2012届高考数学一轮复习 2.11 函数的应用教案

1 2 112 11 函数的应用函数的应用 知识梳理 解函数应用问题的基本步骤 第一步 阅读理解 审清题意 读题要做到逐字逐句 读懂题中的文字叙述 理解叙述所反映的实际背景 在此基础上 分析出已知什么 求什么 从中提炼出相应的数学问题 第二步 引进数学符号 建立数学模型 一般地 设自变量为x 函数为y 必要时引入其他相关辅助变量 并用x y和辅助变 量表示各相关量 然后根据问题已知条件 运用已掌握的数学知识 物理知识及其他相关知 识建立关系式 在此基础上将实际问题转化为一个函数问题 实现问题的数学化 即所谓建 立数学模型 第三步 利用数学的方法将得到的常规函数问题 即数学模型 予以解答 求得结果 第四步 将所得结果再转译成具体问题的解答 点击双基 1 某一种商品降价 10 后 欲恢复原价 则应提价 A 10 B 9 C 11 D 11 9 1 解析 设提价x 则a 1 10 1 x a x 11 9 1 答案 D 2 今有一组实验数据如下 t1 993 04 05 16 12 v1 54 047 51218 01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律 其中最接近的一个是 A v log2tB v logtC v D v 2t 2 2 1 2 1 2 t 解析 特值检验 如 当t 4 时 v 7 5 2 1 2 t 答案 C 3 用长度为 24 的材料围一矩形场地 中间加两道隔墙 要使矩形的面积最大 则隔墙 的长度为 A 3B 4C 6D 12 解析 设隔墙的长为x 0 x 6 矩形面积为y y x 2x 6 x 当x 3 2 424x 时 y最大 答案 A 4 已知镭经过 100 年剩留原来质量的 95 76 设质量为 1 的镭经过x年后剩量为y 则 x y之间的函数关系式为 答案 y 0 9576100 x 5 建筑一个容积为 8000 m3 深 6 m 的长方体蓄水池 无盖 池壁造价为a元 米 2 2 池底造价为 2a元 米 2 把总造价y元表示为底的一边长x m 的函数 其解析式为 定义域为 底边长为 m 时总造价最低是 元 解析 设池底一边长x m 则其邻边长为 m 池壁面积为 2 6 x 2 6 x6 8000 12 x m2 池底面积为x m2 根据题意可知蓄水池的 x6 8000 x6 8000 x6 8000 6 8000 总造价y 元 与池底一边长x m 之间的函数关系式为 y 12a x a 定义域为 0 x6 8000 3 8000 x 2 当且仅当x 即x 时取 x6 8000 x x 6 8000 3 40 30 x6 8000 3 20 30 当底边长为 m 时造价最低 最低造价为 160a a 元 3 20 3030 3 8000 答案 y 12a x a 0 160a a x6 8000 3 8000 3 20 3030 3 8000 典例剖析 例 1 1 一种产品的年产量原来是a件 在今后m年内 计划使年产量平均每年 比上一年增加p 写出年产量随经过年数变化的函数关系式 2 一种产品的成本原来是a元 在今后m年内 计划使成本平均每年比上一年降低p 写出成本随经过年数变化的函数关系式 解 1 设年产量经过x年增加到y件 则y a 1 p x x 且x m 2 设成本经过x年降低到y元 则y a 1 p x x 且x m 特别提示 增长率问题是一重要的模型 例 2 依法纳税是每个公民应尽的义务 国家征收个人所得税是分段计算的 总 收入不超过 800 元 免征个人所得税 超过 800 元部分需征税 设全月纳税所得额为x x 全月总收入 800 元 税率见下表 级 数全月纳税所得额税 率 1 不超过 500 元部分 5 2 超过 500 元至 2000 元部分 10 3 超过 2000 元至 5000 元部分 15 9 超过 10000 元部分 45 1 若应纳税额为f x 试用分段函数表示 1 3 级纳税额f x 的计算公式 2 某人 2000 年 10 月份总收入 3000 元 试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元 3 某人一月份应缴纳此项税款 26 78 元 则他当月工资总收入介于 A 800 900 元B 900 1200 元 C 1200 1500 元D 1500 2800 元 1 解 依税率表 有 第一段 x 5 0 x 500 第二段 x 500 10 500 5 500 x 2000 3 第三段 x 2000 15 1500 10 500 5 2000 x 5000 即f x 175 2000 15 0 25 500 1 0 05 0 x x x 50002000 2000500 5000 x x x 2 解 这个人 10 月份应纳税所得额x 3000 800 2200 f 2200 0 15 2200 2000 175 205 即这个人 10 月份应缴纳个人所得税 205 元 3 解法一 估算法 由 500 5 25 元 100 10 10 元 故某人当月工资应在 1300 1400 元之间 故选 C 解法二 逆推验证法 设某人当月工资为 1200 元或 1500 元 则其应纳税款分别为 400 5 20 元 500 5 200 10 45 元 可排除 A B D 故选 C 答案 C 评述 本题也可以根据纳税额计算公式直接计算 特别提示 分段函数在新课标中占有重要地位 例 3 某地区上年度电价为0 8 元 千瓦 时 年用电量为a千瓦 时 本年度计划 将电价降到0 55 元 千瓦 时 至 0 75 元 千瓦 时 之间 而用户期望电价为0 4 元 千瓦 时 经测算 下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比 比例系数为k 该地区电力的成本价为 0 3 元 千瓦 时 1 写出本年度电价下调后 电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式 2 设k 0 2a 当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20 注 收益 实际用电量 实际电价 成本价 解 1 设下调后的电价为x元 千瓦 时 依题意知用电量增至 a 电 4 0 x k 力部门的收益为y a x 0 3 0 55 x 0 75 4 0 x k 2 依题意有 75 055 0 201 3 08 0 3 0 4 0 2 0 x axa x a 整理得 75 055 0 03 01 1 2 x xx 解此不等式得 0 60 x 0 75 答 当电价最低定为 0 60 元 千瓦 时 时 仍可保证电力部门的收益比去年至少 增长 20 深化拓展 某商场预计全年分批购入每台价值为 2000 元的电视机共 3600 台 每批都购入x台 x N N 且每批均需付运费 400 元 贮存购入的电视机全年所付的保管费与每批购入电视 机的总价值 不含运费 成正比 若每批购入 400 台 则全年需用去运输和保管总费用 43600 元 现全年只有 24000 元资金可以用于支付这笔费用 试问 能否恰当安排每批进货的数量 使资金够用 写出你的结论 并说明理由 提示 设全年的运输和保管总费用为y元 4 则y 400 k 2000 x 据题设 x 400 时 y 43600 解得k 5 x 3600 y 100 x 2 2400 元 x 4003600 x x 100 4003600 因此只需每批购入 120 台电视机就可以使预定资金够用 答案 每批购入 120 台可使资金够用 例 4 2003 年春季上海 在一次人才招聘会上 有A B两家公司分别开出它们的 工资标准 A公司允诺第一年月工资数为 1500 元 以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元 B公司允诺第一年月工资数为 2000 元 以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增 5 设某人年初被A B两家公司同时录取 试问 1 若该人分别在A公司或B公司连续工作n年 则他在第n年的月工资收入分别是 多少 2 该人打算连续在一家公司工作 10 年 仅从工资收入总量较多作为应聘的标准 不 计其他因素 该人应该选择哪家公司 为什么 3 在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元 精确到 1 元 并说明理由 剖析 第 1 问可通过第 2 3 年月工资归纳出所求结果 第 2 问应注意的是年工资 总量 第 3 问难度较大 是求月工资之差的最大值 转化为 cn 1270 230n 2000 1 05n 1 需要转化为cn cn 1 cn cn 1 则cn最大 解 1 此人在A B公司第n年的月工资数分别为an 1500 230 n 1 n N N bn 2000 1 5 n 1 n N N 2 若该人在A公司连续工作10年 则他的工资收入总量为 12 a1 a2 a10 304200 元 若该人在B公司连续工作10 年 则他的工资收入总量为12 b1 b2 b10 301869 元 因为在A公司收入的总量高些 因此该人应该选择A公司 3 问题等价于求cn an bn 1270 230n 2000 1 05n 1 n N N 的最大值 当n 2 时 cn cn 1 230 100 1 05n 2 当cn cn 1 0 即 230 100 1 05n 2 0 时 1 05n 2 2 3 得n 19 1 因此 当 2 n 19 时 cn 1 cn 当n 20 时 cn cn 1 c19是数列 cn 的最大项 c19 a19 b19 827 元 即在A公司工作比在B公司工作的 月工资收入最多可以多 827 元 闯关训练 夯实基础夯实基础 1 某学生离家去学校 为了锻炼身体 一开始跑步前进 跑累了再走余下的路程 用纵 轴表示离学校的距离 横轴表示出发后的时间 则下列四个图形中较符合该学生的走法的是 5 t AB CD 0d t O d 0 t 0d d t O 0 t 0d O d t 0t 0d O d t 0 答案 D 2 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运 据市场分析 每辆客车营运的总利 润y万元与营运年数x x N N 的关系为y x2 12x 25 则每辆客车营运 年可使其营运年平均利润最大 A 2 B 4 C 5 D 6 解析 设年平均利润为g x 则g x 12 x x 2 x xx2512 2 x 25 x 25 10 当x 即x 5 时 g x max 2 x x 25 x 25 答案 C 3 某县计划十年内产值翻两番 则产值平均每年增长的百分率为 lg2 0 3010 lg11 49 1 0602 解析 设产值平均年增长率为x 则 1 x 10 4 两边同取以 10 为底的对数得 10lg 1 x 2lg2 lg 1 x 0 0602 1 x 100 0602 10 3010 0 2 又 lg11 49 1 0602 11 49 101 0602 10 100 0602 100 0602 1 149 因此 1 x 1 149 x 0 149 14 9 答案 14 9 4 某工厂生产某种产品的固定成本为 200 万元 并且生产量每增加一单位产品 成本增 加 1 万元 又知总收入R是单位产量Q的函数 R Q 4Q Q2 则总利润L Q 的最 200 1 大值是 万元 这时产品的生产数量为 总利润 总收入 成本 解析 L Q 4Q Q2 200 Q Q 300 2 250 200 1 200 1 答案 250 300 5 2003 年福州市质量检测题 沿海地区某农村在 2002 年底共有人口 1480 人 全年工 农业生产总值为 3180 万元 从 2003 年起计划 10 年内该村的总产值每年增加 60 万元 人口 每年净增a人 设从 2003 年起的第x年 2003 年为第一年 该村人均产值为y万元 1 写出y与x之间的函数关系式 2 为使该村的人均产值年年都有增长 那么该村每年人口的净增不能超过多少人 分析 本小题主要考查函数知识 函数的单调性 考查数学建模 运用所学知识解决实 际问题的能力 6 1 解 依题意得第x年该村的工农业生产总值为 3180 60 x 万元 而该村第x年的人口总数为 1480 ax 人 y 1 x 10 ax x 1480 603180 2 解法一 为使该村的人均产值年年都有增长 则在 1 x 10 内 y f x 为增 函数 设 1 x1 x2 10 则f x1 f x2 1 1 1480 603180 ax x 2 2 1480 603180 ax x 1480 1480 3180 148060 21 1221 axax xxaxx 1480 1480 318088800 21 21 axax xxa 1 x1 x2 10 a 0 由f x1 f x2 得 88800 3180a 0 a 27 9 又 a N N a 27 3180 88800 解法二 y 1 a 60 x a x 1480 53 a 60 a x a 1480 1480 53 依题意得 53 0 a 27 9 a 1480 53 1480 a N N a 27 答 该村每年人口的净增不能超过 27 人 培养能力培养能力 6 2005 年春季北京 19 经过长期观测得到 在交通繁忙的时段内 某公路段汽车的 车流量y 千辆 时 与汽车的平均速度v km h 之间的函数关系为 y v 0 16003 920 2 vv v 1 在该时段内 当汽车的平均速度v为多少时 车流量最大 最大车流量为多少 精确到 0 1 千辆 时 2 若要求在该时段内车流量超过 10 千辆 时 则汽车的平均速度应在什么范围内 解 1 依题意 y 1600 3 920 v v 160023 920 83 920 当且仅当v 即v 40 时 上式等号成立 所以ymax 11 1 千辆 时 v 1600 83 920 2 由条件得 10 16003 920 2 vv v 整理得v2 89v 1600 0 即 v 25 v 64 0 解得 25 v 64 当v 40 km h 时 车流量最大 最大车流量约为 11 1 千辆 时 如果要求在该时段内 车流量超过 10 千辆 时 则汽车的平均速度应大于 25 km h 且小于 64 km h 7 2003 年石家庄市一模题 某工厂有 216 名工人接受了生产 1000 台GH型高科技产品 的总任务 已知每台GH型产品由 4 个G型装置和 3 个H型装置配套组成 每个工人每小时能 加工 6 个G型装置或 3 个H型装置 现将工人分成两组同时开始加工 每组分别加工一种装 7 置 设加工G型装置的工人有x人 他们加工完G型装置所需时间为g x 其余工人加工完 H型装置所需时间为h x 单位 小时 可不为整数 1 写出g x h x 的解析式 2 比较g x 与h x 的大小 并写出这 216 名工人完成总任务的时间f x 的解 析式 3 应怎样分组 才能使完成总任务用的时间最少 解 1 由题意知 需加工G型装置 4000 个 加工H型装置 3000 个 所用工人分别 为x人 216 x 人 g x h x x6 4000 3 216 3000 x 即g x h x 0 x 216 x N N x3 2000 x 216 1000 2 g x h x x3 2000 x 216 1000 216 3 5432 1000 xx x 0 x 216 216 x 0 当 0 x 86 时 432 5x 0 g x h x 0 g x h x 当 87 x 216 时 432 5x 0 g x h x 0 g x h x f x 21687 216 1000 86 0 3 2000 N N N N xx x xx x 3 完成总任务所用时间最少即求f x 的最小值 当 0 x 86 时 f x 递减 f x f 86 863 2000 129 1000 f x min f 86 此时 216 x 130 当 87 x 216 时 f x 递增 f x f 87 87216 1000 129 1000 f x min f 87 此时 216 x 129 f x min f 86 f 87 129 1000 加工G型装置 H型装置的人数分别为 86 130 或 87 129 探究创新探究创新 8 现代社会对破译密文的难度要求越来越高 有一种密码把英文的明文 真实文 按两 个字母一组分组 如果最后剩一个字母 则任意添一个字母 拼成一组 例如 Wish you success 分组为 Wi sh yo us uc ce ss 得到 9 23 8 19 15 25 19 21 3 21 5 3 19 19 其中英文的 a b c z 的 26 个字母 不论大小写 依次对应的 1 2 3 26 这 26 个自然数 见表格 abcdefghijklm 12345678910111213 nopqrstuvwxyz 8 14151617181920212223242526 给出如下一个变换公式将明文转换为密文 如 43 2 yxy yxx 即 ce 变成 mc 说明 29 26 余数为 3 5 3 295433 13523 y x 3 13 又如 即 wi 变成 oa 说明 41 26 余数为 9 23 10594233 419223 y x 1 15 15 105 26 余数为 1 1 按上述方法将明文 star 译成密文 2 若按上述方法将某明文译成的密文是 kcwi 请你找出它的明文 解 1 将 star 分组 st ar 对应的数组分别为 18 1 20 19 由得 43 2 yxy yxx 204193 20219 y x 7 7 18413 1821 y x 23 11 star 翻译成密文为 ggkw 2 由得 43 2 yxy yxx 22 3 2 y xy yxx 将 kcwi 分组 kc wi 对应的数组分别为 由得 3 11 9 23 22 3 2 y xy yxx 2 3 11 2 3 3112 y x 15 19 15 7 2 9 23 2 3 9232 y x 4 15 密文 kcwi 翻译成明文为 good 思悟小结 1 数学的应用问题实际上是数学模型方法的应用问题 也就是把实际问题加以抽象概括 建立相应的数学模型 利用这些模型来研究实际问题 2 所谓数学模型 简单地说 就是把实际问题用数学语言抽象概括 再从数学角度来反 映或近似地反映实际问题时 所得出的关于实际问题的数学描述 数学模型的形式是多样的 它们可以是几何图形 也可以是方程式 函数解析式等等 实际问题越复杂 相应的数学模 型也就越复杂 教师下载中心 教学点睛教学点睛 1 在教学过程中要注意引导学生从数学的角度理解分析问题 把握问题 特别要强调自 主地 独立地分析 研究 探讨活动 这样才有利于培养阅读理解