2016年--2017年高考新课标1理科数学试题详细解答

绝密绝密 启封并使用完毕前启封并使用完毕前 试题类型 试题类型 A 2016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项 注意事项 1 本试卷分第本试卷分第 卷卷 选择题选择题 和第和第 卷卷 非选择题非选择题 两部分两部分 第第 卷卷 1 至至 3 页 第页 第 卷卷 3 至至 5 页页 2 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在本试题相应的位置答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在本试题相应的位置 3 全部答案在答题卡上完成 答在本试题上无效全部答案在答题卡上完成 答在本试题上无效 4 考试结束后 将本试题和答题卡一并交回考试结束后 将本试题和答题卡一并交回 第第 卷卷 一一 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的的 1 设集合 设集合 则 则 2 430 Ax xx 230 Bxx AB A B C D 3 3 2 3 3 2 3 1 2 3 3 2 解析解析 2 43013 Ax xxxx 3 230 2 Bxxx x 故选故选 D 3 3 2 ABxx I 2 设 设 其中 其中 x y 是实数 则是实数 则 1 i 1ixy i xy A 1 B C D 2 23 解析解析 由由可知 可知 故 故 解得 解得 11i xyi 1xxiyi 1x xy 1 1 x y 所以 所以 故选 故选 B 22 2xyixy 3 已知等差数列 已知等差数列前前 9 项的和为项的和为 27 则 则 n a 10 8 a 100 a A 100 B 99 C 98 D 97 解析解析 由等差数列性质可知 由等差数列性质可知 故故 19 5 95 992 927 22 aaa Sa 5 3 a 而而因此公差因此公差 10 8 a 105 1 105 aa d 故选 故选 C 10010 9098 aad 4 某公司的班车在 某公司的班车在 7 00 8 00 8 30 发车 小明在发车 小明在 7 50 至至 8 30 之间到达发车站乘坐班车 且到达之间到达发车站乘坐班车 且到达 发车站的时刻是随机的 则他等车时间不超过发车站的时刻是随机的 则他等车时间不超过 10 分钟的概率是分钟的概率是 A B C D 1 1 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 解析解析 如图所示 画出时间轴 如图所示 画出时间轴 8 208 107 507 408 308 007 30 BACD 小明到达的时间会随机的落在图中线段小明到达的时间会随机的落在图中线段中 而当他的到达时间落在线段中 而当他的到达时间落在线段或或时 时 ABACDB 才能保证他等车的时间不超过才能保证他等车的时间不超过 10 分钟分钟 根据几何概型 所求概率为根据几何概型 所求概率为 故选 故选 B 201 402 5 已知方程 已知方程表示双曲线 且该双曲线两焦点间的距离为表示双曲线 且该双曲线两焦点间的距离为 4 则 则 n 的取值范围的取值范围 22 22 1 3 xy mnmn 是是 A B C D 1 3 1 3 0 3 0 3 解析解析 表示双曲线 则表示双曲线 则 22 22 1 3 xy mnmn 22 30 mnmn 22 3 mnm 由双曲线性质知 由双曲线性质知 其中 其中是半焦距是半焦距 2222 34 cmnmnm c 焦距焦距 解得 解得22 24cm 1 m 故选故选 A 13 n 6 如图 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 如图 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 若该几何体的体积若该几何体的体积 是是则它的表面积是则它的表面积是 28 3 A 17 B 18 C 20 D 28 解析解析 原立体图如图所示 原立体图如图所示 是一个球被切掉左上角的是一个球被切掉左上角的后的三视图后的三视图 1 8 表面积是表面积是的球面面积和三个扇形面积之和的球面面积和三个扇形面积之和 7 8 故选故选 A 22 71 42 32 17 84 S 7 函数 函数在在的图像大致为的图像大致为 2 2 x yxe 2 2 A B C D 解析解析 排除 排除 A 22 2882 80fe 排除 排除 B 22 2882 71fe 时 时 0 x 2 2 x f xxe 当 当时 时 4 x fxxe 1 0 4 x 0 1 40 4 fxe 因此因此在在单调递减 排除单调递减 排除 C f x 1 0 4 故选故选 D 8 若 若 则 则 101abc A B C D cc ab cc abba loglog ba acbc loglog ab cc 解析解析 对对 A 由于 由于 函数函数在在上单调递增 因此上单调递增 因此 A 错误错误01c c yx R1 cc abab 对对 B 由于由于 函数函数在在上单调递减 上单调递减 110c 1c yx 1 B 错误错误 11 1 cccc ababbaab 对对 C 要比较要比较和和 只需比较 只需比较和和 只需比较 只需比较和和 logbaclogabc ln ln ac b ln ln bc a ln ln c bb ln ln c aa 只需比较只需比较和和lnbblnaa 构造函数构造函数 则 则 在在上单调递增 上单调递增 ln1f xxx x ln110fxx f x 1 因此因此 11 0lnln0 lnln f af baabb aabb 又由又由得得 C 正确正确01c ln0c lnln loglog lnln ab cc bcac aabb 对对 D 要比较要比较和和 只需比较 只需比较和和logaclogbc ln ln c a ln ln c b 而函数而函数在在上单调递增 故上单调递增 故lnyx 1 11 1lnln0 lnln abab ab 又由又由得得 D 错误错误 故选故选 C 01c ln0c lnln loglog lnln ab cc cc ab 9 执行右面的程序图 如果输入的 执行右面的程序图 如果输入的 则 则 011xyn 输出输出 x y 的值满足的值满足 A B 2yx 3yx C D 4yx 5yx 解析解析 如下表 如下表 循环节运循环节运 行次数行次数 1 2 n x xx y yny 判断判断 22 36xy 是否是否 输出输出 1n nn 运行前运行前01 1 第一次第一次01否否否否2 第二次第二次 1 2 2否否否否3 第三次第三次 3 2 6是是是是 输出输出 满足 满足故选故选 C 3 2 x 6y 4 yx 10 以抛物线以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交的顶点为圆心的圆交 C 于于 A B 两点 交两点 交 C 的标准线于的标准线于 D E 两点两点 已知已知 AB DE 则 则 C 的焦点到准线的距离为的焦点到准线的距离为 4 22 5 A 2 B 4 C 6 D 8 解析解析 以开口向右的抛物线为例来解答 其他开口同理以开口向右的抛物线为例来解答 其他开口同理 设抛物线为设抛物线为 设圆的方程为 设圆的方程为 题目条件翻译如图 题目条件翻译如图 2 20ypx p 222 xyr 设设 0 2 2 5 2 p A xD 点点在抛物线在抛物线上 上 0 2 2 A x 2 2ypx 0 82px 点点在圆在圆上上 5 2 p D 222 xyr 2 2 5 2 p r 点点在圆在圆上 上 0 2 2 A x 222 xyr 22 0 8xr 联立联立 解得 解得 焦点到准线的距离为 焦点到准线的距离为 4p 4p F 故选故选 B 11 平面平面 a 过正方体过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点的顶点 A a 平面平面 CB1D1 平面平面 ABCD m 平面平面 a a ABA1B1 n 则 则 m n 所成角的正弦值为所成角的正弦值为 A B C D 3 2 2 2 3 3 1 3 解析解析 如图所示 如图所示 平面平面 若设平面若设平面平面平面 11 CB D 11 CB D I 则 则 1 ABCDm 1 mm 又又 平面平面 平面平面 结合平面 结合平面平平 ABCD 1111 ABC D 11 B DC I 面面 111111 ABC DB D 故 故 111 B Dm 11 B Dm 同理可得 同理可得 1 CDn 故故的所成角的大小与的所成角的大小与所成角的大小相等 即所成角的大小相等 即的大小 的大小 mn 111 CDB D 11 CD B 而而 均为面对交线 均为面对交线 因此 因此 即 即 1111 BCB DCD 11 3 CD B 11 3 sin 2 CD B 故选故选 A 12 已知函数已知函数 为为的零点 的零点 为为图像的图像的 sin 0 24 f xx x f x 4 x yf x 对称轴 且对称轴 且在在单调 则单调 则的最大值为的最大值为 f x 5 18 36 A 11 B 9 C 7 D 5 解析解析 由题意知 由题意知 则则 其中 其中 1 2 4 42 k k 21k k Z 在在单调 单调 f xQ 5 18 36 5 12 3618122 T 接下来用排除法接下来用排除法 若若 此时 此时 在 在递增 在递增 在递减 不满足递减 不满足在在 11 4 sin 11 4 f xx 3 18 44 3 5 44 36 f x A A1 B B1 D C C1 D1 单调单调 5 18 36 若若 此时 此时 满足 满足在在单调递减单调递减 故选故选 B 9 4 sin 9 4 f xx f x 5 18 36 第第 II 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分 第第 13 题题 第第 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答题为必考题 每个试题考生都必须作答 第第 22 题题 第第 24 题为选考题 考生根据要求作答题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 3 小题 每小题小题 每小题 5 分分 13 设向量设向量 a m 1 b 1 2 且 且 a b 2 a 2 b 2 则 则 m 解析解析 由已知得 由已知得 1 3abm rr 解得 解得 222 2 22222 13112ababmm rrrr 2m 14 的展开式中 的展开式中 x3的系数是的系数是 用数字填写答案 用数字填写答案 5 2 xx 解析解析 设展开式的第设展开式的第项为项为 1k 1k T 0 1 2 3 4 5k 5 5 5 2 155 C2C 2 k k k kkk k Txxx 当当时 时 即 即53 2 k 4k 4 5 45 43 2 55 C 210Txx 故答案为故答案为 10 15 设等比数列 设等比数列满足满足 a1 a3 10 a2 a4 5 则 则 a1a2 an的最大值为的最大值为 解析解析 由于由于是等比数列 设是等比数列 设 其中 其中是首项 是首项 是公比 是公比 n a 1 1 n n aa q 1 aq 解得 解得 2 1311 3 24 11 1010 5 5 aaaa q aa a qa q 1 8 1 2 a q 故故 4 1 2 n n a 2 11749 32 47 2224 12 111 222 nn nn n aaa 当当或或时 时 取到最小值取到最小值 此时 此时取到最大值取到最大值 3n 4 2 1749 224 n 6 2 1749 224 1 2 n 6 2 所以所以的最大值为的最大值为 64 12 n aaa 16 某高科技企业生产产品 某高科技企业生产产品 A 和产品和产品 B 需要甲 乙两种新型材料 生产一件产品需要甲 乙两种新型材料 生产一件产品 A 需要甲材料需要甲材料 1 5kg 乙材料 乙材料 1kg 用 用 5 个工时 生产一件产品个工时 生产一件产品 B 需要甲材料需要甲材料 0 5kg 乙材料 乙材料 0 3kg 用 用 3 个工时 生个工时 生 产一件产品产一件产品 A 的利润为的利润为 2100 元 生产一件产品元 生产一件产品 B 的利润为的利润为 900 元 该企业现有甲材料元 该企业现有甲材料 150kg 乙材料 乙材料 90kg 则在不超过 则在不超过 600 个工时的条件下 生产产品个工时的条件下 生产产品 A 产品 产品 B 的利润之和的最大值为的利润之和的最大值为 元 元 解析解析 设生产设生产 A 产品产品件 件 B 产品产品件 根据所耗费的材料要求 工时要求等其他限制条件 构造件 根据所耗费的材料要求 工时要求等其他限制条件 构造xy 线性规则约束为线性规则约束为 1 50 5150 0 390 53600 0 0 xy xy xy x y xN yN 目标函数目标函数2100900zxy 作出可行域为图中的四边形 包括边界 顶点为作出可行域为图中的四边形 包括边界 顶点为 60 100 0 200 0 0 90 0 在在处取得最大值 且最大值为处取得最大值 且最大值为 60 100 210060900 100216000z 三三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分为 本题满分为 12 分 分 的内角的内角 A B C 的对边分别别为的对边分别别为 a b c 已知 已知 ABCV 2cos coscos C aB bAc I 求 求 C II 若 若的面积为的面积为 求 求的周长 的周长 7 cABC A 3 3 2ABCV 解析解析 2coscoscosC aBbAc 由正弦定理得 由正弦定理得 2cossincossincossinCABBAC 2cossinsinCABC ABC 0 ABC sinsin0ABC 1 2cos1 cos 2 CC 0 C 3 C 由余弦定理得 由余弦定理得 222 2coscababC 22 1 72 2 abab 2 37abab 133 3 sin 242 SabCab 6 ab 2 1875 abab 故故周长为周长为ABC 57 abc 18 本题满分为 本题满分为 12 分 分 如图 在已如图 在已 A B C D E F 为顶点的五面体中 面为顶点的五面体中 面 ABEF 为正方形 为正方形 AF 2FD 且二面角 且二面角 D AF E 与二面角与二面角 C BE F 都是都是 90AFD 60 I 证明平面 证明平面 ABEFEFDC II 求二面角 求二面角 E BC A 的余弦值 的余弦值 解析解析 为正方形 为正方形 ABEFAFEF 90AFD AFDF 平面平面 平面平面 DFEF FIAF EFDCAF ABEF 故平面故平面平面平面 ABEF EFDC 由由 知知60 DFECEF 平面平面 平面平面 ABEF AB EFDCEF EFDC 平面平面AB EFDC 平面平面平面平面ABCD IEFDCCD ABCD CDEF 四边形四边形为等腰梯形为等腰梯形EFDC 以以为原点 如图建立坐标系 设为原点 如图建立坐标系 设 则 则 EFDa 000 020EBa 3 0 220 22 a CaAaa 3 020 2 22 a EBaBCaa uuruu u r 200 ABa uu u r 设面设面法向量为法向量为 BEC mxyz u r 即 即 0 0 m EB m BC u r uur u r uu u r 1 111 20 3 20 22 a y a xaya z 111 301 xyz 301 m u r 设面设面法向量为法向量为 ABC 222 nxyz r 即即 0 0 n BC n AB r uu u r r uu u r 222 2 3 20 22 20 a xayaz ax 222 034 xyz 034 n r 设二面角设二面角的大小为的大小为 EBCA 42 19 cos 1931316 m n mn u r r u rr 故二面角故二面角的余弦值为的余弦值为 EBCA 2 19 19 19 本小题满分 本小题满分 12 分 分 某公司计划购买某公司计划购买 2 台机器 该种机器使用三年后即被淘汰台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机器时 可以额机器有一易损零件 在购进机器时 可以额 外购买这种零件作为备件 每个外购买这种零件作为备件 每个 200 元元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个 500 元元 现需决现需决 策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的台这种机器在三年使用期内更换的 易损零件数 得下面柱状图 易损零件数 得下面柱状图 以这以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台台 机器更换的易损零件数发生的概率 记机器更换的易损零件数发生的概率 记表示表示 2 台机器台机器 X 三年内共需更换的易损零件数 三年内共需更换的易损零件数 表示购买表示购买 2 台机器的台机器的 n 同时购买的易损零件数同时购买的易损零件数 I 求 求的分布列 的分布列 X II 若要求 若要求 确定 确定的最小值 的最小值 0 5P Xn n III 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据 在在与与之中选其一 应选用哪个 之中选其一 应选用哪个 19n 20n 解析解析 每台机器更换的易损零件数为每台机器更换的易损零件数为 8 9 10 11 记事件记事件为第一台机器为第一台机器 3 年内换掉年内换掉个零件个零件 i A7i 1 2 3 4i 记事件记事件为第二台机器为第二台机器 3 年内换掉年内换掉个零件个零件 i B7i 1 2 3 4i 由题知由题知 134134 0 2P AP AP AP BP BP B 22 0 4P AP B 设设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 则则的可能的取值为的可能的取值为 16 17 18 19 20 21 22XX 11 160 20 20 04P XP A P B 1221 170 20 40 40 20 16P XP A P BP AP B 132231 180 20 20 20 20 40 40 24P XP A P BP AP BP AP B 14233241 19P XP A P BP AP BP AP BP AP B 0 20 20 20 20 40 20 20 40 24 243342 200 40 20 20 40 20 20 2P XP AP BP AP BP AP B 3443 210 20 20 20 20 08P xP AP BP AP B 44 220 20 20 04P xP AP B X16171819202122 P0 040 160 240 240 20 080 04 要令要令 0 5P xn 0 040 160 240 5 Q0 040 160 240 240 5 则则的最小值为的最小值为 19n 购买零件所需费用含两部分 一部分为购买机器时购买零件的费用 另一部分为备件不足时额购买零件所需费用含两部分 一部分为购买机器时购买零件的费用 另一部分为备件不足时额 外购买的费用外购买的费用 当当时 费用的期望为时 费用的期望为19n 192005000 210000 0815000 044040 当当时 费用的期望为时 费用的期望为20n 202005000 0810000 044080 所以应选用所以应选用19 n 20 本小题满分 本小题满分 12 分 分 设圆设圆的圆心为的圆心为 A 直线 直线 l 过点过点 B 1 0 且与 且与 x 轴不重合 轴不重合 l 交圆交圆 A 于于 C D 两点 两点 22 2150 xyx 过过 B 作作 AC 的平行线交的平行线交 AD 于点于点 E I 证明 证明为定值 并写出点为定值 并写出点 E 的轨迹方程 的轨迹方程 EAEB II 设点 设点 E 的轨迹为曲线的轨迹为曲线 C1 直线 直线 l 交交 C1于于 M N 两点 过两点 过 B 且与且与 l 垂直的直线与圆垂直的直线与圆 A 交于交于 P Q 两两 点 求四边形点 求四边形 MPNQ 面积的取值范围面积的取值范围 解析解析 圆圆 A 整理为整理为 A 坐标坐标 如图 如图 2 2 116xy 1 0 则 则 由 由则则BEACQ CEBD ACAD DC 则则EBDD EBED 4 AEEBAEEDAD 所以所以 E 的轨迹为一个椭圆 方程为的轨迹为一个椭圆 方程为 22 1 43 xy 0y 设 设 22 1 1 43 xy C 1l xmy 因为因为 设 设 联立 联立 与椭圆与椭圆 PQl 1PQ ym x l 1 C 得得 22 1 1 43 xmy xy 22 34690mymy 则则 22 2 22 22 3636 34121 1 1 3434 MN mmm MNmyym mm 圆心圆心到到距离距离 A PQ 22 1 1 2 11 mm d mm 所以所以 22 22 2 2 44 34 2 2 16 1 1 mm PQAQd m m 2 2 2 2 121 114 34 2234 1 MPNQ m m SMNPQ m m 2 2 2 2411 2412 8 3 1 34 3 1 m m m 故四边形故四边形 MPNQ 面积的取值范围为面积的取值范围为 12 8 3 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 141210864224 x E D A B C 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 1210864224 x Q P N M A B 21 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知函数已知函数有两个零点有两个零点 2 1 2 I 求求 a 的取值范围 的取值范围 II 设设 x1 x2是是的两个零点 证明 的两个零点 证明 x2 2 x1 解析解析 由已知得 由已知得 12112 xx fxxea xxea 若若 那么 那么 只有唯一的零点只有唯一的零点 不合题意 不合题意 0a 0202 x f xxex f x2x 若若 那么 那么 0a 20 xx eae 所以当所以当时 时 单调递增单调递增1x 0 fxf x 当当时 时 单调递减单调递减1x 0 fxf x 即 即 x 1 1 1 fx 0 f x 极小值极小值 故故在在上至多一个零点 在上至多一个零点 在上至多一个零点上至多一个零点 f x 1 1 由于由于 则 则 20fa 10fe 210ff 根据零点存在性定理 根据零点存在性定理 在在上有且仅有一个零点 上有且仅有一个零点 f x 1 2 而当而当时 时 1x x ee 210 x 故故 222 212111 x f xxea xe xa xa xe xe 则则的两根的两根 0f x 2 1 4 1 2 eeae t a 2 2 4 1 2 eeae t a 12 tt 因为因为 故当 故当或或时 时 0a 1 xt 2 xt 2 110a xe xe 因此 当因此 当且且时 时 1x 1 xt 0f x 又又 根据零点存在性定理 根据零点存在性定理 在在有且只有一个零点 有且只有一个零点 10fe f x 1 此时 此时 在在上有且只有两个零点 满足题意 上有且只有两个零点 满足题意 f xR 若若 则 则 0 2 e a ln2ln1ae 当当时 时 ln2xa 1ln210 xa ln2 220 ax eaea 即即 单调递增 单调递增 120 x fxxea f x 当当时 时 ln21ax 10 x ln2 220 ax eaea 即即 单调递减 单调递减 120 x fxxea f x 当当时 时 1x 10 x ln2 220 ax eaea 即即 单调递增 单调递增 0fx f x 即 即 x ln2a ln2a ln2 1a 1 1 fx 0 0 f x 极大值极大值 极小值极小值 而极大值而极大值 22 ln22ln22ln21ln2210faaaaaaa 故当故当时 时 在在处取到最大值处取到最大值 1x f x ln2xa ln2fa 那么那么恒成立 即恒成立 即无解无解 ln20f xfa 0f x 而当而当时 时 单调递增 至多一个零点单调递增 至多一个零点1x f x 此时此时在在上至多一个零点 不合题意 上至多一个零点 不合题意 f xR 若若 那么 那么 2 e a ln21a 当当时 时 1ln2xa 10 x ln2 220 ax eaea 即即 单调递增单调递增 0fx f x 当当时 时 1ln2xa 10 x ln2 220 ax eaea 即即 单调递增单调递增 0fx f x 又又在在处有意义 故处有意义 故在在上单调递增 此时至多一个零点 不合题意 上单调递增 此时至多一个零点 不合题意 f x1x f xR 若若 则 则 2 e a ln21a 当当时 时 1x 10 x ln21 2220 ax eaeaea 即即 单调递增单调递增 0fx f x 当当时 时 1ln2xa 10 x ln2 220 ax eaea 即即 单调递减单调递减 0fx f x 当当时 时 ln2xa 1ln210 xa ln2 220 ax eaea 即即 单调递增单调递增 0fx f x 即 即 x 1 1 1 ln2a ln2a ln2 a fx 0 0 f x 极大值极大值 极小值极小值 故当故当时 时 在在处取到最大值处取到最大值 那么 那么恒成立 即恒成立 即 ln2xa f x1x 1fe 0f xe 无解无解 0f x 当当时 时 单调递增 至多一个零点单调递增 至多一个零点 ln2xa f x 此时此时在在上至多一个零点 不合题意 上至多一个零点 不合题意 f xR 综上所述 当且仅当综上所述 当且仅当时符合题意 即时符合题意 即的取值范围为的取值范围为 0a a 0 由已知得 由已知得 不难发现 不难发现 12 0f xf x 12 1 1 xx 故可整理得 故可整理得 12 12 22 12 22 11 xx xexe a xx 设设 则 则 2 2 1 x xe g x x 12 g xg x 那么那么 当 当时 时 单调递减 单调递减 2 3 21 1 x x gxe x 1x 0gx g x 当当时 时 单调递增 单调递增 1x 0gx g x 设设 构造代数式 构造代数式 0m 1112 222 1111 111 1 mmmm mmmm gmgmeeee mmmm 设设 2 1 1 1 m m h me m 0m 则则 故 故单调递增 有单调递增 有 2 2 2 2 0 1 m m h me m h m 00h mh 因此 对于任意的因此 对于任意的 0m 11gmgm 由由可知可知不可能在不可能在的同一个单调区间上 的同一个单调区间上 12 g xg x 12 x x g x 不妨设不妨设 则必有 则必有 12 xx 12 1xx 令令 则有 则有 1 10mx 11112 11112gxgxgxg xg x 而而 在在上单调递增 上单调递增 1 21x 2 1x g x 1 因此 因此 1212 22gxg xxx 整理得 整理得 12 2xx 请考生在请考生在 22 23 24 题中任选一题作答题中任选一题作答 如果多做如果多做 则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分 做答时请写清题号做答时请写清题号 22 本小题满分 本小题满分 10 分 选修分 选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 如图 如图 OAB 是等腰三角形 是等腰三角形 AOB 120 以以 O 为圆心 为圆心 OA 为半径作圆为半径作圆 1 2 I 证明 直线证明 直线 AB 与与 O 相切 相切 II 点点 C D 在在 O 上 且上 且 A B C D 四点共圆 证明 四点共圆 证明 AB CD 解析解析 设圆的半径为设圆的半径为 作 作于于 rOKAB K 120OAOBAOB 30sin30 2 OA OKABAOKOAr 与与相切相切 AB O 方法一 假设方法一 假设与与不平行不平行 则则与与交于交于 CD AB CD ABF 2 FKFC FD 四点共圆四点共圆 ABCD FC FDFA FBFKAKFKBK AK BK 22 FC FDFKAKFKAKFKAK 由由 可知矛盾可知矛盾 AB CD 方法二 因为方法二 因为四点共圆 不妨设圆心为四点共圆 不妨设圆心为 A B C D T 因为因为所以所以为为的中垂线上 的中垂线上 OAOB TATB O T AB 同理同理所以所以为为的中垂线 所以的中垂线 所以 OCOD TCTD OTCDABCD 23 本小题满分 本小题满分 10 分 选修分 选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 在直线坐标系在直线坐标系 xoy 中 曲线中 曲线 C1的参数方程为的参数方程为 t 为参数 为参数 a 0 在以坐标原点为极点 在以坐标原点为极点 1 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 C2 4cos I 说明 说明 C1是哪种曲线 并将是哪种曲线 并将 C1的方程化为极坐标方程 的方程化为极坐标方程 II 直线 直线 C3的极坐标方程为的极坐标方程为 0 其中 其中 0满足满足 tan 0 2 若曲线 若曲线 C1与与 C2的公共点都在的公共点都在 C3上 求上 求 a 解析解析 均为参数 均为参数 cos 1sin xat yat t 2 22 1xya 为以为以为圆心 为圆心 为半径的圆 方程为为半径的圆 方程为 1 C 01 a 222 210 xyya 即为即为的极坐标方程的极坐标方程 222 sinxyy 22 2 sin10a 1 C 2 4cosC 两边同乘两边同乘得得 2222 4 coscosxyx Q 即即 22 4xyx 2 2 24xy 化为普通方程为 化为普通方程为 3 C2yx 由题意 由题意 和和的公共方程所在直线即为的公共方程所在直线即为 1 C 2 C 3 C 得 得 即为 即为 2 4210 xya 3 C 2 10a 1a 24 本小题满分 本小题满分 10 分 分 选修 选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 已知函数已知函数 f x x 1 2x 3 I 在答题卡第 在答题卡第 24 题图中画出 题图中画出 y f x 的图像 的图像 II 求不等式 求不等式 f x 1 的解集 的解集 解析解析 如图所示 如图所示 41 3 321 2 3 4 2 xx f xxx xx 1f x 当当 解得 解得或或1x 41x 5x 3 x 1x 当当 解得 解得或或 3 1 2 x 321x 1x 1 3 x 或或 1 1 3 x 3 1 2 x 当当 解得 解得或或 或或 3 2 x 41x 5x 3x 3 3 2 x 5x 综上 综上 或或或或 1 3 x 13x 5x 的解集为的解集为 1f x 1 135 3 UU 20172017 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 数学数学 I I 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页 包含非选择题 第 1 题 第 20 题 共 20 题 本卷满分为 160 分 考试 时间为 120 分钟 考试结束后 请将本试卷和答题卡一并交回 2 答题前 请务必将自己的姓名 准考证号用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位 置 3 请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名 准考证号与本人是否相符 4 作答试题 必须用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答 在其他位置作 答一律无效 5 如需改动 须用 2B 铅笔绘 写清楚 线条 符号等须加黑 加粗 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共计分 共计 70 分 分 1 5 分 已知集合 A 1 2 B a a2 3 若 A B 1 则实数 a 的值为 2 5 分 已知复数 z 1 i 1 2i 其中 i 是虚数单位 则 z 的模是 3 5 分 某工厂生产甲 乙 丙 丁四种不同型号的产品 产量分别为 200 400 300 100 件 为 检验产品的质量 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验 则应从丙种型号的产 品中抽取 件 4 5 分 如图是一个算法流程图 若输入 x 的值为 则输出 y 的值是 16 1 第 4 题 第 6 题 第 12 题 5 5 分 若 tan 则 tan 4 6 1 6 5 分 如图 在圆柱 O1O2内有一个球 O 该球与圆柱的上 下底面及母线均相切 记圆柱 O1O2的 体积为 V1 球 O 的体积为 V2 则的值是 2 1 V V 7 5 分 记函数 f x 定义域为 D 在区间 4 5 上随机取一个数 x 则 x D 的概率是 2 6xx 8 5 分 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点1 3 2 2 y x P Q 其焦点是 F1 F2 则四边形 F1PF2Q 的面积是 9 5 分 等比数列 an 的各项均为实数 其前 n 项为 Sn 已知 S3 S6 则 a8 4 7 4 63 10 5 分 某公司一年购买某种货物 600 吨 每次购买 x 吨 运费为 6 万元 次 一年的总存储费用为 4x 万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则 x 的值是 11 5 分 已知函数 其中 e 是自然对数的底数 若 x x e exxxf 1 2 3 0 则实数 a 的取值范围是 2 1 2 afaf 12 5 分 如图 在同一个平面内 向量 的模分别为 1 1 与的夹OAOBOC2OAOC 角为 且 tan 7 与的夹角为 45 若 m n m n R 则 m n OBOCOCOAOB 13 5 分 在平面直角坐标系 xOy 中 A 12 0 B 0 6 点 P 在圆 O x2 y2 50 上 若 20 则点 P 的横坐标的取值范围是 PBPA 14 5 分 设 f x 是定义在 R 上且周期为 1 的函数 在区间 0 1 上 其中 Dxx Dxx xf 2 集合 则方程的解的个数是 1 Nn n n xxD0lg xxf 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 分 15 14 分 如图 在三棱锥 A BCD 中 AB AD BC BD 平面 ABD 平面 BCD 点 E F E 与 A D 不重合 分别在棱 AD BD 上 且 EF AD 求证 1 EF 平面 ABC 2 AD AC 16 14 分 已知向量 cosx sinx 3 x 0 ab3 1 若 求 x 的值 a b 2 记 f x 求 f x 的最大值和最小值以及对应的 x 的值 ba 17 14 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 E a b 0 的左 右焦点分别为1 2 2 2 2 b y a x F1 F2 离心率为 两准线之间的距离为 8 点 P 在椭圆 E 上 且位于第一象限 过点 F1作直线 2 1 PF1的垂线 l1 过点 F2作直线 PF2的垂线 l2 1 求椭圆 E 的标准方程 2 若直线 l1 l2的交点 Q 在椭圆 E 上 求点 P 的坐标 18 16 分 如图 水平放置的正四棱柱形玻璃容器 和正四棱台形玻璃容器 的高均为 32cm 容器 的底面对角线 AC 的长为cm 容器 的两底面对角线 EG E1G1的长分别为 14cm 和 62cm 分710 别在容器 和容器 中注入水 水深均为 12cm 现有一根玻璃棒 l 其长度为 40cm 容器厚度 玻 璃棒粗细均忽略不计 1 将 l 放在容器 中 l 的一端置于点 A 处 另一端置于侧棱 CC1上 求 l 没入水中部分的长度 2 将 l 放在容器 中 l 的一端置于点 E 处 另一端置于侧棱 GG1上 求 l 没入水中部分的长度 19 16 分 对于给定的正整数 k 若数列 an 满足 an k an k 1 an 1 an 1 an k 1 an k 2kan对任意正 整数 n n k 总成立 则称数列 an 是 P k 数列 1 证明 等差数列 an 是 P 3 数列 2 若数列 an 既是 P 2 数列 又是 P 3 数列 证明 an 是等差数列 20 16 分 已知函数 a 0 bR 有极值 且导函数 的极值点是1 23 bxaxxxf f x f x 的零点 极值点是指函数取极值时对应的自变量的值 1 求 b 关于 a 的函数关系式 并写出定义域 2 证明 b2 3a 3 若 这两个函数的所有极值之和不小于 求 a 的取值范围 f x f x 2 7 20172017 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 数学数学 IIII 附加题 附加题 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 2 页 均为非选择题 第 21 题 第 23 题 本卷满分为 40 分 考试时间为 30 分钟 考试 结束后 请将本试卷和答题卡一并交回 2 答题前 请务必将自己的姓名 准考证号用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位 置 3 请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名 准考证号与本人是否相符 4 作答试题 必须用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答 在其他位置作 答一律无效 5 如需改动 须用 2B 铅笔绘 写清楚 线条 符号等须加黑 加粗 三 附加题 本大题共三 附加题 本大题共 3 小题 共计小题 共计 40 分 分 21 选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两小题 并在相应的答题区域内作答 若多 做 则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 1 几何证 明选讲 10 分 如图 AB 为半圆 O 的直径 直线 PC 切半圆 O 于点 C AP PC P 为垂足 求证 1 PAC CAB 2 AC2 AP AB B 选修 4 2 矩阵与变换 10 分 已知矩阵 A B 01 10 20 01 1 求 AB 2 若曲线 C1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2 求 C2的方程 1 28 22 yx C 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知直线 l 的参数方程为 t 为参数 曲线 C 的参数方程为 2 8 t y tx s 为参数 设 P 为曲线 C 上的动点 求点 P 到直线 l 的距离的最小值 sy sx 22 2 2 D 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知 a b c d 为实数 且 a2 b2 4 c2 d2 16 证明 ac bd 8 22 10 分 如图 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 AA1 平面 ABCD 且 AB AD 2 AA1 BAD 120 3 1 求异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值 2 求二面角 B A1D A 的正弦值 23 已知一个口袋有 m 个白球 n 个黑球 m nN n 2 这些球除颜色外全部相同 现将口袋中 的球随机的逐个取出 并放入如图所示的编号为 1 2 3 m n 的抽屉内 其中第 k 次取出的球放 入编号为 k 的抽屉 k 1 2 3 m n 123 m n 1 试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p 2 随机变量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数 E X 是 X 的数学期望 证明 E X 1 nnm n 20172017 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 数学数学 I I 一 填空题 一 填空题 1 5 分 已知集合 A 1 2 B a a2 3 若 A B 1 则实数 a 的值为 1 分析 利用交集定义直接求解 解答 解 集合 A 1 2 B a a2 3 A B 1 a 1 或 a2 3 1 解得 a 1 故答案为 1 点评 本题考查实数值的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意交集定义及性质的合理运用 2 5 分 已知复数 z 1 i 1 2i 其中 i 是虚数单位 则 z 的模是 10 分析 利用复数的运算法则 模的计算公式即可得出 解答 解 复数 z 1 i 1 2i 1 2 3i 1 3i z 22 3 1 10 故答案为 10 点评 本题考查了复数的运算法则 模的计算公式 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 3 5 分 某工厂生产甲 乙 丙 丁四种不同型号的产品 产量分别为 200 400 300 100 件 为 检验产品的质量 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验 则应从丙种型号的产 品中抽取 18 件 分析 由题意先求出抽样比例即为 再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目 100 6 解答 解 产品总数为 200 400 300 100 1000 件 而抽取 60 辆进行检验 抽样比例为 1000 60 100 6 则应从丙种型号的产品中抽取 300 18 件 100 6 故答案为 18 点评 本题的考点是分层抽样 分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致 按照 一定的比例 即样本容量和总体容量的比值 在各层中进行抽取 4 5 分 如图是一个算法流程图 若输入 x 的值为 则输出 y 的值是 2 16 1 分析 直接模拟程序即得结论 解答 解 初始值 x 不满足 x 1 16 1 y 2 log2 2 log2 2 16 1 4 2 故答案为 2 点评 本题考查程序框图 模拟程序是解决此类问题的 常用方法 注意解题方法的积累 属于基础题 5 5 分 若 tan 则 tan 1 4 4 6 1 分析 直接根据两角差的正切公式计算即可 解答 解 tan 4 6 1 1tan 1tan 4 tantan1 4 tantan 6tan 6 tan 1 解得 tan 1 4 故答案为 1 4 点评 本题考查了两角差的正切公式 属于基础题 6 5 分 如图 在圆柱 O1O2内有一个球 O 该球与圆柱的上 下底面及母线均相切 记圆柱 O1O2的 体积为 V1 球 O 的体积为 V2 则的值是 1 5 2 1 V V 分析 设出球的半径 求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果 解答 解 设球的半径为 R 则球的体积为 R3 3 4 圆柱的体积为 R2 2R 2 R3 则 2 3 3 4 2 3 3 2 1 R