数学必修2空间几何体-点、直线、平面之间的位置关系复习提纲

人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 1 页共 28 页 数学必修 二 知数学必修 二 知识识梳理与解梳理与解题题方法分析方法分析 第一章第一章 空空间间几何体几何体 一 本章一 本章总总知知识结识结构构 二 各二 各节节内容分析内容分析 1 1 空空间间几何体的几何体的结结构构 1 本本节节知知识结识结构构 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 2 页共 28 页 2 教学重点和 教学重点和难难点点 重点 重点 让让学生感受大量空学生感受大量空间实间实物及模型 概括出柱 物及模型 概括出柱 锥锥 台 球的 台 球的 结结构特征 构特征 难难点 柱 点 柱 锥锥 台 球的 台 球的结结构特征的概括 构特征的概括 1 2 空空间间几何体三几何体三视图视图和直和直观图观图 1 本 本节节知知识结识结构构 2 教学重点和 教学重点和难难点点 重点 画出重点 画出简单简单几何体的三几何体的三视图视图 用斜二 用斜二测测法画空法画空间间几何体的直几何体的直观图观图 难难点 点 识别识别三三视图视图所表示的空所表示的空间间几何体 几何体 1 3 空空间间几何体的表面几何体的表面积积与体与体积积 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 3 页共 28 页 1 本 本节节知知识结识结构构 2 教学重点和 教学重点和难难点点 重点 了解球 柱体 重点 了解球 柱体 锥锥体 台体的表面体 台体的表面积积和体和体积积的的计计算公式 算公式 难难点 球体点 球体积积和的表面和的表面积积的推的推导导 三 高考考点解析三 高考考点解析 本部分内容在高考中主要考本部分内容在高考中主要考查查以下两个方面的内容 以下两个方面的内容 1 多面体的体多面体的体积积 表面 表面积积 问题问题 2 点到平面的距离 多面体的一个点到平面的距离 多面体的一个顶顶点到多面体一个面的距离 点到多面体一个面的距离 问题问题 等体等体积积代代换换法法 一 多面体的体 一 多面体的体积积 表面 表面积积 问题问题 1 06 上海上海 理理 在四棱锥 P ABCD 中 底面是边长为 2 的菱形 DAB 60 对角线 AC 与 BD 相交于点 O PO 平面 ABCD PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 1 求四棱锥 P ABCD 的体积 解解 1 在四棱锥 P ABCD 中 由 PO 平面 ABCD 得 PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角 PBO 60 在 Rt AOB 中 BO ABsin30 1 由 PO BO 于是 PO BOtg60 3 而底面菱形的面积为 2 3 四棱锥 P ABCD 的体积 V 2 2 3 1 33 2 06 上海上海 文文 在直三棱柱中 111 ABCABC 90 1ABCABBC 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 4 页共 28 页 2 若与平面所成角为 求三棱锥的体积 1 ACABC45 1 AABC 解解 2 AA1 平面 ABC ACA1是 A1C 与平面 ABC 所成的角 ACA1 45 ABC 90 AB BC 1 AC AA1 22 三棱锥 A1 ABC 的体积 V S ABC AA1 3 12 6 3 06 四川四川 理理 如图 长方体 ABCD 中 E P 分别是 BC 的中点 1111 DCBA 11 A D M N 分别是 AE 的中点 1 CD 1 AD AA a AB 2 a 求三棱锥 P DEN 的体积 解解 1 1 11 24 NEPECD P SSBC CD 矩形 222 15 4 44 aaaa 作 交于 由面得 1 DQCD 1 CDQ 11 AD 11 CDDC 11 ACDQ 面DQ 11 BCD A 在中 1 Rt CDD 1 1 22 55 CD DDa a DQa CDa 1 3 P DEND ENPNEP VVSDQ 2 152 3 45 aa 3 1 6 a 二 点到平面的距离 二 点到平面的距离问题问题 等体等体积积代代换换法法 1 06 福建福建 理理 如图 四面体 ABCD 中 O E 分别是 BD BC 的中点 2 2 CACBCDBDABAD III 求点 E 到平面 ACD 的距离 解解 III 设点 E 到平面 ACD 的距离为 h E ACDA CDE VV 11 33 ACDCDE h SAO S AAA 在中 ACD 2 2 CACDAD C A D B O E 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 5 页共 28 页 22 127 22 222 ACD S 而 2 133 1 2 242 CDE AOS 3 1 21 2 77 2 CDE ACD AO S h S 点 E 到平面 ACD 的距离为 21 7 2 06 湖北湖北 文文 如图 已知正三棱柱 的侧棱长和底面边长为 1 是底面 111 ABCABC M 边上的中点 是侧棱上的点 且 BCN 1 CC 1 2CNC N 求点到平面的距离 1 BAMN 解解 过在面内作直线 1 B 11 BCC B 为垂足 又平面 所以 AM 于是H平面 1 B HMN HAM 11 BCC B 1 B H 1 B AMN 故即为到平面 AMN 的距离 在中 1 B H 1 B 11 RB HM 故点到平面 AMN 1 B H 1 B M 1 51 sin11 25 B MH 1 B 的距离为 1 3 06 湖南湖南 理理 如图 4 已知两个正四棱锥 的高分别为 1 和 2 ABCDQABCDP 与 4 AB III 求点到平面的距离 PQAD 解解 由 知 AD 平面 PQM 所以平面 QAD 平面 PQM 过点 P 作 PH QM 于 H 则 PH QAD 所以 PH 的长 为点 P 到平面 QAD 的距离 连结 OM 因为 OM AB 2 OQ 所以 MQP 45 1 2 D 图 4 C BA Q P 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 6 页共 28 页 A B C A1 V B1 C1 又 PQ PO QO 3 于是 PH PQsin45 3 2 2 即点 P 到平面 QAD 的距离是 3 2 2 4 06 江西江西 文文 如图 已知三棱锥的侧棱两两垂直 且OABC OAOBOC OA 1 OB OC 2 E 是 OC 的中点 1 求 O 点到面 ABC 的距离 解解 1 取 BC 的中点 D 连 AD OD 则OBOC ODBCADBC BC 面 OAD 过 O 点作 OH AD 于 H 则 OH 面 ABC OH 的长就是所要求的距离 2 2BC 22 2ODOCCD 面 OBC 则 OAOBOAOC OA OAOD 在直角三角形 OAD 中 有 22 3ADOAOD 26 33 OA OD OH AD 另解另解 由知 112 363 OABCABC VSOHOA OB OC 6 3 OH 5 06 山东山东 理理 如图 已知平面平行于三棱锥的底面 ABC 等 111 A BCVABC 边 所在的平面与底面 ABC 垂直 且 ACB 90 设 1 ABC 2 ACa BCa 求点 A 到平面 VBC 的距离 解解 解法 解法 1 过 A 作于 D 1 ADBC 为正三角形 D 为的中点 1 ABC 1 BC BC 平面 1 ABCBCAD 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 7 页共 28 页 又 AD 平面 1 BCBCC VBC 线段 AD 的长即为点 A 到平面的距离 VBC 在正 中 1 ABC 33 23 22 ADACaa 点 A 到平面的距离为 VBC3a 解法解法 2 取 AC 中点 O 连结 则 平面 且 1 BO 1 BOABC 1 BO3a 由 知 设 A 到平面的距离为 x 1 BCBC VBC 11 BABCA BB C VV 即 解得 11 1111 3232 BC AC BOBC BC x 3xa 即 A 到平面的距离为 VBC3a 所以 到平面的距离为 AVBC3a 第二章第二章 点 直点 直线线 平面之 平面之间间的位置关系的位置关系 一 本章的知一 本章的知识结识结构构 二 各二 各节节内容分析内容分析 2 1 空空间间中点 直中点 直线线 平面之 平面之间间的位置关系的位置关系 1 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 8 页共 28 页 本本节节知知识结识结构构 2 教学重点和 教学重点和难难点点 重点 空重点 空间间直直线线 平面的位置关系 平面的位置关系 难难点 三种点 三种语语言 文字言 文字语语言 言 图图形形语语言 符号言 符号语语言 的言 的转换转换 3 内容内容归纳总结归纳总结 1 四个公理 四个公理 公理公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 符号语言 Al BlABl 且 公理公理 2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 三个推论 它给出了确定一个平面的依据 公理公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共 直线 两个平面的交线 符号语言 PPl Pl 且 公理公理 4 平行线的传递性 平行与同一直线的两条直线互相平行 符号语言 alblab 且 2 空 空间间中直中直线线与直与直线线之之间间的位置关系的位置关系 1 概念概念 异面直线及夹角异面直线及夹角 把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线异面直线 已知两条异面直线 经过空间任意一点 O 作直线 我们把与 a b aa bb a 所成的角 或直角 叫异面直线异面直线所成的夹角所成的夹角 易知 夹角范围 b a b090 定理定理 空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行 那么这两个角相 等或互补 注意 会画两个角互补的图形 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 9 页共 28 页 2 位置关系位置关系 相交直线 共面直线 平行直线 异面直线 3 空 空间间中直中直线线与平面之与平面之间间的位置关系的位置关系 直线与平面的位置关系有三种 直线与平面的位置关系有三种 1 2 3 l lA l 直线在平面内 直线与平面相交 直线在平面外 直线与平面平行 4 空 空间间中平面与平面之中平面与平面之间间的位置关系的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种平面与平面之间的位置关系有两种 1 2 l 两个平面平行 两个平面相交 2 2 直直线线 平面平行的判定及其性 平面平行的判定及其性质质 1 本 本节节知知识结识结构构 2 教学重点和 教学重点和难难点点 重点 通重点 通过过直直观观感知 操作确感知 操作确认认 归纳归纳出判断定理和性出判断定理和性质质 难难点 性点 性质质定理的定理的证证明 明 3 内容内容归纳总结归纳总结 1 四个定理 四个定理 定理定理定理内容定理内容符号表示符号表示分析解决分析解决问题问题的常用方法的常用方法 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 10 页共 28 页 直线与平面 平行的判定 平面外的一条直 线与平面内的一条直 线平行 则该直线与 此平面平行 abab a 且 在已知平面内 找出 一条直线与已知直线平行 就可以判定直线与平面平 行 即将 空间问题 转 化为 平面问题 平面与平面 平行的判定 一个平面内的两 条相交直线与另一个 平面平行 则这两个 平面平行 ab abP ab 判定的关键 在一个 已知平面内 找出 两条 相交直线与另一平面平行 即将 面面平行问题 转 化为 线面平行问题 直线与平面 平行的性质 一条直线与一个 平面平行 则过这条 直线的任一平面与此 平面的交线与该直线 平行 aab ab 平面与平面 平行的性质 如果两个平行平 面同时和第三个平面 相交 那么它们的交 线平行 a bab 2 定理之 定理之间间的关系及其的关系及其转转化化 两平面平行问题常转化为直线与直线平行 而直线与平面平行又可转化为直线与直线 平行 所以在解题时应注意 转化思想 的运用 这种转化实质上就是 将 高维问题 转化为 低维问题 将 空间问题 转化为 平面问题 2 3 直直线线 平面平垂直的判定及其性 平面平垂直的判定及其性质质 1 本 本节节知知识结识结构构 2 教学重点和 教学重点和难难点点 重点 通重点 通过过直直观观感知 操作确感知 操作确认认 概括出判断定理和性 概括出判断定理和性质质 难难点 性点 性质质定理的定理的证证明 明 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 11 页共 28 页 3 内容内容归纳总结归纳总结 一 基本概念 一 基本概念 1 直直线线与平面垂直 如果直与平面垂直 如果直线线 与平面与平面内的任意一条直内的任意一条直线线都都l 垂直 我垂直 我们们就就说说直直线线 与平面与平面垂直 垂直 记记作作 直 直线线 叫做平面叫做平面l l l 的垂的垂线线 平面 平面叫做直叫做直线线 的垂面 直的垂面 直线线与平面的公共点与平面的公共点叫做叫做 lP 垂足 垂足 2 直直线线与平面所成的角 与平面所成的角 角的取角的取值值范范围围 090 3 二面角 从一条直二面角 从一条直线线出出发发的两个半平面所的两个半平面所组组成的成的图图形叫做形叫做 二面角 二面角 这这条直条直线线叫做二面角的棱 叫做二面角的棱 这这两个半平面叫做二面角的两个半平面叫做二面角的 面 面 二面角的二面角的记记法 法 二面角的取二面角的取值值范范围围 0180 两个平面垂直 直二面角 两个平面垂直 直二面角 二 四个定理 二 四个定理 定理定理定理内容定理内容符号表示符号表示分析解决问题的常用方法分析解决问题的常用方法 直线与平面 垂直的判定 一条直线与一个 平面内的两条相交直 线垂直 则该直线与 此平面垂直 mnmnP am an a 且 在已知平面内 找出 两条相交直线与已知直线 垂直就可以判定直线与平 面垂直 即将 线面垂直 转化为 线线垂直 平面与平面 垂直的判定 一个平面过另一 平面的垂线 则这两 个平面垂直 aa 满足条件与垂直 的平面有无数个 判定的关键 在一个 已知平面内 找出 两条 相交直线与另一平面平行 即将 面面平行问题 转 化为 线面平行问题 直线与平面 垂直的性质 同垂直与一个平 面的两条直线平行 abab 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 12 页共 28 页 平面与平面 垂直的性质 两个平面垂直 则一个平面内垂直与 交线的直线与另一个 平面垂直 l a ala 解决问题时 常添加 的辅助线是在一个平面内 作两平面交线的垂线 三 定理之 三 定理之间间的关系及其的关系及其转转化 化 两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直 而直线与平面垂直又可转化为直线与直线 垂直 所以在解题时应注意从 高维 到 低维 的转化 即 空间问题 到 平面问题 的转化 三 高考考点解析三 高考考点解析 第一部分 三第一部分 三类类角 异面直角 异面直线线所成的所成的夹夹角 直角 直线线与平面所成与平面所成 的角 二面角 的求解的角 二面角 的求解问题问题 一 异面直 一 异面直线线所成的所成的夹夹角与异面直角与异面直线线的公垂的公垂线线 1 异面直 异面直线线所成的所成的夹夹角是本部分的重点和角是本部分的重点和难难点更是高考的点更是高考的 考点 考点 异面直线所成的角的大小是刻划空间两条异面直线的相关位置的一个量 掌握好概念 是解题的关键 其思维方法是把两条异面直线所成的角通过 平移法 转化为 平面角 然后证明这个角就是所求的角 再利用三角形解出所求的角 简言之 转化角 证明 求角 以上三个步骤 转化角 是求解的关键 因为转化的过程往往就 是求解的过程 其目的就是将 空间问题 转化为 平面问题 角问题 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 13 页共 28 页 1 06 广东广东 如图所示 分别是 的直径 与两圆所在的平AFDEOA 1 OAAD 面均垂直 是的直径 8AD BCOA 6ABAC OEAD II 求直线与所成的角 BDEF 解解 II 第一步 将第一步 将 问题问题 转化为求转化为求 平面角平面角 问题问题 根据定义和题设 我们只能从两条异面直线的四个 顶点出发作其中一条直线的平行线 此题我们只能从点 D 作符合条件的直线 连结 DO 则 ODB 即为所求的角 第二步 证明第二步 证明 ODB 就是所求的角就是所求的角 在平面 ADEF 中 DE AF 且 DE AF 所以四边形 ODEF 为平行四边形 所以 DO EF 所以根据定义 ODB 就是所求的角 第三步 求角第三步 求角 由题设可知 底面 ABCD 为正方形 DA 平面 ABCD 平面 DA BCBC ABCD 又 AF BC BC 平面 ADO DO BC DOB 为直角三角形 在 Rt ODB 10BD 82DO 或用反三角函数表示为 82 cos 10 ODB 82 arccos 10 2 06 山东山东 文文 如图 已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形 ABDC 与相交于点 且顶点在底面上的 ACBD AC BDOP 射影恰为点 又 O2 BO 2 POPBPD 求异面直接与所成角的余弦值 PDBC 解解 平面 PO ABCDPOBD 又 2 2PBPD BOPO 由平面几何知识得 1 3 6ODPDPB 过做交于于 连结 D DEBCABEPE 则或其补角为异面直线与所成的角 PDE PDBC 四边形是等腰梯形 ABCD 1 2 OCODOBOAOAOB 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 14 页共 28 页 5 2 2 2BCABCD 又 四边形是平行四边形 ABDC EBCD 5 2EDBCBECD 是的中点 且E AB2AE 又 为直角三角形 6PAPB PEA 22 622PEPAAE 在中 由余弦定理得 PED 222 cos 2 PDDEPE PDE PD DE 3542 15 15235 故异面直线 PD 与所成的角的余弦值为 BC 2 15 15 3 06 上海上海 理理 在四棱锥 P ABCD 中 底面是边长为 2 的菱形 DAB 60 对角线 AC 与 BD 相交于点 O PO 平面 ABCD PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 2 若 E 是 PB 的中点 求异面直线 DE 与 PA 所成角 的大小 结果用反三角函数值表示 解解 2 取 AB 的中点 F 连接 EF DF 由 E 是 PB 的中点 得 EF PA FED 是异面直线 DE 与 PA 所成角 或它的补角 在 Rt AOB 中 AO ABcos30 OP 3 于是 在等腰 Rt POA 中 PA 则 EF 6 2 6 在正 ABD 和正 PBD 中 DE DF cos FED 3 3 4 6 2 1 DE EF 4 2 异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos 4 2 4 06 重庆重庆 文文 如图 上右图 上右图 在正四棱柱中 1111 ABCDABC D 为上使的点 1 1 31ABBB E 1 BB 1 1B E 平面交于 交的延长线于 求 1 AEC 1 DDF 11 ADG 异面直线与所成角的大小 AD 1 C G 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 15 页共 28 页 解解 解法一 解法一 由为异面直线所成的角 连接 因为 AE 111 ADDGC GD 知 1 ADC G与 1 C F 和分别是平行平面与平面的交线 所以 由此可得 1 C F 1111 ABB ACC D D和 1 AEC G 1 AEC F 再由 得 1 3D FBE 1 FDG FDA 1 3DG 在 1111 Rt3 6 C DGC DDGC GD 111 中 由 1 得 解法二 解法二 由为异面直线 111 ADDGC GD 知 所成的角 因为和分别是平行平面 1 ADC G与 1 ECAF 与平面的交线 所以 1111 BBC CAAD D和 1 AEC G 由此可得 1 ECAF 从而 于是 111 4 AGAEC B 11 31AGAA 1 3DG 在 1111 Rt3 6 C DGC DDGC GD 111 中 由 1 得 5 06 福建福建 理理 如图 四面体 ABCD 中 O E 分别是 BD BC 的中点 2 2 CACBCDBDABAD II 求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小 解解 本小题主要考查直线与平面的位置 关系 异面直线所成的角以及点到平面的距离基 本知识 考查空间想象能力 逻辑思维能力和运 算能力 方法一方法一 II 取 AC 的中点 M 连结 OM ME OE 由 E 为 BC 的中点知 ME AB O E D C 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角 在中 OME 121 1 222 EMABOEDC 是直角斜边 AC 上的中线 OM AOC 1 1 2 OMAC 2 cos 4 OEM 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 2 arccos 4 C A D B O E 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 16 页共 28 页 6 06 湖南湖南 理理 如图 4 已知两个正四棱锥的高分别为ABCDQABCDP 与 1 和 2 4 AB II 求异面直线所成的角 PQAQ与 解解 连接 AC BD 设 ACBD O 由 PQ 平面 ABCD 及正四棱锥的性质可知 O 在 PQ 上 从 而 P A Q C 四点共面 取 OC 的中点 N 连接 PN 因为 所以 11 22 PONONO OQOAOC 或其补 PONO AQPN OQOA 从而BPN 角 是异面直线 AQ 与 PB 所成的角 连接 BN 因为 222 2 2 13PBOBOP 222 2 13PNONOP 2222 2 2 2 10BNOBON 所以 222 93 103 cos 292 33 PBPNBN BPN PB PN A 从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 3 arccos 9 7 06 江西江西 文文 如图 已知三棱锥的侧棱两两垂直 且OABC OAOBOC OA 1 OB OC 2 E 是 OC 的中点 2 求异面直线 BE 与 AC 所成的角 解解 2 取 OA 的中点 M 连 EM BM 则 EM AC BEM 是异面直线 BE 与 AC 所成的角 D 图 4 C BA Q P 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 17 页共 28 页 A B C A1 V B1 C1 求得 22 15 5 22 EMACBEOBOE 22 17 2 BMOMOB 222 2 cos 25 BEMEBM BEM BE ME 2 arccos 5 BEM 2 异面直异面直线线的公垂的公垂线问题线问题 异面直线的公垂线问题也是高考的考点之一 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线 任何两条确定的异面直 线都存在唯一的公垂线段 1 06 全国全国 理理 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 ABBC D E分别为 1 BB 1 AC 的中点 I 证明 ED 为异面直线 1 BB 与 1 AC 的公垂线 解解 设 O 为 AC 中点 连接 EO BO 则 EOC1C 1 2 又 C1CB1B 所以 EODB EOBD 为平行四边形 ED OB AB BC BO AC 又平面 ABC 平面 ACC1A1 BO面 ABC 故 BO 平面 ACC1A1 ED 平面 ACC1A1 ED AC1 ED CC1 ED BB1 ED 为异面直线 AC1与 BB1的公垂线 2 06 山东山东 理理 如图 已知平面平行于三棱锥 111 A BC 的底面 ABC 等边 所在的平面与底面VABC 1 ABC ABC 垂直 且 ACB 90 设2 ACa BCa 求证直线是异面直线与的公垂线 11 BC 1 AB 11 AC 解解 解法解法 1 证明 平面 平面 111 ABCABC 1111 BCBC ACAC BCAC 1111 BCAC B A C C1 B1 A1 D E A BC D E A1 B1 C1 O F 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 18 页共 28 页 又 平面 平面 平面 平面 1 ABCABC 1 ABCABCAC 平面 BC 1 ABC 1 BCAB 111 BCAB 又 为与的公垂线 11111 ACBCC 1111 BCABB 11 BC 1 AB 11 AC 二 二 直直线线与平面所成与平面所成夹夹角角 11 06 浙江浙江 理理 如图 在四棱锥中 底面为直角梯形 PABCD ADBC 底面 且 90BAD PA ABCD2PAADABBC 分别为 的中点 MN PCPB 求与平面所成的角 CDADMN 解解 II 取的中点 连结 ADGBGNG 则 BGCD 所以与平面所成的角和与平面所BGADMNCDADMN 成的角相等 因为平面 PB ADMN 所以是与平面所成的角 BGN BGADMN 在中 Rt BNG 10 sin 5 BN BGN BG 故与平面所成的角是 CDADMN 10 arcsin 5 18 06 江苏江苏 在正三角形 ABC 中 E F P 分别 是 AB AC BC 边上的点 满足 AE EB CF FA CP PB 1 2 如图 1 将 AEF 沿 EF 折起到 的位置 使二面EFA1 角 A1 EF B 成直二面 角 连结 A1B A1P 如 图 2 求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小 解解 不妨设正三角形的边长为 3 则 II 在图 2 中 A1E 不垂直于 A1B A1E 是面 A1BP 的斜线 又 A1E 面 BEP A1E BP BP 垂直于 A1E 在面 A1BP 内的射影 三垂线定理的逆定理 A P F E CB A1 E F CP B 图 1 图 2 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 19 页共 28 页 设 A1E 在面 A1BP 内的射影为 A1Q 且 A1Q 交 BP 于 Q 则 EA1Q 就是 A1E 与面 A1BP 所成的角 且 BP A1Q 在 EBP 中 BE BP 2 EBP 60o EBP 为正三角形 BE EP 又 A1E 面 BEP A1B A1P Q 为 BP 的中点 且 EQ 而 A1E 1 3 在 Rt A1EQ 中 即直线 A1E 与面 A1BP 所成角为 60o 3tan 1 1 EA EQ EQA 22 06 全国全国 理理 如图 是互相垂直的异面直线 MN 是它们的公垂线段 1 l 2 l 点 A B 在上 C 在上 AM MB MN 1 l 2 l 若 求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值 60ACB 解解 Rt CNARt CNB 又已知 因此为正三角形 ACBC 0 60ACB ABC Rt ANBRt CNB 因此 N 在平面 ABC 内的射影 H 是正三角NCNANB 形 ABC 的中心 连结 BH 为 NB 与平面 ABC 所成的NBH 角 在中 Rt NHB 3 6 3 cos 32 2 AB HB NBH NB AB 三 三 二面角与二面角的平面角二面角与二面角的平面角问题问题 1 06 广东广东 如图所示 分别是 的直径 与两圆所在的平AFDEOA 1 OAAD 面均垂直 是的直径 8AD BCOA 6ABAC OEAD I 求二面角的大小 BADF 解解 I AD 与两圆所在的平面均垂直 AD AB AD AF 故 BAF 是二面角 B AD F 的平面角 依题意可知 ABFC 是正方形 所以 BAF 450 即二面角 B AD F 的大小为 450 2 06 安徽安徽 理理 如图 P 是边长为 1 的正六 边形 ABCDEF 所在平面外一点 P 在平1PA 面 ABC 内的射影为 BF 的中点 O 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 20 页共 28 页 求面与面所成二面角的大小 APBDPB 解解 连结 AD 则易知 AD 与 BF 的交点为 O II 设 M 为 PB 的中点 连结 AM MD ABPPAABPBAM 在中 斜线 PB 在平面 ABC 内的射影为 OB BFAD PBAD 由三垂线定理得 又 AMADA PBAMD 平面 MDAMD 平面 PRMD 因此 为所求二面角的平面角 AMD 在正六边形 ABCDEF 中 23 2 BDBFOBAD 在 Rt 1 1 2 AOPPAOA 中 22 3 2 POPAOA 在 Rt 则 22 6 2 BOPPBPOOB 中 16 24 BMPB 22 10 4 AMABBM 22 42 4 MDBDBM 在中 由余弦定理得AMD 222 105 cos 235 MAMDAD AMD MA MD 因此 所求二面角的大小为 105 arccos 35 3 06 北京北京 理理 如图 在底面为平行四边形的四棱锥中 PABCD 平面 且 点是的中点 ABAC PA ABCDPAAB EPD 求二面角的大小 EACB 解解 如图 取 AD 的中点 F 连 EF FO 则 EF 是 PAD 的中位线 EF PA 又平面 EF 平面 PA ABCDABCD 同理 FO 是 ADC 的中位线 FOAB FO AC 由三垂线定理可知 EOF 是 二面角 E AC D 的平面角 又 FO AB PA EF 1 2 1 2 EOF 45 而二面角与二面角EACB 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 21 页共 28 页 E AC D 互补 故所求二面角的大小为 135 EACB 4 06 山东山东 文文 如图 已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形 ABDC 与相交于点 且顶点在底面上 ACBD AC BDOP 的射影恰为点 又 O2 BO 2 POPBPD 求二面角的大小 PABC 解解 平面 PO ABCDPOBD 又 2 2PBPD BOPO 由平面几何知识得 1 3 6ODPDPB 连结 由 及三垂线定理知 为二面角的平面角OEPEO PABC 2 sin 2 PO PEO PE 0 45PEO 二面角的大小为 PABC 0 45 5 06 陕西陕西 理理 如图 l A B 点 A 在直线 l 上的射影为 A1 点 B 在 l 的射影为 B1 已知 AB 2 AA1 1 BB1 求 2 II 二面角 A1 AB B1的大小 解解 BB1 平面 ABB1 在平面 内过 A1作 A1E AB1交 AB1于 E 则 A1E 平面 AB1B 过 E 作 EF AB 交 AB 于 F 连接 A1F 则由三垂线定理得 A1F AB A1FE 就是所求二面角的平面角 在 Rt ABB1中 BAB1 45 AB1 B1B 2 Rt AA1B 中 A1B AB2 AA124 13 由 AA1 A1B A1F AB 得 A1F AA1 A1B AB 1 3 2 3 2 在 Rt A1EF 中 sin A1FE A1E A1F 6 3 二面角 A1 AB B1的大小为 arcsin 6 3 6 06 四川四川 理理 如图 长方体 ABCD 中 E P 分别是 BC 的中点 1111 DCBA 11 A D M N 分别是 AE 的中点 1 CD 1 AD AA a 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 22 页共 28 页 AB 2 a 求二面角的大小 PAED 解解 设为的中点FAD 为的中点 面P 11 AD 1 PFD DPF ABCD 作 交于 连结 则由三垂线定理得FHAE AEHPHAEPH 从而为二面角的平面角 PHF PAED 在中 Rt AEF 17 2 22 a AFEFa AEa 从而 2 2 2 1717 2 a a AF EFa FH AE a 在中 Rt PFH 1 17 tan 2 DDPF PFH FHFH 故 二面角的大小为 PAED 17 arctan 2 第二部分第二部分 空空间间直直线线 平面的平行 平面的平行问题问题 现现利用高考利用高考题举题举例例说说明将明将 高高维问题维问题 转转化化为为 低低维问题维问题 将 将 空空间问题间问题 转转化化为为 平面平面问题问题 的的 转转化思想化思想 的运用 的运用 一 一 线线线线平行平行 与与 线线面平行面平行 的的转转化化问题问题 1 06 北京北京 理理 如图 在底面为平行四边形的四棱锥中 PABCD 平面 且 点ABAC PA ABCDPAAB 是的中点 EPD 求证 平面 PBAEC 解解 证明本题的关键 在平面 EAC 中 找 一条与 PB 平行的直线 由于点 E 在平面 PBD 中 所以可以 在平面 PBD 中过点 E 找 显然 要 找 的直线就 是平面 PBD 与平面 EAC 的交线 最终将 线线面平行面平行 问题转问题转化化为为 线线线线平行平行 问题问题 连接 BD 与 AC 相交与 O 连接 EO ABCD 是平行四边形 O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 EO PB 又 PB平面 AEC EO平面 AEC PB平面 AEC 10 06 天津天津 理理 如图 在五面体 中 点是矩形的对角线的ABCDEFOABCD 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 23 页共 28 页 交点 面是等边三角形 棱 CDE 1 2 EFBC 1 证明 平面 FOCDE 2 设 证明平面 3BCCD EO CDF 解解 分析通上题 分析通上题 证明 取 CD 中点 M 连结 OM 在矩形 ABCD 中 又 1 2 OMBC 1 2 EFBC 则 连结 EM 于是四边形 EFOM 为平行四边形 OMEF FOEM 又平面 CDE 且 EM平面 CDE FO 平面 CDEFO 21 06 辽宁辽宁 理理 已知正方形 分别是 的中点 将ABCDEFABCD 沿折起 如图所示 记二面角的大小为 ADE DEADEC 0 I 证明平面 BFADE 解解 分析同上分析同上 I 证明 EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB CD 的中点 EB FD 且 EB FD 四边形 EBFD 为平行四边形 BF ED 平面 EFAEDBFAED 平面而平面 BFAD E 二 二 线线面平行面平行 与与 面面平行面面平行 的的转转化化问题问题 2 06 四川四川 理理 如图 长方体 ABCD 中 E P 分别是 BC 的中点 1111 DCBA 11 A D M N 分别是 AE 的中点 1 CD 1 AD AA a AB 2 a 求证 11 MNADD A平面 证明证明 本题如果利用 线线平行 找 线 比较复 杂 不是不可以 所以我们可以考虑利用 面面平 行 来将问题转化 关键是 考虑到点 M N 都是中点 于是我们就轻松的可以找到另一 个比较特殊的中点 K OC 的中点 将 线线面平行面平行 问题转问题转化化为为 面面平行面面平行 问题问题 取的中点 连结CDK MK NK 分别为的中点 M N K 1 AK CD CD 1 MKAD NKDD 面 面 MK 11 ADD A NK 11 ADD A 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 24 页共 28 页 面面 面 MNK 11 ADD A MN 11 ADD A 第三部分第三部分 空空间间直直线线 平面的垂直 平面的垂直问题问题 现现利用高考利用高考题举题举例例详细说详细说明空明空间间直直线线 平面的垂直 平面的垂直问题问题中将中将 高高维问题维问题 转转化化为为 低低维问题维问题 将 将 空空间问题间问题 转转化化为为 平面平面问题问题 转转化思想的运用 化思想的运用 一 一 线线线线垂直垂直 到到 线线面垂直面垂直 1 06 北京北京 文文 如图 是正四棱柱 1111 ABCDABC D I 求证 BD 平面 11 ACC A 解解 根据直线与平面平行的判定定理很容易找到两 条相交的直线 AC A1A 与 BD 垂直 是正四棱柱 1111 ABCDABC D CC1 平面 ABCD BD CC1 ABCD 是正方形 BD AC 又 AC CC1平面 且 AC CC1 C 11 ACC A BD 平面 11 ACC A 5 06 山东山东 文文 如图 已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形 ABDC 与相交于点 且顶点在底面 ACBD AC BDOP 上的射影恰为点 又 O2 BO 2 POPBPD 设点 M 在棱上 且为何PC PM MC 问 值时 平面 PC BMD 解解 连结 MD MB MO 平面平面 PC BMD OM BMD 人教版 数学必修 二 立体几何部分 知识梳理 第 25 页共 28 页 PCOM 又在中 Rt POC 3 1 2PCPDOCPO 2 33 33 PMMC 故时 平面2 PM MC 2 PC BMD 6 06 重庆重庆 理理 如图 在四棱锥中 底面 ABCD 为直PABCD PA DAB 角 E F 分别为 ABCD2 ADCDAB 中点 PCCD I 试证 平面 CD BEF 解解 I 证 由已知且为直 DF ABDAB 角 故 ABFD 是矩形 从而 又CDBF 底面 ABCD 故由三垂线定理知 在 Rt中 E F 分PB CDAD CDPD PDC 别为 PC CD 的中点 故 EF PD 从而 由此得面 BEF CDEF CD 7 06 福建福建 理理 如图 四面体 ABCD 中 O E 分别是 BD BC 的中点 2 2 CACBCDBDABAD I 求证 平面 BCD AO 解解 I 证明 连结 OC BODO ABADAOBD BODO BCCDCOBD 在中 由已知可得AOC 1 3 AOCO 而 2 AC 222 AOCOAC 即90 o