把下列各式分解因式 1 x2 4y2 4y 1 2 x2 y2 z2 2 4x2y2 分析 在第 1 题分好的两组中 虽然第一组可用平方差公式 但与第二组却无公因式 因 此无法分解 如果将括号去掉 再重新分组 得 x2 4y2 4y 1 此题可用分组后直接用公 式法分解因式 在第 2 题中 先用平方差公式分解 再用分组分解法 注意 必须进行到每一个多项 式因式不能再分解为止 解 1 x2 4y2 4y 1 x2 4y2 4y 1 x2 4y2 4y 1 x2 2y 1 2 x 2y 1 x 2y 1 x 2y 1 x 2y 1 2 x2 y2 z2 2 4x2y2 x2 y2 z2 2 2xy 2 x2 y2 z2 2xy x2 y2 z2 2xy x2 y2 z2 2xy x2 y2 z2 2xy x2 y2 2xy z2 x2 y2 2xy z2 x y 2 z2 x y 2 z2 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z 练习 把下列各式分解因式 1 2ab a2 c2 b2 2 ax by 2 bx ay 2 3 4a2b2 a2 b2 c2 2 例 8 把下列多项式分解因式 1 x3 x2y xy2 y3 2 a3 ab2 4abc 4ac2 解 1 x3 x2y xy2 y3 x3 x2y xy2 y3 分组 x2 x y y2 x y 分别提公因式 x y x2 y2 提公因式 x y x y x y 运用平方差公式 x y 2 x y 相同因式写成幂的形式 提问 还有其他解法吗 2 a3 ab2 4abc 4ac2 a a2 b2 4bc 4c2 先提公因式 a a2 b2 4bc 4c2 分组 a a2 b 2c 2 运用完全平方公式 a a b 2c a b 2c 运用平方差公式 a a b 2c a b 2c 整理 练习 把下列各式分解因式 1 a2b2 x2y2 a2x2 b2y2 2 x3 x2y xy2 y3 3 x2y y3 2xyz yz2 4 a3 a2 a 1 3 作业 把下列各式分解因式 1 x3y3 x2y2 xy 1 2 2xy a2 x2 y2 3 x2 y2 z2 2 4x2z2 四 课外作业 把下列各式分解因式 3ax 5ay 6bx 10by a2 b2 4a 4b m2 4mn 4n2 4 4 x2 2xy y2 ax2 ay2 a2x a2y a3 2a2b ab2 a a2b2 a2 2ab b2 x3 x2y xy2 y3 9 ax by 2 bx ay 2 10 m2 4n2 4n 1 11 a2 m2 n2 2 4m2n2 分组分解法 第五教时 分组分解法 第五教时 一 复习 1 什么是分组分解法 怎样才是正确的分组 2 把下列多项式分解因式 1 x2 2x nx 2n 2 x2 y2 2yz z2 3 x2 px qx pq 二 新课讲解 1 引入 1 把 x2 p q x pq 分解因式 分析 此式不好直接用已学的知识来分解因式 可以把式子展开为 x2 px qx pq 这时 可以 用分组分解法 x2 p q x pq x2 px qx pq x2 px qx pq x x p q x p x p x q 另外 我们知道 x p x q x2 px qx pq x2 p q x pq 于是有 x2 p q x pq x p x q 2 特点 式子 x2 p q x pq 的特点为 1 二次项的系数是 1 2 常数项是两个数之积 3 一次项系数是常数项的两个因数之和 说明 根据上面的结果 可以直接将某些二次项系数是 1 的二次三项式分解因式 2 应用举例 例 把下列各式分解因式 1 x2 3x 2 2 x2 7x 6 3 x2 x 2 4 x2 2x 15 分析 1 x2 3x 2 的二次项系数是 1 常数项 2 1 2 一次项系数 3 1 2 这是一个 x2 p q x pq 型式子 2 x2 7x 6 的二次项系数是 1 常数项 6 1 6 一次项系数 7 1 6 这也是一个 x2 p q x pq 型式子 3 x2 x 2 的二次项系数是 1 常数项 2 1 2 一次项系数 1 1 2 这也是一 个 x2 p q x pq 型式子 4 x2 2x 15 的二次项系数是 1 常数项 15 5 3 一次项系数 2 5 3 这也 是一个 x2 p q x pq 型式子 解 1 因为 2 1 2 并且 3 1 2 所以 x2 3x 2 x 1 x 2 2 因为 6 1 6 并且 7 1 6 所以 x2 7x 6 x 1 x 6 3 因为 2 1 2 并且 1 1 2 所以 x2 x 2 x 1 x 2 4 因为 15 5 3 并且 2 5 3 所以 x2 2x 15 x 5 x 3 3 归纳与小结 1 常数项是正数时 它分解成两个 号因数 它们和一次项系数符号 2 常数项是负数时 它分解成两个 号因数 其中绝对值较 的因数的符号和一次项 系数的符号相同 思考题 把 x4 5x2 4 因式分解 四 课外作业 一 根据公式 x2 p q x pq x p x q 填空 若 x2 ax 6 x 3 x