超级画板自动推理与解题

学 士 学 位 论 文 超级画板与自动推理和解题 姓 名 院 系数学与信息学院 专 业数学与应用数学 年 级2008 级数本 01 班 学 号 指导教师 2012 年 5 月 18 日 独 创 声 明 本人郑重声明 所呈交的毕业论文 是本人在指导老师的指导下 独 立进行研究工作所取得的成果 成果不存在知识产权争议 尽我所知 除 文中已经注明引用的内容外 本论文不含任何其他个人或集体已经发表或 撰写过的作品成果 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中 以明确方式标明 此声明的法律后果由本人承担 作者签名 二 一二年 五月 十八日 毕业论文使用授权声明 本人完全了解鲁东大学关于收集 保存 使用毕业论文的规定 本人愿意按照学校要求提交论文的印刷本和电子版 同意学校保存论 文的印刷本和电子版 或采用影印 数字化或其它复制手段保存论文 同 意学校在不以营利为目的的前提下 建立目录检索与阅览服务系统 公布 论文的部分或全部内容 允许他人依法合理使用 保密论文在解密后遵守此规定 论文作者 签名 二 一二年 五月 十八日 毕业论文开题报告毕业论文开题报告 姓名性别女学院数学与信息学院年级2008 级学号 题 目超级画板与自动推理和解题 课题来源教师推荐课题类别应用研究 选题意义 包括科学意义和应用前景 研究概况 水平和发展趋势 列出主要参考文献目录 我本科阶段所修专业为师范类数学 将来的工作几乎可以确定为人民教师 超级画板是一种新 型的用处颇大的教学工具 在教学中合理使用超级画板能有效地增加学生的学习兴趣和提高学习效 率 超级画板在教学与学习中将具有广阔的应用前景 目前超级画板已能自动推理出多种题目 在 中国乃至世界都处于科研尖端水平 其推理类型将随着研究人员的努力不断增加 1 张景中 彭翕成 超级画板 的自动推理功能简介 J 数学教学 2008 9 3 4 2 张景中 彭翕成 自动推理及其在数学教育中的应用 J 数学教育学报 2008 17 4 1 3 3 张景中 超级画板自由行 M 北京 科学出版社 2006 4 陈传理 张同君 竞赛数学教程 M 第二版 北京 高等教育出版社 2005 4 5 李传中 左传波 超级画板范例教程 M 北京 科学出版社 2004 6 张景中 彭翕成 动态几何教程 M 北京 科学出版社 2004 研究主要内容和预期结果 说明具体研究内容和拟解决的关键问题 预期结果和形式 如在理论上 解决哪些问题及其价值 或应用的可能性及效果 主要内容 本文主要就中学数学竞赛题介绍了超级画板自动推理功能在中学数学教学与学习中 的应用 总结了可用超级画板自动推理求解的试题类型 其实可用超级画板自动推理解答的题目多 不胜举 超级画板的自动推理功能在一定程度上可帮助解决数学教学中的符号运算问题 三角函数 化简求值问题 平面几何问题 解析几何问题 立体几何问题 自动推理可以说是人工智能中最成 功的一部分 预期结果 自动推理在教学中的使用会大大提高学生的学习兴趣和老师的教学效果 超级画板 的发明很大程度上满足了学校教育教学的需求 是一个值得我们使用的软件 超级画板将会是教师 教学上的得力助手 学生学习上的好帮手 拟采取的研究方法和技术路线 包括理论分析 计算 实验方法和步骤及其可行性论证 可能遇到 的问题和解决方法 以及研究的进度与计划 研究方法 本论文将主要通过使用超级画板对数学题进行自动推理 就其在解题方法上的特点 所得的解题过程的特点 对教师教学与学生学习的帮助作出相应的分析 技术路线 首先我要查阅大量的论文或书籍资料 了解现在超级画板的一些功能 自动推理能 解决的问题类型 其次 找几道数学方面的竞赛题 使用超级画板自动推理 分析它的解题特点 进 行整理综合 最后 分析概括超级画板自动推理对数学教学与学习的帮助 指导教师意见 对论文选题的意义 学术性 可行性 进度与计划等内容进行评价 填写审核结果 同意开题 修改后再开题 不同意开题 超级画板作为我国拥有自主知识产权的优秀教育软件具备多方面的功能 其中自动推理和可读 证明生成更是具有世界领先水平 对超级画板的这一功能进行研究有积极地意义 杨春青同学在大 学已经学习过 数学教育信息技术 课 对于超级画板软件掌握熟练 而且通过大学四年的学习 无论是对数学的认识还是还是对于教育的理解都有一定的基础 通过阅读查阅相关文献资料 了解 该课题研究的国内外进展 她具备了完成该课题的知识准备和能力条件 其指定的研究进度和计划 符合学校毕业生论文工作的有关要求 也符合课题研究的需要 相信通过后续认真努力地工作 能 够顺利完成该课题研究 同意开题 签名 2012 年 3 月 16 日 院 系 毕业论文 设计 领导小组意见 同同 意意 开开 题题 签章 2012 年 3 月 20 日 毕业论文结题报告毕业论文结题报告 姓名性别女学院数学与信息学院年级2008 级学号 题 目超级画板与自动推理和解题 课题来源教师推荐课题类别应用研究 本课题完成情况介绍 包括研究过程 实验过程 结果分析 存在的问题及应用情况等 经过几个月的努力 论文终于告一段落 这几个月里 我查看了大量关于超级画板自动推理的 论文资料 分析了超级画板自动推理能解决的问题类型 查阅了数学竞赛真题 高考真题 挑选了 几个例题 用超级画板自动推理一遍 再与原解题方法对比分析 超级画板虽不能推理所有的题 却是一个帮助学生理解问题的好工具 虽然有时候推出的步骤 会很多 仔细分析一下 会发现它很有利于学生理解 也可以设置自动推理的推理规则 使它与学生 的学习进度相符合 超级画板的自动推理功能在一定程度上可帮助解决数学教学中的符号运算问题 三角函数化简求值问题 平面几何问题 解析几何问题 立体几何问题 自动推理在教学中的使用 大大提高了学生的学习兴趣和老师的教学效果 超级画板的发明很大程度上满足了学校教育教学的 需求 是一个值得我们使用的软件 指导教师评语 杨春青同学的论文 超级画板与自动推理和解题 首先介绍了超级画板软件的功能 尤其是重 点介绍了超级画板具备的代数运算 数值运算 推理等方面的功能 然后选取了一个美国数学竞赛 的平面几何问题作为例子 使用自动推理的方法生成问题的可读证明 通过剖析这一例子介绍说明 超级画板软件所具备的自动推理功能的实现及特点 论文结构清楚 论述基本准确 虽然由于对问 题深度的认识缺乏导致缺少对问题的深入分析 但是总的来看 达到了本科毕业论文的水平 经审阅 该论文是一篇 较好 的学士学位论文 同意结题 签名 2012 年 5 月 18 日 院 系 毕业论文 设计 领导小组意见 同同 意意 结结 题题 公章 2012 年 5 月 18 日 指导教师 评定成绩 78 毕业论文成绩评定表 学院 数学与信息学院 学号 姓 名总成绩 题 目超级画板与自动推理和解题 本文通过探讨超级画板的软件功能 介绍了超级画板所具备的几种使用功能 并给出实例验证了这些功能的应用特点 该论文的写作格式规范 其研究结果具有一定的参考价值 经审阅 该论文是 一篇合格的学士学位论文 评 阅 人 评 语 评定成绩 签名 2012 年 5 月 25 日 作者在答辩过程中重点就问题的来源 问题研究的意义及研究的重点内容进行 了较为详细的阐述 文章选题意义广泛 选题的案例具有一定的参考价值 回答问 题时作者根据具体的实例 谈及自己的体会 给出了解决某些应用问题的方法 经答辩委员会审议 该论文是一篇中等的学士学位论文 答 辩 小 组 评 语 答辩成绩 组长签名 2012 年 5 月 26 日 注 总成绩 指导教师评定成绩 50 评阅人评定成绩 20 答辩成绩 30 将总成绩由百分制转换为五级制 填入本表相应位置 I 目 录 1 1 引言引言 1 1 2 2 自动推理与符号运算自动推理与符号运算 2 2 2 2 1 1 复杂因式分解复杂因式分解 2 2 2 2 2 2 微分 积分计算微分 积分计算 3 3 2 2 3 3 排列组合运算排列组合运算 3 3 3 3 自动推理与几何问题自动推理与几何问题 4 4 4 4 结论结论 7 7 参考文献参考文献 8 8 附录附录 9 9 致致 谢谢 1111 鲁东大学学士学位论文 1 超级画板与自动推理和解题 数学与信息学院 数学与应用数学 2008 级数本 1 班 摘要 摘要 超级画板是我国自主研究开发的教育平台 功能强大 其自动推理功能尤为重要 超级 画板的自动推理功能在一定程度上可帮助解决数学教学中的符号运算问题 三角函数化简求值问题 平面几何问题 解析几何问题 立体几何问题 自动推理可以说是人工智能中最成功的一部分 自动 推理的基本思想是试图对某一类的问题给出一个能够机械执行的 确定的方案 自动推理在教学中 的使用大大提高了学生的学习兴趣和老师的教学效果 超级画板的发明很大程度上满足了学校教育 教学的需求 是一个值得我们使用的软件 关键词 关键词 超级画板 智能软件 自动推理 自动解题 Super Sketchpad with automatic reasoning and problem solving Class 1 Grade 2008 Mathematics smart software automated reasoning automatic problem solving 1 引言 Z Z 超级画板 是在我国数学教育家张景中主持下开发的数学教学及数学学习的 软件 对中学数学教师的教学与学生的学习存在着不可估量的价值 超级画板 主要是数学方面的一种教学软件 不需要每一节课都用 在某些场合 下过度使用它会适得其反 像整式方面的运算 有理数方面的运算 去括号法则 用提 公因式法分解因式方面的问题 解一元一次或二次方程方面的问题等 这些内容都要求 学生掌握最基本的运算法则 需要培养动手能力和动脑能力 进行笔算和心算训练 这 时 如果使用计算机软件代替那些必要的训练有时难免会导致学生的计算能力下降 但 是某些需要学生亲身经历问题探索过程 并且又便于通过 超级画板 进行探索的内容 利用 超级画板 进行教学可以取得很好的教学效果 有了 超级画板 学生便有更多的 机会经历发现 探索数学的过程 此外 超级画板 所提供的自动解题和自动自动证 鲁东大学学士学位论文 2 明功能 更有利于学生自主的进行学习 对于那些用传统的教学手段难以展现或无法展现的内容 使用 超级画板 也可以取 得很好的效果 例如 九年级上册第四章的 视图与投影 这一内容 不可能每一节课 都把学生带到室外上 若只是在教室讲解又显得过于死板 这就可以借助于 超级画板 的动态显示功能 提前制成课件 通过多媒体教学工具 学生就能够形象直观地观察出 灯光与影子 太阳光与影子 的特点 并且能较容易地归纳出 中心投影 平行投影 的特怔以及其相互之间的关系 超级画板 将能更大程度地调动学生 的学习积极性和引发学生的学习兴趣 提高课堂上的教学质量和教学的效率 使用 超级画板 的过程 本身就是数学知识的应用过程 超级画板 各种命令及功 能的设计非常科学且符合数学规律 不具备一定数学知识的人是用不好这个软件的 例 如 学习 简单的图案设计 这一内容 可能有人会觉得这一节课学生设计的图案很漂 亮 学得也很开心 但却像是一节美术课 好像知识点没有得到落实 其实 学生在设计 的过程中已经融入相关的知识点 如平移 若没有确定平移的距离和方向 标记向量 没有确定基本图形 即选中要平移的对象 就不可能实现 进行旋转 若没有旋转角度 标记角度 和旋转中心 标记中心 也不可能实现旋转 而平移的方向和距离 旋转的 中心和角度正是需要学生重点掌握的内容 由此可见 学生用 超级画板 做图时 能加 深对知识的理解 智能教育平台 超级画板 是一个集符号运算 编程环境 自动推理 动态几 何等多项功能为一体的综合性平台 具有 智能性 人性化 可视性 程序性和动态性 等特点 而且还根据教学需求 增加了很多功能 其功能之强大并不是几篇论文就可 1 介绍详尽的 在这里我主要介绍 超级画板 的自动推理与解题功能 自动推理可以说 是人工智能中最成功的一部分 2 自动推理与符号运算 超级画板自动推理的基本的思想是试图对某一类的问题给出一个能够机械执行的 确定的方案 它所有的一切几乎都是围绕着这一思想进行的 自动推理的基础实际上 是数学计算 由于逻辑方面的推理可换为布尔代数方面的计算 王浩就曾指出 量上的复 杂可用来克服质上的困难 可用大量的计算方面的过程来替代推理方面的过程 因此说 符号方面的运算在自动推理方面有非常重要的作用 2 2 1 复杂因式分解 这个因式可不可分解 人们很难判断出来 但是用超级画板很容易就能1 5 xx 分解得出答案来 帮助人们节省很多做题时间 而不能分解的因式 如 用1 7 xx 超级画板分解的结果是原来的式子不变 如图 2 1 这样人们就很容易的对因式判断 能否进一步分解化简 并进行因式分解 鲁东大学学士学位论文 3 图 2 1 复杂因式分解 2 2 微分 积分计算 举个相对简单点例子 例如 对微分和1 1 1 6 2322 xxxxxf 在内积分 用超级画板可一步到位 如图1 1 1 6 2322 xxxxxf ba 2 图 2 2 微分 积分计算 2 3 排列组合运算 简单的排列组合可由学生自己计算 锻炼学生的动手动脑能力 可相对麻烦的式子 如 再笔算就有点浪费时间了 我们可以用超级画板迅速计算出结果 如图 3 10 120 C 图 2 3 排列组合运算 在程序库里还可以计算如大数运算等许多式子 这里就简单介绍以上几个 详细介 绍可参考文 3 鲁东大学学士学位论文 4 3 自动推理与几何问题 经过研究人员的多年努力 超级画板的功能有了很大的完善 可以用自动推理来解 几何题 自动生成人们能够看懂的解题过程 下面这道题是 1990 年美国数学竞赛中的 一道题 例 美国数学竞赛 1990 在锐角中 以 BC 为直径作圆与 BC 边上的高ABC AE 及其延长线交于 HF 以 AB 为直径作圆与 AB 边上的高 CI 及其延长线交于 JK 求 证 H F J K 四点共圆 4 原证法用到了三角形相似和相交弦定理 其中由得出LAIRtLCERt 又由相交弦定理得出 推出了LILCLELA LILCLFLHLELALJLK LFLHLJLK 如果用超级画板推理此题 可以先作图 画三角形 取边上的中点 知道中点和半 径就能作出圆 找到各个交点 把图形作好后 我们先不急着提出问题而直接点击菜单栏 上的 自动解题 命令 超级画板在自动推理结束后 会将和此图形相关的所有信息展 示在工作区的推理库中 一般情况下图形的信息量非常大 有时会有几百条 这个例题 就产生了两千多条信息 这需要我们从中选出与问题相关的信息 如图 3 1 这个过 程不仅可以帮助学生系统地复习已经学过的数学知识 而且还可以让学生学习怎样从大 量的复杂的信息中挑选出对我们有帮助的信息 在现代这样的信息社会中 让学生做这 方面的训练是十分有必要的 图 3 1 题目几何图形与图形所含信息 在程序区中的推理库中找到 H F J K 共圆 依次单击前面的加号会得到我们需 鲁东大学学士学位论文 5 要的解题方法 有时候并不需要单击全部的加号就能看明白这道题 这时 右击所需 问题 此题右击 E F G H 共圆 在作图区就会出现我们熟悉的做题步骤 见附录 如果不设置推理规则 超级画板会给出计算机认为最合适的解题方法 有时候这 些方法不见得就是我们需要的 就拿我们这次所举的这个例子来说吧 它的原证法用 三角形相似和相交弦定理 六 七步就得出所得结果 用超级画板自动解题得到的解 题过程却有 74 步 这是不是就说超级画板没有太大用处呢 其实不然 在原解题方法 中 分别用到两个圆中的弦的相交弦定理 对中学生来说 这种方法虽然容易把题解 出来 但是却不容易看明白 需要老师加以指点 超级画板自动推理出的题目虽然步 骤很多 学生们理解起来却很容易 不需要辅导老师的指点就可以 我们依次来看 1 单击 E F G H 共圆前的加号 得到我们看不明白它怎么得出来AHJFKC 的 单击它前面的加号会出现得到此结果的条件 如图 3 2 超级画板的推理库 中显示的推理次序是由果及因 结论的下面才是得出它的条件 例如图 3 1 中 E F G H 共圆我们可以这样理解 因为图 3 1 中 所以图 3 1AHJFKC 中的这四点共圆 可是为什么呢 因为 AHJFKC FKCFJA 我们用这种方法依次理解下去 AHJFJA 图 3 2 推理库中解题过程 2 如果还不理解某个中间结果为何得出 可以继续单击下面的加号 如图 3 3 直 到看明白为止 防止学生不理解某个式子是如何得到的 这样学生就可以有条理 的理解问题的解答 图 3 3 推理库中解题过程 鲁东大学学士学位论文 6 3 有些时候推理库中的解题程序显示的过多 读起来不容易 这样会给学生带来很 多的困扰 影响题目的理解 我们可以找到某个不容易理解的中间结果 右击 这样在作图区就会显示我们平常自己做题所用的解题步骤 例如 如图 3 4 中 由推出 而推出的步骤却有 17 步 推 CH EH BG BE EG EH CJ CH CJ EJ BJ BE CJ EJ BJ BE 理库中的由果及因的推理方法不容易理解 我们可以右击式子 作图 CJ EJ BJ BE 区会显示出得出该结果的做题过程 如图 3 5 对这样的过程书写模式 学生 们理解起来更容易 超级画板自动推理的这一功能使得这一教学软件更人性化 更便利化 更容易获得广大群众的喜爱 在教学与学习过程中使用这一软件 会 使我们的学习具有更多的趣味性 图 3 4 推理库中解题过程 鲁东大学学士学位论文 7 图 3 5 作图区中的解题过程 4 看明白图 3 5 后 可以单击前的减号 回缩步骤 使推理库看起来方便 CJ EJ BJ BE 简洁 我们可以用第 3 步的办法处理一些在推理库中理解起来不太容易的中间结 论 这样一步一步的理解 可以让学生不需要老师讲解就能看明白如何证明 5 当所有中间过程都理解后 右击 E F G H 共圆在作图区得到我们所熟悉的解 题过程 从整体上理解如何解题 例题的解题过程见附录 在此文中我暂时就只介绍超级画板自动推理中的平面几何问题 超级画板还可以 解决三角函数的化简求值问题 立体几何问题 解析几何问题 由于篇幅限制 在这 就不做过多介绍 有需要可以参考 6 5 4 结论 本文主要就中学数学竞赛题介绍了超级画板自动推理功能在中学数学教学与学习 中的应用 总结了可用超级画板自动推理求解的试题类型 其实可用超级画板自动推 理解答的题目多不胜举 除了文中所举题型外 超级画板自动推理还能解三角函数化 简求值问题 但是并不是所有的题目都可以用超级画板来解答 有些题目在解答的过 鲁东大学学士学位论文 8 程中需要添加辅助线 在这就不一一列举 在用超级画板解答数学题时可以先根据题 意作好几何图形 再在推理菜单中点