广东省揭阳市2011届高三第二次模拟考试（数学理）

揭阳市揭阳市 20112011 年年高中毕业班第二次高考模拟考高中毕业班第二次高考模拟考 数学数学 理科理科 本试卷共本试卷共 4 页 页 21 小题 满分小题 满分 150 分 考试用时分 考试用时 120 分钟 分钟 注意事项 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座位 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座位 号填写在答题卡上 号填写在答题卡上 2 选择题将答案代号填在答题卡的选择题答案栏中 不能答在试卷上 选择题将答案代号填在答题卡的选择题答案栏中 不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须填写在答题卡各题目指定区域 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须填写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改 液 不按以上要求作答的答案无效 液 不按以上要求作答的答案无效 4 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 参考公式参考公式 锥体的体积公式 其中 S 表示底面积 h 表示高 1 3 VSh 乘法公式 2233 ab aabbab 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 已知集合 则为 11 MxxxZ 02 Nxx MN A B C D 1 0 1 2 01 xx 0 1 2 设 则为 1 2 34i zi z A B C D 5 5 5 3 221 5 5 3 为了解某商品销售量 y 件 与销售价格 x 元 件 的关系 统计了 的 10 组 值 并画成散点图如图 则其回归方程可能是 A B 10198yx 10198yx C D 图10198yx 10198yx 1 主 主 主 主 主 22 4 C1 B1A1 C B A i 1 主 主 x0 主 主 主 a0主 a1主 a2主 a3主 a4主 a5 i i 1 主 主 主 主 主 主 v i 5主 v主 a5 v主 v x0 a5 i 主 4 要得到函数的图象 只要将函数sin2yx 的图象 sin 2 4 yx A 向左平移 4 单位 B 向右平移 4 单位 C 向右平移 8 单位 D 向左平移 8 单位 5 已知命题 命题 则下列结论正确的是pxR 5 cos 4 x q 2 10 xR xx A 命题是真命题 B 命题是真命题 pq pq C 命题是真命题 D 命题是假命题pq pq 6 如图 2 三棱柱的侧棱长和底面边长均为 4 且侧棱 111 ABCABC 底面 其主视图 又称正视图 是边长为 的正方形 则 1 AA ABC 此三棱柱的侧视图 又称左视图 的面积为 A 16 B C D 2 34 38 3 7 已知点满足若的最小值为 3 则的值为 M x y 1 10 220 x xy xy axy a A 1 B 2 C 3 D 4 8 已知平面区域 直线和曲线有两个 2 0 4 y x y yx 2ymxm 2 4yx 不同的交点 它们围成的平面区域为 M 向区域上随机投一点 A 点 A 落在区域 M 内的 概率为 若 则的取值范围为 P M01m P M A B C D 2 0 2 2 0 2 2 1 2 2 1 2 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 一 必做题 一 必做题 9 9 1313 题 题 9 函数 的定义域为 ln 2 x f x x 10 双曲线 1 的离心率 焦点到渐近线的距离为 2 9 x 2 16 y e 11 在中 则 Rt ABC 0 C 90 AC 3AB AC 12 根据图 3 所示的程序框图 若 0514230 1 5 10 1aaaaaax 图 3 DE C B A 主主 64 32 主主 主主 主主 主主主 主主主 则输出的 V 值为 13 在平面直角坐标系中 定义点 之间的直角距离为 11 P x y 22 Q xy 若点 且 则的 1212 d P Qxxyy 1 1 2 2 5 A xBC d A Bd A C x 取值范围为 二 选做题 二 选做题 1414 1515 题 考生只能从中选做一题题 考生只能从中选做一题 两题全答的 只计前一题的得分 两题全答的 只计前一题的得分 14 几何证明选做题 几何证明选做题 如图 4 BD AE AB 4 BC 2 90C o AD 3 则 DE CE 图 4 15 坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题 设M N分别是曲线2sin0 和 2 s 42 in 上的动点 则M与N的最小距离是 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 满分小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 在ABC 中 分别为角的对边 ABC 的面积 S 满足abc ABC 3 cos 2 SbcA 1 求角A的值 2 若3a 设角B的大小为 x用表示 并求的取值范围 xcc 17 本小题满分本小题满分 12 分分 某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见右表 现 采用分层抽样方法 层内采用不放回简单随机抽样 从甲 乙两个 科室中共抽取 3 名工作人员进行一项关于 低碳生活 的调查 1 求从甲 乙两科室各抽取的人数 2 求从甲科室抽取的工作人员中至少有 1 名女性的概率 3 记表示抽取的 3 名工作人员中男性的人数 求的分布列及数学期望 18 18 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知数列是首项 公差大于 的等差数列 其前 项和为 数列是首 n a 1 1a n S n b 项的等比数列 且 1 2b 22 16b S 33 72b S D C B A P 1 求和 n a n b 2 令 求数列的前 1 1c 221kk ca 212kkk cakb 3 2 1k n c 项和 12 n 12 n T 1919 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知如图 5 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为矩形 且 PA AD 1 AB 2 120PAB 90PBC 1 求证 平面平面 PAD PAB 2 求三棱锥 D PAC 的体积 3 求直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值 图 5 2020 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知 向量 O 为坐标原点 动点 M 满足 3 0 OA 4OMOAOMOA 1 求动点 M 的轨迹 C 的方程 2 已知直线 都过点 且 与轨迹 C 分别交于点 D E 试 1 l 2 l 0 1 B 12 ll 1 l 2 l 探究是否存在这样的直线 使得 BDE 是等腰直角三角形 若存在 指出这样的直线共有几组 无需求出直线的方程 若不存在 请说明理由 2121 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知 函数 2 21f xaxx 1 若 且在上的最大值为 最小值为 令 1 1 3 a f x 1 3 M a N a 求的表达式 g aM aN a g a 2 在 1 的条件下 求证 1 2 g a 3 设 证明对任意的 0a 12 1 x x a 1212 f xf xa xx o y X 2 2 2 y ax z y x 1 y 2x 2 x 1 1o y x 揭阳市揭阳市 20112011 年年高中毕业班第二次高考模拟考高中毕业班第二次高考模拟考 数学数学 理科理科 参考答案及评分说明参考答案及评分说明 一 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主一 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容和二 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度 可视影响的程度决定给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后续部难度 可视影响的程度决定给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后续部 分的解答有较严重的错误 就不再给分 分的解答有较严重的错误 就不再给分 三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四 只给整数分数四 只给整数分数 一 选择题 一 选择题 DCBD CDCD 解析 解析 5 因命题假 命题真 所以答案选 C pq 6 该三棱柱的侧视图是长为 4 宽为的矩形 故选 D 2 3 7 由各选项知 a 取正值 设 结合图形易得当直线axyz yaxz 过点时 取得最小值 故 选 C 1 0 axy 3a 8 已知直线过半圆上一点 2 2ymxm 2 4yx 当 时直线与 轴重合 这时 故可排除 A B 若 1P M 如图可求得当 故选 D 2 2 P M 二 填空题 二 填空题 9 或 10 4 11 3 12 32 23xx 3 x 5 3 或 14 5 15 21 0 x 3x 2 7 解析 解析 10 因 所以 焦点 5 0 到渐近线的距离为3 45abc 5 3 e 4 3 yx 4 5 4 5 d 11 或 2 AB ACAC CBACAC3 AB AC AB AC cos A AB AC AB AC 2 3AC 12 该框图是求多项式当时的值 依题意知 5432 543210 a xa xa xa xa xa 0 1xx 故输出的 值为 5432 543210 a xa xa xa xa xa 5 1 x 5 1 1 32 13 由定义得 解得或 1 1 2 4 1 2 3xxxx 0 x 3x 14 依题意得 ADB ACB ADAB AD AEAC AB ACAE AD ADDEAC AB 由 6 49 5 3 DE 22 7DBABAD 2 7 DBADDB AC EC ECACAD 15 将方程2sin0 和 2 s 42 in 化为普通方程得 22 20 xyy 1xy 结合图形易得M与N的最小距离是为21 三 解答题 解答题 16 解 1 在ABC 中 由 3 cos 2 SbcA 1 sin 2 bcA 得 3 分tan3A 3 A 5 分0A 2 由3 3 aA 及正弦定理得 7 分 3 2 sinsin3 2 ac AC 9 分 2 2sin2sin 2sin 3 cCABx 10 分 3 A 2 0 3 x 22 0 33 x 2 0sin 1 3 x 2 02sin 2 3 x 即 12 分 0 2 c 17 解 1 从甲组应抽取的人数为 从乙组中应抽取的人数为 3 102 15 3 51 15 2 分 2 从甲组抽取的工作人员中至少有 1 名女性的概率 2 6 2 10 2 1 3 C P C 或 5 分 112 464 2 10 2 3 C CC P C 3 的可能取值为 0 1 2 3 6 分 7 分 21 42 21 105 4 0 75 CC P CC 8 分 11112 46324 2121 105105 22 1 75 C CCCC P CCCC 9 分 21 63 21 105 1 3 5 CC P CC 或 34 2 1 0 1 3 75 PPPP 10 分 21111 66432 2121 105105 34 2 75 CC CCC P CCCC 的分布列如右 12 分 4223419 0123 75757555 E 18 18 解解 1 设数列的公差为 数列的公比为 n ad0d n bq 则 1 分1 1 n and 1 2 n n bq 依题意得 22 2 2 16b Sqd 2 33 2 33 72b Sqd 由此得 解得 5 分 2 2 8 1 12 qd qd 0d 2 2 d q 6 分21 n an 2n n b 2 211121342 2 n Tcaabaab 212 nnn aanb 9 分 212 1 2 nn Sbbnb 令 12 2 n Abbnb 则 2 22 22nAn 231 222 2 1 22 nn Ann 12 分 21 2222 nn An 11 222 nn An z y x P A B C D P A B C D E 又 2 2 2 2 1 4 2 n n na Sn 14 分 211 21 14222 nn n Tnn 21 34 1 2nnn 19 1 证明 ABCD 为矩形 且 1 分ADAB ADBC 且 2 分BCPB DAPB ABPBB 平面 又 平面 PADDA PABDA 平面平面 5 分PAD PAB 2 7 分 D PACP DACP ABCC PAB VVVV 由 1 知平面 且 平面 8 分DA PAB ADBCBC PAB 10 分 11 1 sin 33 2 C PABPAB VSBCPA ABPAB BC 133 1 21 626 3 解法 1 以点 A 为坐标原点 AB 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系如 右图示 则依题意可得 0 0 1 D 0 2 1 C 31 0 22 P 可得 12 分 35 1 22 CP 平面 ABCD 的单位法向量为 设直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 1 0 0 m 则 3 6 2 cos 28 325 11 44 m CP mCP 即直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值 14 分 6 sin 8 6 8 解法 2 由 1 知平面 面DA PABAD ABCD 平面 ABCD 平面 PAB 在平面 PAB 内 过点 P 作 PE AB 垂足为 E 则 PE 平面 ABCD 连结 EC 则 PCE 为直线 PC 与平面 ABCD 所成的角 12 分 在 Rt PEA 中 PAE 60 PA 1 又 3 2 PE 222 2cos1207PBPAABPA AB 22 2 2PCPBBC 在 Rt PEC 中 即直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值 3 6 2 sin 82 2 PE PC 6 8 14 分 20 1 解法 设 1 分 3 0 A 则 4 OMOAOMOAOMOAOMOA 4MAMA 2 3 分 动点 M 的轨迹为以 为焦点 长轴长为 4 的椭圆 5 分A A 由 6 分3 242caa 22 1bac 动点 M 的轨迹 C 的方程为 7 分 2 2 1 4 x y 解法 设点 M x y 则 2 分 3 3 OMOAxy OMOAxy 4OMOAOMOA 4 分 2222 3 3 42 3xyxy 点 M 的轨迹 C 是以为焦点 长轴长为 4 的椭圆 5 分 3 0 6 分2 3 ac 22 1bac 动点 M 的轨迹 C 的方程为 7 分 2 2 1 4 x y 2 由 1 知 轨迹 C 是椭圆 点是它的上顶点 2 2 1 4 x y 0 1 B 设满足条件的直线 存在 直线的方程为 1 l 2 l 1 l1 0 ykxk 则直线的方程为 8 2 l 1 1yx k 分 将 代入椭圆方程并整理得 可得 则 22 14 80kxkx 2 8 14 D k x k 9 分 2 2 8 1 14 D k y k 将 代入椭圆方程并整理得 可得 则 22 4 80kxkx 2 8 4 E k x k 2 8 1 4 E y k 10 分 由 BDE 是等腰直角三角形得 BDBE 2 2222 2222 8888 141444 kkk kkkk 242 22222222 64646464 14 14 4 4 kkk kkkk 2222 22222222 1 11 14 4 14 4 kkkk kkkk 22 1 144 k kk 12 分 3232 414144kkkkkk 2 1 1 4 1 kkkk k 或 13 分1k 2 310kk 方程 的根判别式