2012年高考数学《排列 组合 二项式》专题 组合学案

1 第第 3 3 课时课时 组合组合 1 一般地说 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素并成一组 叫做从 n 个不同元素中取 出 m个元素的一个组合 2 排列与组合的共同点 就是都要 从 n 个不同元素中 任取m个元素 而不同点就是前 者要 按一定的顺序成一列 而后者却是 不论怎样的顺序并成一组 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有组合的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的组合数 用符号 Cmn表示 组合数公式cm n 在求具体的组合数时 常用上面的公式 分子由连续m个自然数之积 最大的数为n 最小 的数是 1 nm 分母是 m 如果进行抽象的证明时 一般常用下面的公式cm n 它的分子是 n 分母是 m与 nm 的积 3 组合数性质 mn m nn CC 1 11 mmm nnn CCC 1 1 mm nn n CC m 1111 123 mmmmm nnnnn m CCCCCmn m rnr m rnrrn m rrn m r m n CCCCCCCCC 011110 例 1 某培训班有学生 15 名 其中正副班长各一名 先选派 5 名学生参加某种课外活动 1 如果班长和副班长必须在内有多少种选派法 2 如果班长和副班长有且只有 1 人在内有多少种派法 3 如果班长和副班长都不在内有多少种派法 4 如果班长和副班长至少有 1 人在内 有多少种派法 解 1 2 2 C 3 13 C 286 2 1 2 C 4 13 C 1430 3 5 13 C 1287 4 5 15 C 5 13 C 1716 变式训练 1 从 4 名男生和 3 名女生中选 4 人参加某个座谈会 若这 4 个人中必须既有男生 又有女生 则不同的选法有 A 140B 120 典型例题典型例题 基础过关基础过关 2 C 35D 34 解 D 例 2 从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人 分别从事三项不同的工作 若这 3 人中至少有 1 名 女生 则选派 方案共有 A 108 种 B 186 种 C 216 种 D 270 种 解 没有女生的选法有C 3 4 至少有 1 名女生的选法有31 3 4 3 7 C C 种 所以选派方案总共有 31 A 3 3 186 种 故选 B 变式训练 2 从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师派到 3 个班担任班主任 每班一位班 主任 要求这 3 位班主任中男女教师都要有 则不同的选派方案共有 A 210 种B 420 种 C 630 种D 840 种 解 B 例 3 1 把 10 本相同的书分给编号 1 2 3 的阅览室 要求每个阅览室分得的书数不大于其 编号数 则不同的分法有多少种 2 以平行六面体 ABCD A1B1C1D21 的任意三个点为顶点作三角形 从中随机取出两个三角 形 则这两个三角形不共面情况有多少种 3 一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯 15 只 现以不同的亮灯方式 来增加舞台效果 设计者按照每次亮灯时恰好有 6 只是关的 且相邻的灯不能同时关掉 两 端的灯必须要亮的要求进行设计 求有多少不同的亮灯方式 解 1 先在编号为 1 2 3 的阅览室中依次放入 0 1 2 本书 再用隔板法分配剩下的 书有 2 6 C 15 种 2 平行六面体中能构成三角形个数 3 8 C 56 为任取两个有 2 56 C种情况 其 中共面的有 12 2 4 C 因而不共面的有 2 56 C 12 2 4 C种 3 28 2 8 5 8 CC 变式训练 3 马路上有编号为 1 2 3 4 10 的十盏路灯 为节约用电 又不影响照 明可以把其中的三盏关掉 但不能关掉相邻的两盏 也不能关掉两端的路灯 则满足条件的 关灯方法种数有 种 解 20 用插排法 把七盏亮灯排成一排 七盏亮灯之间有 6 个间隔 再将三盏不亮的灯 插入其中的 3 个间隔 一种插法对应一种关灯的方法 故有20 3 6 C种关灯方法 例 4 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点 1 在其中取 4 个共面的点 共有多少种不同的取法 2 在其中取 4 个不共面的点 共有多少种不同的取法 解 1 四个点共面的取法可分三类 第一类 再同一个面上取 共有 4 4 6 C个面 第二类 在一条棱上取三点 再在它所对的棱上取中点 共有 6 个面 第三类 在六条棱的六个中点 3 中取 取两对对棱的 4 个中点 共有 2 3 C 3 个面 故有 69 种 2 用间接法 共69 4 10 C 141 个面 变式训练 4 在 1 2 3 100 这 100 个数中任选不同的两个数 求满足下列条件时各有多 少种不同的取法 1 其和是 3 的倍数 2 其差是 3 的倍数 大数减小数 3 相加 共有多少个不同的和 4 相乘 使其积为 7 的倍数 解 1 1650 2 1617 3 197 4 1295 1 解有关组合应用问题时 首先要判断这个问题是不是组合问题 区别组合问题和排列问 题的唯一标准是 顺序 需要考虑顺序的是排列问题不需要考虑顺序 的的才