高中数学《微积分基本定理》文字素材2 新人教A版选修2-2

用心 爱心 专心 1 微积分的产生与发展微积分的产生与发展 一 准备 在十六世纪末 十七世纪初的欧洲 文艺复兴带来了人们思维方式的改变 资本主义制 度的产生 使社会生产力大大得到解放 资本主义工厂手工业的繁荣和向机器生产的过渡 促使技术科学和数学急速向前发展 在科学史上 这一时期出现了许多重大的事件 向数学提出了新的课题 公元 1492 年 哥伦布发现了新大陆 证实了大地是球形的观念 1543 年 哥白尼发表了 天体运行论 使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇 开普勒在 1609 1619 年 总结出行星 运动的三大定律 导致后来牛顿万有引力的发现 1609 年伽里略用自制的望远镜观察了月 亮 金星 木星等星球 把人们的视野引向新的境界 这些科学实践拓展了人们对世界的认 识 引起了人类思想上的质变 十六世纪 随着资本主义生产萌芽的出现 产生了新的生产 关系 社会生产力有了很大的发展 社会实践中有大量处于不断运动和变化的关系需要人们 去认识和处理 对它们的研究从而获得了 变量 的概念 对变化着的量的一般性质和它们 之间的依赖关系的研究 又得到了 函数 的概念 使得对数学的研究从常量开始进入了变 量的领域 这成为数学发展史上的一个转折点 也是 变量 数学发展的第一个决定性步 骤 由于 变量 作为新的问题进入了数学 对数学的研究方法也就提出了新的要求 在十 七世纪前半叶 解析几何的观念已经有一系列优秀的数学家接近了 但是十七世纪三十年代 解析几何才被笛卡尔 Descartes R 法 1596 1650 和费尔马 Fermat P de 法 1601 1665 创立 用心 爱心 专心 2 一般认为 解析几何的主要创立者是笛卡尔 1637 年 笛卡尔用法文写了三篇论文 折光学 气象学 和 几何学 并为此写了一篇序言 科学中正确运用理性和追求 真理的方法论 哲学史上简称为 方法论 几何学 提出了解析几何学的主要思想和 方法 这标志着解析几何学的诞生 和笛卡尔同时或较早 费尔马已得到解析几何的要 旨 他在 平面与立体轨迹引论 开始于 1629 年 1636 年前完成 立体轨迹 指不能 用尺规作出的曲线 与现在的含义不同 一文中明确指出方程可以描述曲线 并通过对方程 的研究可以推断出曲线的性质 在解析几何里 由于建立了坐标系 可以用字母表示变动的坐标 用代数方程刻画一般 平面曲线 用代数运算代替几何量的逻辑推导 从而把对几何图形性质的研究转化为对解析 式的研究 使数与形紧密地结合起来了 这种新的数学方法的出现与发展 使数学的思想和 方法的发展发生了质的变化 思格斯把它称为数学的转折点 此后人类进入了变量数学阶段 也是变量数学发展的第一个决定性步骤 为十七世纪下半叶微积分算法的出现准备了条件 二 产生 微积分出现于十七世纪后半叶的西欧 牛顿 Newton I 英 1642 1727 和莱布 尼茨 Leibniz G W 德 1646 171 在十七世纪后半叶各自独立地建立了微积分 这 是变量数学发展的第二个决定性步骤 微积分是经过长时间的酝酿才产生的 微积分的原理可以追溯到古代 在中国 公元前 4 世纪的桓团 公孙龙街等所提出的 一尺之棰 日取其半 万世不竭 公元 3 世纪的刘 徽 公元 5 6 世纪的祖冲之 祖暅对圆周率 面积以及体积的研究 都包含有极限和微积 分的思想萌芽 在欧洲 公元前 3 世纪古希腊的欧几里得 Euclid 阿基米得 用心 爱心 专心 3 Archimedes 约公元前 287 212 所建立的确定面积和体积的方法 也都包含有上述萌 芽 在十六世纪末 十七世纪初 由于受力学问题的研究 函数概念的产生和几何问题可以 用代数方法来解决的影响 促使许多数学家去探索微积分 开普 Kepler J 德 1571 1630 卡瓦列里 Cavalieri F B 意 1598 1647 和牛顿的老师巴罗 Barrow I 英 1630 1677 等人也研究过这些问题 但是没有形成理论和普遍适用 的方法 1638 年 费尔马首次引用字母表示无限小量 并运用它来解决极植问题 稍后 他又 提出了一个与现代求导过程实质相同的求切线的方法 并用这种方法解决了一些切线问题和 极值问题 后来 英格兰学派的格雷果里 Gregory J 英 1638 1675 瓦里斯 WalliS J 英 1616 1703 继续费尔马的工作 用符号 0 表示无限小量 并用它 进行求切线的运算 到十七世纪早期 他们已经建立起一系列求解无限小问题的特殊方 法 诸如 求曲线的切线 曲率 极大极小值 求运动的瞬时速度以及面积 体积 曲线长 度 物体重心的计算等 但他们的工作差不多都局限于一些具体问题的细节之中 还缺乏普 遍性的规律 牛顿是从物理学观点来研究数学的 他创立的微积分学原理是同他的力学研究分不开 的 他发现了力学三大定律和万有引力定律 1687 年牛顿出版了他的名著 自然哲学的数 学原理 原理 从作为力学基础的定义和公理 运动定律 出发 将整个力学建立在严 谨的数学演绎基础上 就数学本身而言 原理 不仅深入地运用了牛顿本人创造的分析工 具 而且也是牛顿分析学说的第一次正式公布 他超越前人的功绩在于 将前人创立的特殊 技巧统一为一般的算法 特别是确立了微分与积分这两类运算的互逆关系 微积分基本定理 用心 爱心 专心 4 莱布尼茨却是从几何学的角度去考虑微积分的 特别是和巴罗的微分三角形有密切关 系 1684 年 他在 学艺 杂志上发表了他的第一篇微分学文章 一种求极大极小和切线 的新方法 这是世界上最早的微积分文献 比牛顿的 自然哲学的数学原理 早 3 年 他在文章中谈到量的微分概念 提出量的和 差 积 商 根 幂的微分公式 以及微 分方法在求切线 求极值等几何问题上的应用 以后又陆续发表了一些文章 提出了诸如指 数 对数的微分公式和微分的进一步的应用 他力图找到普遍的方法来解决数学分析中的问 题 这样 在十七世纪七十年代中期 莱布尼茨通过研究几何问题 建立了与流数法实质一 样的微积分算法 他所引进的微积分符号 d f 比牛顿用的符号更灵活 更能反映微积分 的本质 例如微分 dx 二阶微分 d2x 都非常适合 便利 这些 符号一直沿用到今天 在促进微积分方法发展方面起了积极作用 牛顿和莱布尼茨的工作是各自独立的 他俩的工作有很大的不同 主要区别是 牛顿把 x和y的无穷小增量作为求导数的手段 当增量越来越小的时候 导数实际上就是增量的比 的极限 而莱布尼茨却直接用x和y的无穷小增量 就是微分 求出它们之间的关系 这个 差别反映了牛顿的物理学方向和莱布尼茨的几何学方向的不同思维方式 在物理学方面 需 要关注速度 加速度等问题 而几何学却着眼于面积体积的计算 牛顿自由地用级数表示函 数 而莱布尼茨宁愿用有限的形式来实现 他们的工作方式也不同 牛顿是经验的 具体的 和谨慎的 而莱布尼茨是富于想象的 喜欢推广的而且是大胆的 他们对记号的关心也有差 别 牛顿认为用什么记号无关紧要 而莱布尼茨却花费很多时间来选择富有提示性的符号 人类对求积问题 积分学的中心问题 的探讨 可以追溯到远古 但对切线问题 微分 学的中心问题 的探讨却是比较晚的事 因而微分学的起点远远落后于积分学 牛顿 莱布 尼茨将这两个貌似不相关的问题联系起来 用 微积分基本定理 或称 牛顿 莱布尼茨公 用心 爱心 专心 5 式 表达出来 他们有效地创立了微积分的基本定理和运算法则 从而使微积分能成为一门 独立的学科 并成为数学中最大分支 分析学 的起源 终于不再是古希腊几何学的延 展 这都是他们作出贡献以前不可能达到的 三 发展 在数学上 有人把十七世纪叫做天才的时期 也有人把十八世纪叫做发明的时期 这两 个世纪的数学成就是巨大的 微积分学的深入发展 成为了十八世纪数学发展的主要线索 这种发展与广泛的应用紧 密交织在一起 刺激和推动了许多新分支的产生 使分析形成了在观念和方法上都具有鲜明 特别的独立的数学领域 这个时期微积分学的发展有三个显著特征 第一个特征是分支广泛 数学家从物理学 力学 天文学的研究中发现 创立了许多数 学新分支 这些分支在十八世纪大都处于萌芽状态 未形成系统严密的理论 他们的目标不 是研究数学 而是用数学去解决物理学中的问题 他们认为数学只是物理学的一个工具 他 们关心的只是数学对天文学 物理学的价值 可以说十八世纪数学的推动力是物理学和天文 学 泰勒 Taylor B 英 1685 1731 和马克劳林 Macleaurin C 英 1698 1746 在研究弦振动理论和天文学问题时 得到级数展开理论 微分几何是克莱罗 Clairaut A C 法 1713 1765 欧拉 Euler L 瑞 1707 1783 在研究曲 线曲面的力学问题 光学问题 大地测量和地图绘制问题时产生的 欧拉 拉格朗日 Lagrange J L 法 1736 1813 和伯努利兄弟 Nikolaus Bernoulli1695 1726 DamielBernoulli 1700 1782 瑞 在研究力学和天体运行问题 用心 爱心 专心 6 之时 建立了变分法和常微分方程 达朗贝尔 d Alembert J leR 法 1717 1783 拉普拉斯 Laplace P S 法 1749 1827 拉格朗日在研究弦振 动 弹性力学和 有引力问题时建立了偏微分方程理论 主要是一阶的 欧拉 柯西 Cauchy A L 法 1789 1857 在研究流体力学问题时 建立了复变函数论等等 第二个特征是方法的交替 几何论证法是自古以来人们研究数学时所广泛使用的方 法 十七世纪的时候 代数是人们兴趣的中心 那时候代数和分析还没有分开来 但是到了 十八世纪 它变成从属于数学分析 而且除了数论以外 促进代数研究的因素大部分来自数 学分析 随着对微积分研究的进一步深入 欧拉和拉格朗日认识到分析方法具有更大的效用 就慎重地 逐渐地把几何论证换成分析论证 欧拉的许多教科书里都着重说明了怎样使用分 析法 拉格朗日在他的 分析力学 的序言中大力推广分析论证 拉普拉斯在他的 宇宙体 系统 中也强调了分析法的重要作用 后来许多数学家开始认识到分析法的重要性 这样数 学分析的思想方法逐渐被普遍地采用了 第三个特征是不严密 正如任何一项重大的发明 都不可能在一开始时便完整无瑕 微 积分在其产生的初期 也因理论的不严密而在许多方面陷入了自相矛盾的困境 微积分产生于解析几何 物理等的直观问题的需要 而同时也广泛地被利用 它没有相 应的数学理论作指导 还来不及为自己打基础 微积分的基础是极限理论 而牛顿 莱布尼 茨的极限观念是十分模糊的 究竟什么是极限 无穷小又是什么 这在当时没有人作出过合 理的解释 级数和积分的收敛性 微分和积分次序交换 高阶微分的使用 以及微分方程解 的存在性问题等等 那时几乎没有人涉足 数学家就沉迷于用新的数学方法去解决物理 天 文等方面的问题 而又被得到的新的成果所陶醉 大家还顾及不上去追究在数学推理上的严 密性 在当时的情况下也没看到有这必要 正如达朗贝尔在 1743 年说 直到现在 表 用心 爱心 专心 7 现出更多关心的是去扩大建筑 而不是在人口处张灯结彩 是把房子盖得更高些 而不是给 基础补充适当的强度 因此 十八世纪的数学家开垦了许多新的处女地 数量之多是惊人 的 但是他们的工作是粗糙的 不严密的 是刀耕火种式的工作方法 由于十八世纪的数学 家忙于应用解析几何和微积分这两种强有力的数学工具去解决科学和技术中的许多实际问题 并被新方法的成功所陶醉 而无暇顾及所依据的理论是否可靠 基础是否扎实 这就出现了 谬误越来越多的混乱局面 四 深入 到了十九世纪 新数学中直观的不严密的论证导致的局限性和矛盾愈发显著 微积分的 严密化日益引起数学家的关注 严密的分析是从波尔查诺 Bolzano B 捷 1786 1848 柯西 阿贝尔 Abei N H 挪 1802 1829 和狄利克雷 Dirichlet P G 德 1805 1859 的工作开始的 为它的进一步发展作出了大重大 贡献的有维尔斯特拉斯 Weier strass K T W 德 1815 1897 柯西在他的 分折教程 1821 中从定义变量开始 对于函数概念引进了变量之间的对应关系 而单 值函数的确切定义 是狄利克雷在一篇关于博里叶级数的论文中 用正弦和余弦级数来表示 完全任意的函数 1837 中给出的 1829 年狄利克雷给出了著名的狄利克雷函数 在一 切有理数时取 1 在一切无理数时取 0 以后维尔斯特拉斯利用三角级数构造出处处连续 处处不可导的函数例子 关于函数连续性的确切定义 即 说法 是由维尔斯特拉斯在 1841 1856 年间作中学教师时给出的 波尔查诺于 1817 年首先给出了导数的定义 柯西于 1823 年在他的 无穷小分析教程概论 的著作中 对定积分作了系统的开创性工作 对于 连续函数给出了定积分作为和函数的极限的确切定义 黎曼 Riemann G F B