圆章节知识点及练习题

圆 章节知识点复习 1 圆章节知识点及其练习题圆章节知识点及其练习题 一 圆的概念一 圆的概念 集合形式的概念 1 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合 2 圆的外部 可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合 3 圆的内部 可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念 1 圆 到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心 定长为半径的圆 补充 补充 2 垂直平分线 到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 也叫 中垂线 3 角的平分线 到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 4 到直线的距离相等的点的轨迹是 平行于这条直线且到这条直线的距离等于定 长的两条直线 5 到两条平行线距离相等的点的轨迹是 平行于这两条平行线且到两条直线距离 都相等的一条直线 二 点与圆的位置关系二 点与圆的位置关系 1 点在圆内 点在圆内 dr C 2 点在圆上 点在圆上 dr B 3 点在圆外 点在圆外 dr A 三 直线与圆的位置关系三 直线与圆的位置关系 1 直线与圆相离 无交点 dr 2 直线与圆相切 有一个交点 dr 3 直线与圆相交 有两个交点 dr d r d r r d 四 圆与圆的位置关系四 圆与圆的位置关系 r d d C B A O 圆 章节知识点复习 2 外离 图 1 无交点 dRr 外切 图 2 有一个交点 dRr 相交 图 3 有两个交点 RrdRr 内切 图 4 有一个交点 dRr 内含 图 5 无交点 dRr 周 1 r R d 周 3 rR d 五 垂径定理五 垂径定理 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理 简称 2 推 3 定理 此定理中共 5 个结论中 只要知道其中 2 个即 可推出其它 3 个结论 即 是直径 弧弧 弧弧ABABCD CEDE BC BDAC AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 即 在 中 OABCD 弧弧AC BD 六 圆心角定理六 圆心角定理 圆心角定理 同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弦相等 所对 周 2 r R d 周 4 r R d 周 5 r R d O E DC B A O C D A B F E D C B A O 圆 章节知识点复习 3 的弧相等 弦心距相等 此定理也称 1 推 3 定理 即上述四个结论中 只要知道其中的 1 个相等 则可以推出其它的 3 个结论 即 AOBDOE ABDE 弧弧OCOF BA BD 七 圆周角定理七 圆周角定理 1 圆周角定理 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一 半 即 和是弧所对的圆心角和圆周角AOB ACB AB 2AOBACB 2 圆周角定理的推论 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的 圆周角所对的弧是等弧 即 在 中 都是所对的圆周角OC D CD 推论 2 半圆或直径所对的圆周角是直角 圆周角是直角所对的弧 是半圆 所对的弦是直径 即 在 中 是直径 或 OAB90C 是直径90C AB 推论 3 若三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是 直角三角形 即 在 中 ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C 注 此推论实是初二年级几何中矩形的推论 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一 半的逆定理 八 圆内接四边形八 圆内接四边形 圆的内接四边形定理 圆的内接四边形的对角互补 外角等于它的内对角 C B A O D C B A O C BA O C BA O 圆 章节知识点复习 4 即 在 中 O 四边形是内接四边形ABCD 180CBAD 180BD DAEC 九 切线的性质与判定定理九 切线的性质与判定定理 1 切线的判定定理 过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件 过半径外端且垂直半径 二者缺一不可 即 且过半径外端MNOA MNOA 是 的切线MNO 2 性质定理 切线垂直于过切点的半径 如上图 推论 1 过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论 2 过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理 即 过圆心 过切点 垂直切线 三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个 十 切线长定理十 切线长定理 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 这点和圆心的连线平分两条切 线的夹角 即 是的两条切线PAPB PAPB 平分POBPA 十一 圆幂定理十一 圆幂定理 1 相交弦定理相交弦定理 圆内两弦相交 交点分得的两条线段的乘积相等 E D C B A NM A O P B A O P O D C B A 圆 章节知识点复习 5 即 在 中 弦 相交于点 OABCDP PA PBPC PD 2 推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 即 在 中 直径 OABCD 2 CEAE BE 3 切割线定理切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切 线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 即 在 中 是切线 是割线OPAPB 2 PAPC PB 4 割线定理割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等 如上图 即 在 中 是割线OPBPE PC PBPD PE 十二 两圆公共弦定理十二 两圆公共弦定理 圆公共弦定理 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的 的公共弦 如图 垂直平分 12 OOAB 即 相交于 两点 1 O 2 OAB 垂直平分 12 OOAB 十三 圆的公切线十三 圆的公切线 两圆公切线长的计算公式 1 公切线长 中 12 Rt OO C 2222 1122 ABCOOOCO 2 外公切线长 是半径之差 内公切线长 是半径之和 2 CO 2 CO 十四 十四 圆内正多边形的计算 OE D C B A D E C B P A O B A O1 O2 C O2 O1 B A D C B A O 圆 章节知识点复习 6 1 正三角形 在 中 是正三角形 有关计算在中进行 OABCRt BOD 1 3 2OD BD OB 2 正四边形 同理 四边形的有关计算在中进行 Rt OAE 1 1 2OE AE OA 3 正六边形 同理 六边形的有关计算在中进行 Rt OAB 1 3 2AB OB OA 十五 扇形 圆柱和圆锥的相关计算公式十五 扇形 圆柱和圆锥的相关计算公式 1 扇形 1 弧长公式 180 n R l 2 扇形面积公式 2 1 3602 n R SlR 圆心角 扇形多对应的圆的半径 扇形弧长 扇形面积nRlS 2 圆柱 1 圆柱侧面展开图 2SSS 侧表底 2 22rhr 2 圆柱的体积 2 Vr h 2 圆锥侧面展开图 1 SSS 侧表底 2 Rrr 2 圆锥的体积 2 1 3 Vr h E CB AD O B A O Sl B A O 周 周 周 周 周 周 周 周 C1 D1 D C B A B1 R r C B A O 圆 章节知识点复习 7 二 选择题 二 选择题 13 若两圆相切 且两圆的半径分别是若两圆相切 且两圆的半径分别是 2 3 则这两个圆的圆心距是 则这两个圆的圆心距是 A 5 B 1 C 1 或或 5 D 1 或或 4 14 O1 和和 O2 的半径分别为的半径分别为 1 和和 4 圆心距 圆心距 O1O2 5 那么两圆的位置关系是 那么两圆的位置关系是 A 外离外离 B 内含内含 C 外切外切 D 外离或内含外离或内含 1515 如果半径分别为 如果半径分别为 1cm 和和 2cm 的两圆外切 那么与这两个圆都相切 且半径为的两圆外切 那么与这两个圆都相切 且半径为 3cm 的的 圆的个数有 圆的个数有 A 2 个个 B 3 个个 C 4 个个 D 5 个个 1616 若两圆半径分别为 若两圆半径分别为 R 和和 r R R r 圆心距为 圆心距为 d 且 且 R2 d2 r2 2Rd 则两圆的位置 则两圆的位置 关系是 关系是 A 内切内切 B 外切外切 C 内切或外切内切或外切 D 相交相交 17 如图 如图 O 的直径为的直径为 10 厘米 弦厘米 弦 AB 的长为的长为 6cm M 是弦是弦 AB 上的一动点 则线段上的一动点 则线段 OM 的长的取值范围是 的长的取值范围是 A 3 OM 5 B 4 OM 5 C 3 OM 5 D 4 OM 5 18 已知 已知 O1和和 O2的半径是方程的半径是方程 x2 5x 6 0 的两个根 且两圆的圆心距等于的两个根 且两圆的圆心距等于 5 则则 O1和和 O2的位置关系是 的位置关系是 A 相交相交 B 外离外离 C 外切外切 D 内切内切 19 如图 如图 ABC 为等腰直角三角形 为等腰直角三角形 A 90 AB AC A 与与 BC 相切相切 2 则图中阴影部分的面积为 则图中阴影部分的面积为 A 1 B 1 C 1 D 1 2 3 4 5 20 如图 点如图 点 B 在圆锥母线在圆锥母线 VA 上 且上 且 VB VA 过点 过点 B 作平行于底面的平面截得作平行于底面的平面截得 1 3 一个小圆锥 若小圆锥的侧面积为一个小圆锥 若小圆锥的侧面积为S S1 1 原圆锥的侧面积为 原圆锥的侧面积为 S 则下列判断中正确的是 则下列判断中正确的是 A S1 S B S1 S C S1 S D S1 S 1 3 1 4 1 6 1 9 三 填空题三 填空题 21 若半径分别为若半径分别为 6 和和 4 的两圆相切 则两圆的圆心距的两圆相切 则两圆的圆心距 d 的值是的值是 22 O1和和 O2 的半径分别为的半径分别为 20 和和 15 它们相交于 它们相交于 A B 两点 线段两点 线段 AB 24 则两圆的 则两圆的 圆心距圆心距 O1O2 AB M O 圆 章节知识点复习 8 23 O1和和 O2相切 相切 O1的半径为的半径为 4cm 圆心距为 圆心距为 6cm 则 则 O2的半径为的半径为 O1和和 O2相切 相切 O1的半径为的半径为 6cm 圆心距为 圆心距为 4cm 则 则 O2的半径为的半径为 24 O1 O2和和 O3是三个半径为是三个半径为 1 的等圆 且圆心在同一直线上 若的等圆 且圆心在同一直线上 若 O2分别与分别与 O1 O3相交 相交 O1与与 O3不相交 则不相交 则 O1与与 O3圆心距圆心距 d 的取值范围是的取值范围是 25 在在 ABC C 90 AC 3 BC 4 点 点 O 是是 ABC 的外心 现在以的外心 现在以 O 为圆为圆 心 分别以心 分别以 2 2 5 3 为半径作 为半径作 O 则点 则点 C 与与 O 的位置关系分别是的位置关系分别是 26 如图在如图在 O 中 直径中 直径 AB 弦弦 CD 垂足为 垂足为 P BAD 30 则 则 AOC 的度数是的度数是 度 度 27 在在 Rt ABC 斜边 斜边 AB 13cm BC 12cm 以 以 AB 的中点的中点 O 为圆心 为圆心 2 5cm 为半径画为半径画 圆 则直线圆 则直线 BC 和和 O 的位置关系是的位置关系是 28 28 把一个半径为把一个半径为 12 厘米的圆片 剪去一个圆心角为厘米的圆片 剪去一个圆心角为 120 的扇形后 用剩下的部分做成的扇形后 用剩下的部分做成 一个圆锥侧面 那么这个圆锥的侧面积是一个圆锥侧面 那么这个圆锥的侧面积是 29 已知圆锥的母线与高的夹角为已知圆锥的母线与高的夹角为 30 母线长为 母线长为 4cm 则它的侧面积为 则它的侧面积为 cm2 结果保留 结果保留 3030 一个扇形的弧长为一个扇形的弧长为 4 用它做一个圆锥的侧面 则该圆锥的底面半径为 用它做一个圆锥的侧面 则该圆锥的底面半径为 四 解答题 四 解答题 31 已知 如图 已知 如图 O1和和 O2相交于点相交于点 A B 过点 过点 A 的直线分别交两圆于点的直线分别交两圆于点 C D 点点 M 是是 CD 的中点直线 的中点直线 BM 分别交两圆于点分别交两圆于点 E F 求证 求证 CE DF 求证 求证 ME MF 32 ABC 的三边长分别为的三边长分别为 6 8 10 并且以 并且以 A B C 三点为圆心作两两相切的圆 求三点为圆心作两两相切的圆 求 这三个圆的半径这三个圆的半径 圆 章节知识点复习 9 33 33 如图所示 如图所示 O1和和 O2相切于相切于 P 点 过点 过 P 的直线交的直线交 O1于于 A 交交 O2于于 B 求证 求证 O1A O2B 34 34 如图 如图 A 为为 O 上一点 以上一点 以 A 为圆心的为圆心的 A 交交 O 于于 B C 两点 两点 O 的弦的弦 AD 交公交公 共弦共弦 BC 于于 E 点 点 1 求证 求证 AD 平分平分 BDC 2 求证 求证 AC2 AE AD A B D O E C 35 如图 如图 O 的半径的半径 OC 与直径与直径 AB 垂直 点垂直 点 P 在在 OB 上 上 CP 的延长