2011届高三数学一轮巩固与练习：圆锥曲线的综合

用心 爱心 专心 1 巩固巩固 1 曲线 C 的方程是 y x 1 x 5 则下列四点中在曲线 C 上 的是 A 0 0 B 1 5 1 5 C 1 5 D 4 4 解析 选 D 1 x 5 C D 中点的横坐标满足 又曲线上点 的纵坐标与横坐标相等 故只有 D 满足 2 已知抛物线 C1 y 2x2与抛物线 C2关于直线 y x 对称 则 C2的准线方程为 A x B x 1 8 1 8 C x D x 1 2 1 2 解析 选 A 因 y 2x2的准线方程为 y 关于 y x 对称方 1 8 程为 x 1 8 3 原创题 设 x1 x2 R 常数 a 0 定义运算 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 若 x 0 则动点 P x 的轨迹是 x a A 圆 B 椭圆的一部分 C 双曲线的一部分 D 抛物线的一部分 解析 选 D x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 2 x a x a 2 x a 2ax 则 P x 2 设 P x1 y1 ax 即Error 消去 x 得 y12 4ax1 x1 0 y1 0 故点 P 的轨迹为抛物线的一部分 4 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 焦点为 F 1 0 直线 l 与 抛物线 C 相交于 A B 两点 若 AB 的中点为 2 2 则直线 l 的方程 为 解析 因为抛物线顶点在原点 焦点 F 1 0 故抛物线方程为 y2 4x 设 A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 则 y12 4x1 y22 4x2 y1 y2 y1 y2 4 x1 x2 用心 爱心 专心 2 kAB 1 4 y1 y2 直线 AB 的方程为 y 2 x 2 即 y x 答案 y x 5 如果过两点 A a 0 和 B 0 a 的直线与抛物线 y x2 2x 3 没有交点 那么实数 a 的取值范围是 解析 过 A B 两点的直线为 x y a 与抛物线 y x2 2x 3 联立得 x2 x a 3 0 因为直线与抛物线没有交点 则方程无解 即 1 4 a 3 0 解之得 a 13 4 答案 13 4 6 已知椭圆 C1 1 a b 0 的离心率为 直线 x2 a2 y2 b2 3 3 l y x 2 与以原点为圆心 椭圆 C1的短半轴长为半径的圆 O 相 切 1 求椭圆 C1的方程 2 设椭圆 C1的左焦点为 F1 右焦点为 F2 直线 l1过点 F1且垂 直于椭圆的长轴 动直线 l2垂直于 l1 垂足为点 P 线段 PF2的垂 直平分线交 l2于点 M 求点 M 的轨迹 C2的方程 解 1 由 e 得 1 e2 3 3 b2 a2 2 3 由直线 l x y 2 0 与圆 x2 y2 b2相切 得 b 2 2 所以 b a 23 所以椭圆的方程是 1 x2 3 y2 2 2 由条件 知 MF2 MP 即动点 M 到定点 F2 1 0 的距离等于 它到直线 l1 x 1 的距离 由抛物线的定义得点 M 的轨迹 C2的方 程是 y2 4x 练习 用心 爱心 专心 3 1 下列说法正确的是 A ABC 中 已知 A 1 1 B 4 1 C 2 3 则 AB 边上的高的 方程是 x 2 B 方程 y x2 x 0 的曲线是抛物线 C 已知平面上两定点 A B 动点 P 满足 PA PB AB 则 1 2 P 点的轨迹是双曲线 D 第一 三象限角平分线的方程是 y x 解析 选 D 曲线与方程概念 1 曲线上所有点的坐标都是这个 方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 选项 A 符合 1 但不符合 2 选项 B 符合 2 但不符合 1 选项 C 符合 2 但不 符合 1 选项 D 符合 1 2 故选 D 2 设抛物线 y2 8x 的准线与 x 轴交于点 Q 若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点 则直线 l 的斜率的取值范围是 A B 2 2 1 2 1 2 C 1 1 D 4 4 解析 选 C 设直线方程为 y k x 2 与抛物线联立方程组 整 理得 ky2 8y 16k 0 当 k 0 时 直线与抛物线有一个交点 当 k 0 时 由 64 64k2 0 解得 1 k 1 且 k 0 所以 1 k 1 3 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 y2 1 相交于 A B 两点 则 x2 4 AB 的最大值为 A 2 B 4 5 5 C D 4 10 5 8 10 5 解析 选 C 设直线 l 的方程为 y x t 代入 y2 1 消去 y x2 4 得 x2 2tx t2 1 0 由题意得 2t 2 5 t2 1 0 即 t2 5 弦 5 4 长 AB 4 2 5 t2 5 4 10 5 4 抛物线 y x2到直线 2x y 4 距离最近的点的坐标是 用心 爱心 专心 4 A B 1 1 3 2 5 4 C D 2 4 3 2 9 4 解析 选 B 设 P x y 为抛物线 y x2上任一点 则 P 到直线的距 离 d 2x y 4 5 x2 2x 4 5 x 1 2 3 5 x 1 时 d 取最小值 此时 P 1 1 3 5 5 5 2009 年高考山东卷 设双曲线 1 a 0 b 0 的一条 x2 a2 y2 b2 渐近线与抛物线 y x2 1 只有一个公共点 则双曲线的离心率为 A B 5 5 4 C D 5 25 解析 选 D 不妨设双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线 x2 a2 y2 b2 为 y x 由方程组Error 消去 y 得 x2 x 1 0 有唯一解 b a b a 所以 2 4 0 所以 2 e b a b a c a a2 b2 a 故选 D 1 f b a 25 6 设 P 为圆 x2 y2 1 上的动点 过 P 作 x 轴的垂线 垂足为 Q 若 其中 为正常数 则点 M 的轨迹为 PM PM A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 解析 选 B 设 M x y P x0 y0 则 Q x0 0 由 PM PM 得Error 0 Error 由于 x02 y02 1 x2 1 2y2 1 M 的轨迹是椭圆 用心 爱心 专心 5 7 2009 年高考福建卷 过抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 作倾斜 角为 45 的直线交抛物线于 A B 两点 若线段 AB 的长为 8 则 p 解析 F 0 设 AB y x 与 y2 2px 联立 得 p 2 p 2 x2 3px 0 xA xB 3p p2 4 由焦半径公式 xA xB p 4p 8 得 p 2 答案 2 8 过双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点 且垂直于 x 轴的 x2 a2 y2 b2 直线与双曲线相交于 M N 两点 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线 的右顶点 则双曲线的离心率等于 答案 2 9 过抛物线 y2 4x 的焦点 且倾斜角为 的直线交抛物线于 3 4 P Q 两点 O 为坐标原点 则 OPQ 的面积等于 解析 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 S OF y1 y2 1 2 直线为 x y 1 0 即 x 1 y 代入 y2 4x 得 y2 4 1 y 即 y2 4y 4 0 y1 y2 4 y1y2 4 y1 y2 4 y1 y2 2 4y1y216 162 S OF y1 y2 4 2 1 2 1 222 答案 2 2 10 已知直角坐标平面上一点 Q 2 0 和圆 C x2 y2 1 动点 M 到圆 C 的切线长等于圆 C 的半径与 MQ 的和 求动点 M 的轨迹 方程 解 设 MN 切圆 C 于 N 又圆的半径为 CN 1 因为 CM 2 MN 2 CN 2 MN 2 1 所以 MN CM 2 1 由已知 MN MQ 1 设 M x y 则 1 x2 y2 1 x 2 2 y2 两边平方得 2x 3 x 2 2 y2 即 3x2 y2 8x 5 0 x 3 2 用心 爱心 专心 6 11 2009 年高考辽宁卷 已知 椭圆 C 经过点 A 1 两个焦 3 2 点为 1 0 1 0 1 求椭圆 C 的方程 2 E F 是椭圆 C 上的两个动点 如果直线 AE 的斜率与 AF 的 斜率互为相反数 证明 直线 EF 的斜率为定值 并求出这个定 值 解 1 由题意 知 c 1 可设椭圆方程为 1 x2 1 b2 y2 b2 因为 A 在椭圆上 所以 1 1 1 b2 9 4b2 解得 b2 3 b2 舍去 3 4 所以椭圆的方程为 1 x2 4 y2 3 2 设直线 AE 的方程为 y k x 1 代入 1 得 3 2 x2 4 y2 3 3 4k2 x2 4k 3 2k x 4 k 2 12 0 3 2 设 E xE yE F xF yF 因为点 A 1 在椭圆上 所以 xE 3 2 yE kxE k 4 f 3 2 k 2 12 3 4k2 3 2 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数 在上式中以 k 代 k 可得 xF yF kxF k 所以直线 EF 的斜 4 f 3 2 k 2 12 3 4k2 3 2 率 kEF yF yE xF xE k xE xF 2k xF xE 1 2 即直线 EF 的斜率为定值 其值为 1 2 12 已知直线 x ky 3 0 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一 个焦点 且椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8 1 求椭圆 C 的标准方程 2 已知圆 O x2 y2 1 直线 l mx ny 1 试证明 当点 P m n 在椭圆 C 上运动时 直线 l 与圆 O 恒相交 并求直线 l 被圆 用心 爱心 专心 7 O 所截得的弦长 L 的取值范围 解 1 由 x ky 3 0 得 x 3 ky 0 所以直线过定点 3 0 即 F 为 3 0 设椭圆 C 的方程为 1 a b 0 x2 a2 y2 b2 则Error 解得Error 故所求椭圆 C 的方程为 1 x2 25 y2 16 2 因为点 P m n 在椭圆 C 上运动 所以 1 m