2011届高考数学单元练习及解析 基本不等式

用心 爱心 专心 基本不等式 基本不等式 ab a b 2 题组一利用基本不等式求最值 1 设 x y 均为正实数 且 1 则 xy 的最小值为 3 2 x 3 2 y A 4 B 4 C 9 D 16 3 解析 由 1 可得 xy 8 x y 3 2 x 3 2 y x y 均为正实数 xy 8 x y 8 2 当且仅当 x y 时等号成立 xy 即 xy 2 8 0 xy 可解得 4 即 xy 16 故 xy 的最小值为 16 xy 答案 D 2 2009 天津高考 设 a 0 b 0 若是 3a与 3b的等比中项 则 的最小值为 3 1 a 1 b A 8 B 4 C 1 D 1 4 解析 是 3a与 3b的等比中项 2 3a 3b 33 即 3 3a b a b 1 此时 2 2 2 4 当且仅当 a b 取等号 1 a 1 b a b a a b b b a a b 1 2 答案 B 3 已知不等式 x y 9 对任意正实数 x y 恒成立 则正实数 a 的最小值为 1 x a y A 8 B 6 C 4 D 2 解析 x y 1 a a 1 x a y x y y x a 1 2 a 2 1 a x y y xa 当且仅当 a 等号成立 x y y x 所以 2 2 1 9 aa 即 2 2 8 0 得 2 或 4 舍 aaaa 所以 a 4 即 a 的最小值为 4 用心 爱心 专心 答案 C 4 2010 太原模拟 若直线 ax by 2 0 a 0 b 0 和函数 f x ax 1 1 a 0 且 a 1 的 图象恒过同一个定点 则当 取最小值时 函数 f x 的解析式是 1 a 1 b 解析 函数 f x ax 1 1 的图象恒过 1 2 故 a b 1 a b 1 2 1 a 1 b 1 2 1 a 1 b 3 2 当且仅当 b a 时取等号 将 b a 代入 a b 1 得 a 2 2 b a a 2b 3 22 2 2 2 2 1 22 故 f x 2 2 x 1 1 2 答案 f x 2 2 x 1 1 2 题组二利用基本不等式证明不等式 5 已知 a 0 b 0 且 a b 2 则 A ab B ab C a2 b2 2 D a2 b2 3 1 2 1 2 解析 法一 由 得 ab 2 1 又 a2 b2 2ab 2 a2 b2 a b a b 2ab a b 2 2 a2 b2 2 法二 特值法 取 a 0 b 2 满足 a b 2 代入选项可排除 B D 又取 a b 1 满足 a b 2 但 ab 1 可排除 A 答案 C 6 设 a b 是正实数 以下不等式 a a b b a2 b2 4ab 3b2 ab 2 恒成立的 ab 2ab a b 2 ab 序号为 A B C D 解析 a b 是正实数 a b 2 1 当且仅当 a b 时 ab 2 ab a bab 2ab a b 取等号 不恒成立 a b a b a a b b 恒成立 a2 b2 4ab 3b2 a 2b 2 0 当 a 2b 时 取等号 不恒成立 ab 2 2 ab 2 2 恒成立 ab 2 ab2 答案 D 7 已知 a b c 0 且 a b c 1 用心 爱心 专心 求证 1 1 1 8 1 a 1 b 1 c 证明 a b c 0 且 a b c 1 1 1 1 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c abc 8 b c a c a b abc 2 bc 2 ac 2 ab abc 当且仅当 a b c 时取等号 1 3 题组三基本不等式的实际应用 8 2010 惠州模拟 某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f t 与时间 t 00 100 x 即 x 10 时取等号 当长为 16 2 米 宽为 10 米时总造价最低 最低总造价为 38 880 元 2 由限制条件知Error Error 10 x 16 1 8 设 g x x 10 x 16 100 x 1 8 由函数性质易知 g x 在上是增函数 当 x 10 时 此时 16 1 8 162 x g x 有最小值 即 f x 有最小值 1 296 10 12 960 38 882 元 1 8 800 81 当长为 16 米 宽为 10 米时 总造价最低 为 38 882 元 1 8 理 为了提高产品的年产量 某企业拟在 2010 年进行技术改革 经调查测算 产品 当年的产量 x 万件与投入技术改革费用 m 万元 m 0 满足 x 3 k 为常数 如 k m 1 果不搞技术改革 则该产品当年的产量只能是 1 万件 已知 2010 年生产该产品的固 用心 爱心 专心 定投入为 8 万元 每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元 由于市场行情较好 厂 家生产的产品均能销售出去 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的 1 5 倍 生产成本包括固定投入和再投入两部分资金 1 将 2010 年该产品的利润 y 万元 利润 销售金额 生产成本 技术改革费用 表示 为技术改革费用 m 万元的函数 2 该企业 2010 年的技术改革费用投入多少万元时 厂家的利润最大 解 1 由题意可知 当 m 0 时 x 1 万件 1 3 k k 2 x 3 2 m 1 每件产品的销售价格为 1 5 元 8 16x x 2010 年的利润 y x 8 16x m m 1 29 元 m 0 16 m 1 2 m 0 m 1 2 8 16 m 116 y 29 8 21 当 m 1 即 m 3 ymax 21 16 m 1 该企业 2010 年的技术改革费用投入 3 万元时 厂家的利润最大 题组四基本不等式的综合应用 11 若 a 是 b 与 b 的等比中项 则的最大值为 22 2ab a b A B 1 C D 2 2 4 2 2 解析 a 是 b 与 b 的等比中项 22 a2 2 b2 a2 b2 2 根据基本不等式知 1 2ab a b 2 a b a b a2 b2 2 即的最大值为 1 2ab a b 答案 B 用心 爱心 专心 12 若 a b 是正常数 a b x y 0 则 当且仅当 时 a2 x b2 y a b 2 x y a x b y 取等号 利用以上结论 函数 f x x 0 取得最小值时 x 的值为 2 x 9 1 2x 1 2 A 1 B C 2 D 1 5 1 3 解析 由 得 f x 25 当且仅当 a2 x b2 y a b 2 x y 22 2x 32 1 2x 2 3 2 2x 1 2x 2 2x 时取等号 即当 x 时 f x 取得最小值 25 3 1 2x 1 5 答案 B