北京市2013高考数学 二模试题解析分类汇编系列六 7 立体几何 文

1 解析分类汇编系列六 北京解析分类汇编系列六 北京 20132013 二模 数学文 二模 数学文 7 7 立体几何 立体几何 一 选择题 1 2013 北京昌平二模数学文科试题及答案 已知四棱锥的三视图如图所示 PABCD 则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 主视图 3 3 2 2 侧视图 俯视图 A B C D 23133 2 D 由三视图可知该几何体是四棱锥 顶点在底面的射影是底面矩形的一个顶点 底面边长分 别为 3 2 后面是直角三角形 直角边为 3 与 2 所以后面的三角形的高为 1 2 33 2 右面三角形是直角三角形 直角边长为 2 2 三角形的面积为 前面三角形 1 2 22 2 是直角三角形 直角边长为 其面积为 前左面也是直角三角形 3 2 2 1 3 2 23 2 2 直角边长为 三角形的面积为 所以四棱锥 P ABCD 的四个侧面中2 13 1 21313 2 面积最大的是前面三角形的面积为 选 D 3 2 2 2013 北京东城高三二模数学文科 已知一个三棱锥的三视图如图所示 其中三个视图 都是直角三角形 则在该三棱锥的四个面中 直角三角形的个数为 俯视图 侧 左 视图 正 主 视图 A 1B 2C 3D 4 D 由题意可知 几何体是三棱锥 其放置在长方体中形状如图所示 图中红色部分 利用长 2 方体模型可知 此三棱锥的四个面中 全部是直角三角形 故选 D 3 2013 北京房山二模数学文科试题及答案 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何 体的表面积为 A B C D 9 18 2 189 3 183 2 9 3 3 6 主 主 主 主 主 主 主 主 主主 主 主 主 主 主 A 视图复原的几何体是长方体的一个角 如图 直角顶点处的三条棱长分别 为 其中斜侧面的高为 所以几何体的表面积为3 2 3 2 33 2 选 A 111 3 23 23 236 3 29 18 2 222 4 2013 北京朝阳二模数学文科试题 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体积为 A B C D 1 6 1 3 1 2 1 3 1 正视图 1 侧视图 俯视图 1 A 由题设条件 此几何几何体为一个三棱锥 如图红色的部分 其中高为 1 底面是直角边长 为 1 的等腰直角三角形 所以底面积为 所以三棱锥的体积为 选 11 1 1 22 111 1 326 A 5 2013 北京丰台二模数学文科试题及答案 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表 面积为 A 24B 20 4C 28D 24 4 22 B 由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为 2 高为 1 的正四棱锥 该几何体的下部是 4 边长为 2 的正方体 所以该几何体的表面积为 选 2 1 5 2422204 2 2 S B 6 2013 北京海淀二模数学文科试题及答案 某空间几何体的三视图如右图所示 则该几何 体的表面积为 6 6 6 主 主 主 5 主 主 主 主 主 主 A 180B 240 C 276D 300 B 由三视图可知 该几何体的下面部分是边长为 6 的正方体 上部分为四棱锥 四棱锥的底面 为正方形 边长为 6 侧面三角形的斜高为 5 所以该几何体的表面积为 选 B 2 1 656 5 4240 2 二 填空题 7 2013 北京顺义二模数学文科试题及答案 一个几何体的三视图如图所示 若该几何体的 表面积为 则 2 92m hm 俯视图 h 4 5 2 正 主 视图 侧 左 视图 4 由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱 几何体的表面积是 即 解得 22 25 24 24534 92 2 h 1664h 4h 三 解答题 8 2013 北京丰台二模数学文科试题及答案 如图 多面体 EDABC 中 AC BC CE 两两垂直 AD CE M 为 BE 中点 EDDC 1 2 ADCE 求证 DM 平面 ABC 求证 平面 BDE平面 BCD 5 解 设 N 为 BC 中点 连结 MN AN M 为 BE 中点 MN EC 且 MN EC 2 1 AD EC 且 AD EC 2 1 四边形 ANMD 为平行四边形 AN DM DM平面 ABC AN平面 ABC DM 平面 ABC 平面 ACED CEBCACBC CCEAC BC 平面 ACED DE DE BC DEDC 又BC DE平面 BCD DECDCBC 平面 BDE 平面 BDE平面 BCD DE 9 2013 北京房山二模数学文科试题及答案 如图 是正方形 平面 ABCDDE ABCD 6 DEAF 22 AFDADE 求证 平面 AC BDE 求证 平面 ACBEF 求四面体的体积 BDEF F E D C B A G O F E D CB A 证明 因为平面 所以 DE ABCDACDE 因为是正方形 所以 ABCDBDAC 因为 所以平面 DBDDE AC BDE 证明 设 ACBDO 取中点 连结 BEGOGFG 所以 OG 1 2 DE 因为 所以 DEAF AFDE2 AF OG 从而四边形是平行四边形 AFGOAOFG 因为平面 平面 FG BEFAO BEF 所以平面 即平面 AOBEF ACBEF 解 因为平面 所以 DE ABCDABDE 因为正方形中 所以平面 ABCDABAD AB ADEF 因为 所以的面积为 DEAF 22 AFDADEDEF 1 2 2 EDAD 所以四面体的体积 BDEF ABS DEF 3 14 3 7 10 2013 北京东城高三二模数学文科 如图 是等边三角形 BCDABAD 分别是 的中点 将 沿折叠到 90BAD MNGBDBCABBCDBD 的位置 使得 BC D ADC B 求证 平面平面 GNMADC 求证 平面 C A ABD A B C D M N G A B C D M N G 共 14 分 证明 因为 分别是 的中点 MNBD BC 所以 MN DC 因为平面 MN ADC 平面 DC ADC 所以平面 MNADC 同理平面 NGADC 又因为 MNNGN 所以平面平面 GNMADC 因为 所以 90BAD ADAB 又因为 且 所以平面 ADC B ABC BB AD C AB 因为平面 所以 C A C AB ADC A 因为 是等边三角形 BCDABAD 不防设 则 可得 1AB 2BCCDBD 1C A 由勾股定理的逆定理 可得 ABC A 因为 所以平面 ABADA C A ABD A B C D M N G 8 11 2013 北京朝阳二模数学文科试题 如图 已知四边形是正方形 平面ABCDEA 分别为 的中点 ABCDPDEAA22ADPDEA FGHBPBEPC 求证 平面 FGAPDE 求证 平面平面 FGH AEB 在线段上是否存在一点 使平面 PCMPB EFM 若存在 求出线段的长 若不存在 请说明理由 PM B D C F G H A E P A E B D C P F G H M 证明 因为 分别为 的中点 所以 FGPBBEFGAPE 又因为平面 平面 FG PEDPE PED 所以平面 FGAPED 9 因为平面 所以 EA ABCDEACB 又因为 CBAB ABAEA 所以平面 CB ABE 由已知 分别为线段 的中点 FHPBPC 所以 FHABC 则平面 FH ABE 而平面 FH FGH 所以平面平面 FGH ABE 在线段上存在一点 使平面 证明如下 PCMPB EFM 在直角三角形中 因为 所以 AEB1AE 2AB 5BE 在直角梯形中 因为 所以 EADP1AE 2ADPD 5PE 所以 又因为为的中点 所以 PEBE FPBEFPB 要使平面 只需使 PB EFMPBFM 因为平面 所以 又因为 PD ABCDPDCB CBCD PDCDD 所以平面 而平面 所以 CB PCDPC PCDCBPC 若 则 可得 PBFM PFM PCB PMPF PBPC 由已知可求得 所以 2 3PB 3PF 2 2PC 3 2 2 PM 12 2013 北京海淀二模数学文科试题及答案 如图 1 在直角梯形ABCD中 AD BC ADC 900 BA BC 把 BAC 沿AC折起到 PAC 的位置 使得P点在平面 ADC 上的正 投影恰好落在线段AC上 如图 2 所示 点 E F 分别为线段 PC CD 的中点 O I 求证 平面 OEF 平面 APD II 求直线 CD 与平面 POF III 在棱 PC 上是否存在一点M 使得M到点 P O C F 四点的距离相等 请说明理由 10 解 I 因为点在平面上的正投影恰好落在线段上 PADCOAC 所以平面 所以 PO ABCPO AC 因为 所以是中点 ABBC OAC 所以 OEPA 同理 又 OFAD OEOFO PAADA 所以平面平面 OEFPDA II 因为 OFADADCD 所以 OFCD 又平面 平面 所以 PO ADCCD ADCPO CD 又 所以平面 OFPOO CD POF III 存在 事实上记点为即可 EM 因为平面 平面 所以 CD POFPF POFCDPF 又为中点 所以 EPC 1 2 EFPC 同理 在直角三角形中 POC 1 2 EPECOEPC 所以点到四个点的距离相等 E P O C F 13 2013 北京顺义二模数学文科试题及答案 如图 四棱柱中 PABCD 是上的点且为中 ABPAD ABCD PDAD F 平面DC 1 2 DFAB PH PAD 边上的高 AD 求证 平面 ABPDC 求证 PHBC 线段上是否存在点 使平面 说明理由 PBEEF PAB F A B D P C H 证明 且平面PCD 平面PCD 所以平面PDC ABCDAB CD AB 证明 因为AB平面PAD 且PH平面PAD 所以 ABPH 又PH为中AD边上的高 所以 PAD PHAD 又 所以平面 ADABA PH ABCD 而平面 所以 BC ABCD PHBC 11 解 线段上存在点 使平面 PBEEF PAB 理由如下 如图 分别取的中点G E PAPB E G F A B D P C H 则 1 2 GEAB 由 1 2 DFAB 所以 GEDF 所以为平行四边形 故 GDEF EFGD 因为AB平面PAD 所以 因此 ABGD EFAB 因为为的中点 且 所以 GPAPDAD GDPA 因此 又 所以平面 EFPA PAABA EF PAB 14 2013 北京昌平二模数学文科试题及答案 如图 在四棱锥中 底面PABCD 是正方形 侧面底面 且 分别为ABCDPAD ABCD 2 2 2 PAPDAD EF 的中点 PCBD 求证 平面 EFPAD 求三棱锥的体积 PBCD 在线段上是否存在点使得 说明理由 AB GCDEFG 平面 P F E D C BA 12 A B C D E F P O G 证明 连结 为正方形 为中点 为中点 ACBDF ABCDFACEPC 在中 CPA EFPA 且平面 平面 PA PADEF PAD EFPAD平面 解 如图 取的中点 连结 ADOOP PAPD POAD 侧面底面 PAD ABCD PADABCDAD 平面平面POABCD 平面 又所以是等腰直角三角形 2 2 2 PAPDAD PAD 且 1 2 2 2 2 ADPOAD 在正方形 中 ABCD 11 2 22 24 22 BCDABCD SS A 正方形 114 2 42 333 P BCDBCD VSPO A III 存在点满足条件 理由如下 设点为中点 连接 GGAB EG FG 由为的中点 所以 FBDFGAD 由 I 得 且所以 EFPA FGEFF ADPAA EFGPAD平面 平面 侧面底面 PAD ABCDPADABCDAD 平面平面CDAD 所以 CDPAD 平面CDEFG 平面 所以 的中点为满足条件的点 ABG 15 2013 北京西城高三二模数学文科 如图 1 在四棱锥中 底面ABCDP PA 面为正方形 为侧棱上一点 为上一点 该四棱锥的正 主 ABCDABCDEPDFAB 视图和侧 左 视图如图 2 所示 求四面体的体积 PBFC 证明 平面 AEPFC 13 证明 平面平面 PFC PCD 解 由左视图可得 为的中点 FAB 所以 的面积为 BFC121 2 1 S 因为平面 PAABCD 所以四面体的体积为 PBFC PASV BFCBFCP 3 1 3 2 21 3 1 证明 取中点 连结 PCQEQ FQ 由正 主