2011届高考数学权威预测 27等比数列 新人教A版

等比数列等比数列 一 一 课标要求课标要求 1 通过实例 理解等比数列的概念 2 探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式 3 能在具体的问题情境中 发现数列的等比关系 并能用有关知识解决相应的问题 体会等比数列与指数函数的关系 二 二 命题走向命题走向 等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位 是高考出题的重点 客观性的试题 考察等比数列的概念 性质 通项公式 求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用 对基 本的运算要求比较高 解答题大多以数列知识为工具 预测 2011 年高考对本讲的考察为 1 题型以等比数列的公式 性质的灵活应用为主的 1 2 道客观题目 2 关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点 3 解决问题时注意数学思想的应用 象通过逆推思想 函数与方程 归纳猜想 等 价转化 分类讨论等 它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力 三 三 要点精讲要点精讲 1 等比数列定义 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常 数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用 字母q表示 0 q 即 1n a 0 n aq q 数列对于数列 1 2 3 都是等 比数列 它们的公比依次是2 5 2 1 注意 从第二项起 常数 q 等比 数列的公比和项都不为零 2 等比数列通项公式为 0 1 1 1 qaqaa n n 说明 1 由等比数列的通项公式可以知道 当公比1d 时该数列既是等比数列也是 等差数列 2 等比数列的通项公式知 若 n a为等比数列 则 m n m n a q a 3 等比中项 如果在ba与中间插入一个数G 使bGa 成等比数列 那么G叫做ba与的等比中项 两个符号相同的非零实数 都有两个等比中项 4 等比数列前 n 项和公式 一般地 设等比数列 123 n a a aa 的前 n 项和是 n S 123n aaaa 当 1 q时 q qa S n n 1 1 1 或 1 1 n n aa q S q 当 q 1 时 1 naSn 错位相减法 说明 1 n Snqa 1 和 nn Sqaa 1 各已知三个可求第四个 2 注意求和公式中是 n q 通项公式中是 1 n q不要混淆 3 应用求和公式时1 q 必要时应讨论1 q的情况 四 四 典例解析典例解析 题型 1 等比数列的概念 例 1 公差为 0 的等差数列是等比数列 公比为 2 1 的等比数列一定是递减数列 a b c 三数成等比数列的充要条件是 b2 ac a b c 三数成等差数列的充要条件是 2b a c 以上四个命题中 正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解析 四个命题中只有最后一个是真命题 命题 1 中未考虑各项都为 0 的等差数列不是等比数列 命题 2 中可知 an 1 an 2 1 an 1 an未必成立 当首项 a1 0 时 anan 即 an 1 an 此时该数列为递增数列 命题 3 中 若 a b 0 c R 此时有acb 2 但数列 a b c 不是等比数列 所以应是 必要而不充分条件 若将条件改为 b ac 则成为不必要也不充分条件 点评 该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论 为此我们要注 意一些有关等差数列 等比数列的重要结论 例 2 命题 1 若数列 an 的前 n 项和 Sn an b a 1 则数列 an 是等比数列 命题 2 若数列 an 的前 n 项和 Sn an2 bn c a 0 则数列 an 是等差数列 命题 3 若数列 an 的前 n 项和 Sn na n 则数列 an 既是等差数列 又是等比数列 上述三个命题中 真命题有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 解析 由命题 1 得 a1 a b 当 n 2 时 an Sn Sn 1 a 1 an 1 若 an 是等比数 列 则 1 2 a a a 即 ba aa 1 a 所以只有当 b 1 且 a 0 时 此数列才是等比数列 由命题 2 得 a1 a b c 当 n 2 时 an Sn Sn 1 2na b a 若 an 是等差数列 则 a2 a1 2a 即 2a c 2a 所以只有当 c 0 时 数列 an 才是等差数列 由命题 3 得 a1 a 1 当 n 2 时 an Sn Sn 1 a 1 显然 an 是一个常数列 即公差 为 0 的等差数列 因此只有当 a 1 0 即 a 1 时数列 an 才又是等比数列 点评 等比数列中通项与求和公式间有很大的联系 上述三个命题均涉及到 Sn与 an的 关系 它们是 an 1 1 nn SS a 时当 时当 2 1 n n 正确判断数列 an 是等差数列或等比数列 都必须 用上述关系式 尤其注意首项与其他各项的关系 上述三个命题都不是真命题 选择 A 题型 2 等比数列的判定 例 3 已知等比数列 n a中 2 1a 则其前 3 项的和 3 S的取值范围是 D 1 01 3 13 解 1 等比数列 n a中 2 1a 当公比为 1 时 123 1aaa 3 3S 当公比为1 时 123 1 1 1aaa 3 1S 从而淘汰 故选 D 解 2 等比数列 n a中 2 1a 31232 11 11Saaaaqq qq 当公比0q 时 3 11 1123Sqq qq 当公比0q 时 3 11 11 21Sqq qq 3 13 S 故选 D 考点 此题重点考察等比数列前n项和的意义 等比数列的通项公式 以及均值不等式 的应用 突破 特殊数列入手淘汰 重视等比数列的通项公式 前n项和 以及均值不等式的应 用 特别是均值不等式使用的条件 点评 本题主要考查等比数列的概念和基本性质 推理和运算能力 例 4 2009 浙江文 设 n S为数列 n a的前n项和 2 n Sknn nN 其中k是常 数 I 求 1 a及 n a II 若对于任意的 mN m a 2m a 4m a成等比数列 求k的值 解 当1 1 11 kSan 12 1 1 2 22 1 kknnnknknSSan nnn 经验 1 n 式成立 12 kknan mmm aaa 42 成等比数列 mmm aaa 4 2 2 即 18 12 14 2 kkmkkmkkm 整理得 0 1 kmk 对任意的 Nm成立 10 kk或 题型 3 等比数列的通项公式及应用 例 5 一个等比数列有三项 如果把第二项加上 4 那么所得的三项就成为等差数列 如 果再把这个等差数列的第三项加上 32 那么所得的三项又成为等比数列 求原来的等比数列 解析 设所求的等比数列为 a aq aq2 则 2 aq 4 a aq2 且 aq 4 2 a aq2 32 解得 a 2 q 3 或 a 9 2 q 5 故所求的等比数列为 2 6 18 或 9 2 9 10 9 50 点评 第一种解法利用等比数列的基本量qa 1 先求公比 后求其它量 这是解等差数 列 等比数列的常用方法 其优点是思路简单 实用 缺点是有时计算较繁 例 6 2009 山东卷文 等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 已知对任意的nN 点 n n S 均在函数 0 x ybr b 且1 bb r 均为常数 的图像上 1 求 r 的值 11 当 b 2 时 记 1 4 n n n bnN a 求数列 n b的前n项和 n T 解 因为对任意的nN 点 n n S 均在函数 0 x ybr b 且1 bb r 均为常数 的图 像上 所以得 n n Sbr 当1n 时 11 aSbr 当2n 时 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb 又因为 n a 为等比数列 所以1r 公比为b 所以 1 1 n n abb 2 当 b 2 时 11 1 2 nn n abb 11 111 44 22 n nn n nnn b a 则 2341 2341 2222 n n n T 34512 12341 222222 n nn nn T 相减 得 234512 1211111 2222222 n nn n T 31 2 11 1 11 22 1 22 1 2 n n n 12 311 422 nn n 所以 11 31133 22222 n nnn nn T 命题立意 本题主要考查了等比数列的定义 通项公式 以及已知 n S求 n a的基本题型 并 运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n项和 n T 例 7 1 2009 安徽卷文 已知数列 的前 n 项和 数列 的前 n 项和 求数列 与 的通项公式 设 证明 当且仅当 n 3 时 思路 由 1 1 1 2 nn an a ssn 可求出 nn ab和 和 这是数列中求通项的常用方法之一 在求 出 nn ab和 和后 进而得到 n c 接下来用作差法来比较大小 这也是一常用方法 解析 1 由于 11 4as 当2n 时 22 1 22 2 1 2 1 4 nnn assnnnnn 4 m an nN 又当xn 时 11 26 2 nnnmm bTTb 1 2 nn bb 数列 n b项与等比数列 其首项为 1 公比为 1 2 1 1 2 n n b 2 由 1 知 221 11 1 16 2 n n Cabn 2 1 1 2 1 2 21 1 16 1 1 2 1 2 16 2 n n n n n Cn Cn n 由 2 1 1 11 2 n n Cn Cn 得即 2 21012nnn 即3n 又3n 时 2 1 2 1 2 n n 成立 即 1 1 n n C C 由于0 n C 恒成立 因此 当且仅当3n 时 1nn CC 点评 对于等比数列求和问题要先分清数列的通项公式 对应好首项和公比求出最终结 果即可 例 8 1 设 an 为等差数列 bn 为等比数列 a1 b1 1 a2 a4 b3 b2b4 a3 分别求出 an 及 bn 的前 10 项的和S10及T10 2 在 1 与 2 之间插入n个正数a1 a2 a3 an 使这n 2 个数成等比数列 又 在 1 与 2 之间插入n个正数b1 b2 b3 bn 使这n 2 个数成等差数列 记 An a1a2a3 an Bn b1 b2 b3 bn 求数列 An 和 Bn 的通项 当n 7 时 比较An与Bn的大小 并证明你的结论 3 已知 an 是由非负整数组成的数列 满足a1 0 a2 3 an 1an an 1 2 an 2 2 n 3 4 5 求a3 证明an an 2 2 n 3 4 5 求 an 的通项公式及其前n项和Sn 解析 1 an 为等差数列 bn 为等比数列 a2 a4 2a3 b2b4 b32 已知a2 a4 b3 b2b4 a3 b3 2a3 a3 b32 得 b3 2b32 b3 0 b3 2 1 a3 4 1 由a1 1 a3 4 1 知 an 的公差为d 8 3 S10 10a1 8 55 2 910 d 由b1 1 b3 2 1 知 bn 的公比为q 2 2 或q 2 2 当q 2 2 时 22 32 31 1 1 10 1 10 q qb T 当q 2 2 时 22 32 31 1 1 10 1 10 q qb T 2 设公比为q 公差为d 等比数列 1 a1 a2 an 2 等差数列 1 b1 b2 bn 2 则A1 a1 1 q A2 1 q 1 q2 A3 1 q 1 q2 1 q3 又 an 2 1 qn 1 2 得qn 1 2 An q q2 qn q 2 2 2 1 n nn n 1 2 3 又 bn 2 1 n 1 d 2 n 1 d 1 B1 b1 1 d B2 b2 b1 1 d 1 2d Bn 1 d 1 nd 2 3 n An Bn 当n 7 时 证明 当n 7 时 23 5 8 2 An Bn 2 3 7 An Bn 设当n k时 An Bn 则当n k 1 时 2 1 2 1 2 k k A 2 3 2 3 1 kBk 又 Ak 1 2 2 2 k 2 3 2 3 1 kBk且Ak Bk Ak 1 2 2 3 k Ak 1 Bk 1 2 3 2 3 12 2 3 2 3 2 3 2 kkk 又 k 8 9 10 Ak 1 Bk 1 0 综上所述 An Bn成立 3 解 由题设得a3a4 10 且a3 a4均为非负整数 所以a3的可能的值为 1 2 5 10 若a3 1 则a4 10 a5 2 3 与题设矛盾 若a3 5 则a4 2 a5 2 35 与题设矛盾 若a3 10 则a4 1 a5 60 a6 5 3 与题设矛盾 所以a3 2 用数学归纳法证明 当n 3 a3 a1 2 等式成立 假设当n k k 3 时等式成立 即ak ak 2 2 由题设 ak 1ak ak 1 2 ak 2 2 因为ak ak 2 2 0 所以ak 1 ak 1 2 也就是说 当n k 1 时 等式ak 1 ak 1 2 成立 根据 和 对于所有n 3 有an 1 an 1 2 解 由a2k 1 a2 k 1 1 2 a1 0 及a2k a2 k 1 2 a2 3 得 a2k 1 2 k 1 a2k 2k 1 k 1 2 3 即an n 1 n n 1 2 3 所以Sn 1 1 2 1 1 2 1 为奇数当 为偶数当 nnn nnn 点评 本小题主要考查数列与等差数列前n项和等基础知识 以及准确表述 分析和解 决问题的能力 题型 5 等比数列的性质 例 9 1 在各项都为正数的等比数列 an 中 首项a1 3 前三项和为 21 则 a3 a4 a5 A 33 B 72 C 84 D 189 2 2000 上海 12 在等差数列 an 中 若a10 0 则有等式 a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 n N N 成立 类比上述性质 相应地 在等比数列 bn 中 若b9 1 则有等式 成立 解析 1 答案 C 解 设等比数列 an 的公比为 q q 0 由题意得 a1 a2 a3 21 即 3 3q 3q2 21 q2 q 6 0 求得 q 2 q 3 舍去 所以 a3 a4 a5 q2 a1 a2 a3 4 8421 故 选 C 2 答案 b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 n N N 解 在等差数列 an 中 由a10 0 得 a1 a19 a2 a18 an a20 n an 1 a19 n 2a10 0 所以a1 a2 an a19 0 即a1 a2 an a19 a18 an 1 又 a1 a19 a2 a18 a19 n an 1 a1 a2 an a19 a18 an 1 a1 a2 a19 n 若a9 0 同理可得a1 a2 an a1 a2 a17 n 相应地等比数列 bn 中 则可得 b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 n N N 点评 本题考查了等比数列的相关概念及其有关计算能力 例 10 1 设首项为正数的等比数列 它的前 n 项和为 80 前 2n 项和为 6560 且前 n 项中数值最大的项为 54 求此数列的首项和公比 q 2 在 n 1 和1 n之间插入 n 个正数 使这2 n个数依次成等比数列 求所插入的 n 个数之积 3 设等比数列 an 的各项均为正数 项数是偶数 它的所有项的和等于偶数项和的 4 倍 且第二项与第四项的积是第 3 项与第 4 项和的 9 倍 问数列 lgan 的前多少项和最大 lg2 0 3 lg3 0 4 解析 1 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 依题意设 a1 0 Sn 80 S2n 6560 S2n 2Sn q 1 从而 1 1 1 n aq q 80 且 2 1 1 1 n aq q 6560 两式相除得 1 qn 82 即 qn 81 a1 q 1 0 即 q 1 从而等比数列 an 为递增数列 故前 n 项中数值最大的项为第 n 项 a1qn 1 54 从而 q 1 qn 1 qn qn 1 54 qn 1 81 54 27 q 1 81 27 n h q q 3 a1 q 1 2 故此数列的首为 2 公比为 3 2 解法 1 设插入的 n 个数为 n xxx 21 且公比为 q 则 2 1 1 1 1 1 11 nkq n xnnqq n n k k nn 22 1 212 21 1 11111 nnn n n n n nn n n q n q n q n q n q n xxxT 解法 2 设插入的 n 个数为 n xxx 21 1 1 10 nx n x n n n xxxxxx nnn 1 12110 nn xxxT 21 n nnnn n n xxxxxxT 1 1121 2 2 1 n n n n T 3 解法一设公比为q 项数为 2m m N 依题意有 9 1 1 1 1 3 1 2 1 3 11 2 2 1 2 1 qaqaqaqa q qqa q qa mm 化简得 108 3 1 1 9 1 1 4 1 2 1 a q qqa q q 解得 设数列 lgan 前n项和为Sn 则Sn lga1 lga1q2 lga1qn 1 lga1n q1 2 n 1 nlga1 2 1 n n 1 lgq n 2lg2 lg3 2 1 n n 1 lg3 2 3lg n2 2lg2 2 7 lg3 n 可见 当n 3lg 3lg 2 7 2lg2 时 Sn最大 而 4 02 4 073 04 3lg 3lg 2 7 2lg2 5 故 lgan 的前 5 项和最大 解法二 接前 3 1 108 1 q a 于是 lgan lg 108 3 1 n 1 lg108 n 1 lg 3 1 数列 lgan 是以 lg108 为首项 以 lg 3 1 为公差的等差数列 令 lgan 0 得 2lg2 n 4 lg3 0 n 4 0 4 043 02 3lg 3lg42lg2 5 5 由于n N 可见数列 lgan 的前 5 项和最大 点评 第一种解法利用等比数列的基本量qa 1 先求公比 后求其它量 这是解等差数 列 等比数列的常用方法 其优点是思路简单 实用 缺点是有时计算较繁 第二种解法利 用等比数列的性质 与 首末项等距 的两项积相等 这在解题中常用到 题型 6 等差 等比综合问题 例 11 已知公比为 10 qq的无穷等比数列 n a各项的和为 9 无穷等比数列 2n a各项的和为 5 81 求数列 n a的首项 1 a和公比q