【中考12年】上海市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题6 函数的图像与性质

用心 爱心 专心1 2001 20122001 2012 年上海市中考数学试题分类解析汇编 年上海市中考数学试题分类解析汇编 1212 专题 专题 专题专题 6 6 函数的图象与性质 函数的图象与性质 1 1 选择题选择题 1 1 上海市 上海市 20042004 年年 3 3 分 分 在函数的图象上有三点 y k x k 0A xy 111 已知 则下列各式中 正确的是 AxyA xy 222333 xxx 123 0 A B yy 13 0 yy 31 0 C D yyy 213 yyy 312 答案答案 C 考点考点 反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数的性质 分析分析 根据题意画出图形 再根据函数的增减性解答即可 0 函数图象如图 k 图象在第一 三象限 在每个象限内 随的增大而减小 yx xxx 123 0 yyy 213 故选 C 2 2 上海市 上海市 20062006 年年 4 4 分 分 二次函数图像的顶点坐标是 2 1 3yx A 1 3 B 1 3 C 1 3 D 1 3 答案答案 B 考点考点 二次函数的性质 分析分析 根据二次函数的顶点式的特点 直接写出顶点坐标 1 3 故选 B 3 3 上海市 上海市 20072007 年年 4 4 分 分 如果一次函数的图象经过第一象限 且与轴负半轴相交 那么 ykxb y A B C D 0k 0b 0k 0b 0k 0b 0k 0b 答案答案 B 考点考点 一次函数图象与系数的关系 分析分析 一次函数的图象有四种情况 ykxb 当 时 函数的图象经过第一 二 三象限 y 的值随 x 的值增大而增大 0k 0b ykxb 用心 爱心 专心2 当 时 函数的图象经过第一 三 四象限 y 的值随 x 的值增大而增大 0k 0b ykxb 当 时 函数的图象经过第一 二 四象限 y 的值随 x 的值增大而减小 0k 0b ykxb 当 时 函数的图象经过第二 三 四象限 y 的值随 x 的值增大而减小 0k 0b ykxb 由题意得 函数的图象经过第一 三 四象限 故选 B ykxb 0k 0b 4 4 上海市 上海市 20082008 年年 4 4 分 分 在平面直角坐标系中 直线经过 1yx A 第一 二 三象限B 第一 二 四象限 C 第一 三 四象限D 第二 三 四象限 答案答案 A 考点考点 一次函数图象与系数的关系 分析分析 一次函数的图象有四种情况 ykxb 当 时 函数的图象经过第一 二 三象限 y 的值随 x 的值增大而增大 0k 0b ykxb 当 时 函数的图象经过第一 三 四象限 y 的值随 x 的值增大而增大 0k 0b ykxb 当 时 函数的图象经过第一 二 四象限 y 的值随 x 的值增大而减小 0k 0b ykxb 当 时 函数的图象经过第二 三 四象限 y 的值随 x 的值增大而减小 0k 0b ykxb 由题意得 函数的 故它的图象经过第一 二 三象限 故选 A 1yx 0k 0b 5 5 上海市 上海市 20082008 年年 组组 4 4 分 分 在平面直角坐标系中 抛物线与轴的交点的个数是 2 1yx x A 3B 2C 1D 0 答案答案 B 考点考点 抛物线与轴的交点 x 分析分析 抛物线与轴的交点的个数即方程不相等实数根的个数 有 2 个 故选 B 2 1yx x 2 1 0 x 6 6 上海市 上海市 20092009 年年 4 4 分 分 抛物线 是常数 的顶点坐标是 2 2 yxmn mn A B C D mn mn mn mn 答案答案 B 考点考点 抛物线的性质 用心 爱心 专心3 分析分析 因为抛物线是顶点式 根据顶点式的坐标特点 它的顶点坐标是 2 2 yxmn mn 故选 B 7 7 上海市 上海市 20102010 年年 4 4 分 分 在平面直角坐标系中 反比例函数 图像的两支分别在 0 k yk x A 第一 三象限 B 第二 四象限 C 第一 二象限 D 第三 四象限 答案答案 B 考点考点 反比例函数的性质 分析分析 根据反比例函数的性质 当时 图象分别位于第一 三象限 当时 0 k yk x 0k 0k 图象分别位于第二 四象限 反比例函数的系数 0 k yk x 0k x y 轴的垂线段 与 x y 轴所围成的矩形面积是 12 那么该函数解析式是 答案答案 12 y x 考点考点 反比例函数系数 k 的几何意义 分析分析 因为过双曲线上任意一点引 x 轴 y 轴垂线 所得矩形面积 S 是个定值 即 S k 根据题意 知 k 12 k 12 又 k 0 k 12 该函数关系式为 12 y x 4 4 上海市 上海市 20052005 年年 3 3 分 分 点 A 2 4 在正比例函数的图象上 这个正比例函数的解析式是 答案答案 2y x 考点考点 待定系数法求正比例函数解析式 曲线上的点与坐标的关系 分析分析 设这个正比例函数的解析式是 因为点 A 2 4 在该正比例函数的图象上 所以有 4 2 y kx 从而可求出 2 从而得这个正比例函数的解析式是 kk2y x 5 5 上海市 上海市 20052005 年年 3 3 分 分 如果将二次函数的图象沿 y 轴向上平移 1 个单位 那么所得图象的函 2 2yx 数解析式是 答案答案 2 21yx 考点考点 二次函数图象与平移变换 分析分析 直接利用平移的规律 左加右减 上加下减 在原函数上加 1 可得新函数解析式 2 21yx 6 6 上海市 上海市 20062006 年年 3 3 分 分 某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示 那么这种汽油的单价是每升 元 答案答案 5 09 考点考点 函数的图象 分析分析 根据图象知道 100 升油花费了 509 元 由此即可求出这种汽油的单价 单价 509 100 5 09 元 用心 爱心 专心5 7 7 上海市 上海市 20072007 年年 3 3 分 分 如图 正比例函数图象经过点 该函数解析式是 A 答案答案 3y x 考点考点 待定系数法求正比例函数解析式 分析分析 设该正比例函数的解析式为 y kx 由图象可知 该函数图象过点 A 1 3 3k 该正比例函数的解析式为 3y x 8 8 上海市 上海市 20082008 年年 4 4 分 分 在平面直角坐标系中 如果双曲线经过点 那么 0 k yk x 21 k 答案答案 2 考点考点 曲线上点的坐标与方程的关系 分析分析 因为双曲线经过点 所以满足方程 即 从而 0 k yk x 21 21 1 2 k 2k 9 9 上海市 上海市 20092009 年年 4 4 分 分 反比例函数图像的两支分别在第 象限 2 y x 答案答案 一 三 考点考点 反比例函数的性质 分析分析 根据反比例函数的性质 当时 图象分别位于第一 三象限 当时 0 k yk x 0k 0k 图象分别位于第二 四象限 反比例函数的系数 图象两个分支分别位于第一 三象 2 y x 20k 限 10 10 上海市 上海市 20102010 年年 4 4 分 分 一辆汽车在行驶过程中 路程 y 千米 与时间 x 小时 之间的函数关系如图所示 当 0 x 1 时 y 关于 x 的函数解析式 为 y 60 x 那么当 1 x 2 时 y 关于 x 的函数解析式为 答案答案 y 100 x 40 考点考点 函数图象 直线上点的坐标与方程的关系 分析分析 在 0 x 1 时 把 x 1 代入 y 60 x 则 y 60 那么当 1 x 2 时由两点坐标 1 60 与 2 160 用心 爱心 专心6 得当 1 x 2 时的函数解析式为 y 100 x 40 11 11 上海市 上海市 20112011 年年 4 4 分 分 如果反比例函数 是常数 0 的图像经过点 1 2 那么这 k y x kk 个函数的解析式是 答案答案 2 y x 考点考点 曲线上的点与方程的关系 分析分析 根据点在曲线图上点的坐标满足方程的关系 把 1 2 代入 得 即 k y x 2 1 k 2k 那么这个函数的解析式是 2 y x 三 解答题三 解答题 1 1 20012001 上海市上海市 1010 分 分 如图 已知抛物线 y 2x2 4x m 与 x 轴交于不同的两点 A B 其顶点是 C 点 D 是抛物线的对称轴与 x 轴的交点 1 求实数 m 的取值范围 2 求顶点 C 的坐标和线段 AB 的长度 用含有 m 的式子表示 3 若直线分别交 x 轴 y 轴于点 E F 问 BDC 与 EOF 是否有可能全等 如果可能 y2x1 请证明 如果不可能 请说明理由 用心 爱心 专心7 答案答案 解 1 令 y 0 则有 2x2 4x m 0 依题意有 16 8 m 0 m 2 又 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴正半轴上 m 0 因此实数 m 的取值范围为 0 m 2 2 C 1 m 2 2 2 y2x4xm2 x1m2 令 y 0 2x2 4x m 0 则 由 1 知 1212 m xx2xx 2 m 0 2 AB 2 2 121212 m xxxx4 xx2442m 2 3 在中令 y 0 得 x E 0 y2x1 2 2 2 2 令 x 0 得 y 1 F 0 1 OE OF 1 2 2 由 2 可得 BD CD 2 m 42m 2 当 OE BD 时 解得 m 1 242m 22 此时 OF DC 1 又 EOF CDB 90 BDC EOF SAS 两三角形有可能全等 考点考点 二次函数综合题 一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系 二次函数的性质和应用 全 等三角形的判定 分析分析 1 由图象可知 抛物线与 x 轴有两个交点 因此对应的一元二次方程的根的判别式 0 求 解即可 2 直接根据顶点式得到顶点坐标和与 x 轴的交点坐标 再求 AB 的长度 3 要求判定 BDC 与 EOF 是否有可能全都 即指探索全都的可能性 本题已有 CDE EOF 90 BD 与 OE 或 OF 都可能是对应边 证出其中一种情形成立即可 2 2 上海市 上海市 20022002 年年 1010 分 分 如图 直线 y x 2 分别交 x y 轴 2 1 于点 A C P 是该直线上在第一象限内的一点 PB x 轴 B 为垂 用心 爱心 专心8 足 S ABP 9 1 求点 P 的坐标 2 设点 R 与点 P 的同一个反比例函数的图象上 且点 R 在直线 PB 的右侧 作 RT x 轴 T 为垂足 当 BRT 与 AOC 相似时 求点 R 的坐标 答案答案 解 1 由题意 得点 C 0 2 点 A 4 0 设点 P 的坐标为 a a 2 其中 a 0 2 1 由题意 得 S ABP a 4 a 2 9 2 1 2 1 解得 a 2 或 a 10 舍去 而当 a 2 时 a 2 3 点 P 的坐标为 2 3 2 1 2 设反比例函数的解析式为 k y x 点 P 在反比例函数的图象上 k 6 k 3 2 反比例函数的解析式为 6 y x 设点 R 的坐标为 b 点 T 的坐标为 b 0 其中 b 2 那么 BT b 2 RT 6 b 6 b 当 RTB AOC 时 即 RTBT AOCO RTAO 2 BTCO 解得 b 3 或 b 1 舍去 6 b 2 b2 点 R 的坐标为 3 2 当 RTB COA 时 即 RTBT COAO RTCO1 BTAO2 解得 b 1 或 b 1 舍去 6 1 b b22 1313 点 R 的坐标为 1 13 2 113 综上所述 点 R 的坐标为 3 2 或 1 13 2 113 考点考点 一次函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 相似三角形的判定和性质 解一元二次方程 分析分析 1 根据点在直线上 点的坐标满足方程的性质 求出 BP AB 的值从而可求出点 P 的坐标 用心 爱心 专心9 2 设 R 点坐标为 x y 求出反比例函数 又因为 BRT AOC 利用线段比联立方程组求 出 x y 的值 3 3 上海市 上海市 20032003 年年 1010 分 分 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分 在大桥截面 1 11000 的比例图 上 跨度 AB 5cm 拱高 OC 0 9cm 线段 DE 表示大桥拱内桥长 DE AB 如图 在比例图上 以直线 AB 为 x 轴 抛物线的对称轴为 y 轴 以 1cm 作为数轴的单位长度 建立平面直角坐标系 如图 1 求出图上以这一部分抛物线为图像的函数解析式 写出函数定义域 2 如果 DE 与 AB 的距离 OM 0 45cm 求卢浦大桥拱内实际桥长 备用数据 1 4 计算结果2 精确到 1 米 答案答案 解 1 顶点 C 在 y 轴上 设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 2 9 yax 10 点 A 0 在抛物线上 得 5 2 2 59 0a 210 18 a 125 所求函数解析式为 2 18955 yx 1251022 x 2 点 D E 的纵坐标为 得 9 20 2 9189 x 2012510 5 x 2 4 点 D 的坐标为 点 E 的坐标为 5 2 4 9 20 5 2 4 9 20 DE 5 2 4 5 2 4 5 2 2 因此月河河流宽度为 11000 0 01 米 5 2 2 275 2385 考点考点 二次函数的应用 曲线上的点与方程的关系 分析分析 1 因为 C 在 y 轴上 故设抛物线的解析式为 把 A 点坐标代入解析式求出 a 即可 2 9 yax 10 2 因为点 D E 的纵坐标相同 易求 DE 的长 4 4 上海市 上海市 20032003 年年 1010 分 分 已知在平面直角坐标系内 O 为坐标原点 A B 是轴正半轴上的两点 点 A 在点 B 的左侧 如图 二次函数x 的图象经过点 A B 与轴相交于点 C 2 0 yaxbxc a y 用心 爱心 专心10 1 的符号之间有何关系 ac 2 如果线段 OC 的长度是线段 OA OB 长度的比例中项 试证 互为倒数 ac 3 在 2 的条件下 如果 4 AB 求 的值 b34ac 答案答案 解 1 由图可知 当抛物线开口向下 即 0 时 0 如图 ac 当抛物线开口向上 即 0 时 0 ac 因此 同号 ac 2 设 A m 0 B n 0 抛物线的解析式中 令 0 得 2 0 yaxbxc a y 2 0axbxc OA OB mn OC2 c a 2 c OA OB OC2 解得 1 c a 2 ca c 所以 互为倒数 ac 3 由题意知 则 m n mn 2 1 4yaxx a 4 a 2 1 a AB AB2 48 34 n m 2 48 即 m n 2 4mn 48 2 41 4 48 aa 解得 1 2 a 2c 因此 的值分别为 2 或 2 ac 1 2 1 2 考点考点 二次函数综合题 一元二次方程根与系数的关系 分析分析 1 根据 A B 点的位置即可判断出当抛物线开口向下时 函数图象与 y 轴交于负半轴 当抛物 线开口向上时 函数图象与轴交于正半轴 即 同号 yac 2 当 CO2 OA OB 时 可用表示出 OC 用 表示出 OA OB 代入上式即可求得 是否为cacac 倒数关系 3 沿用 2 的思路 首先将值代入抛物线的解析式中 可依据韦达定理表示出 AB 的长 几b 何 的倒数关系 即可求得 的值 acac 5 5 上海市 上海市 20042004 年年 1212 分 分 数学课上 老师出示图和下面框中条件 用心 爱心 专心11 如图 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 A 点的坐标为 1 0 点 B 在轴上 且在点 A 的右侧 x AB OA 过点 A 和 B 作轴的垂线 分别交二次函数的图象于点 C 和 D 直线 OC 交 BD 于点 M 直x 2 yx 线 CD 交轴于点 H 记点 C D 的横坐标分别为 点 H 的纵坐标为 yxx CD yH 同学发现两个结论 SS CMDABMC 梯形 23 数值相等关系 xxy CDH 1 请你验证结论 和结论 成立 2 请你研究 如果将上述框中的条件 A 点坐标 1 0 改为 A 点坐标为 tt 00 其他条件不变 结论 是否仍成立 请说明理由 3 进一步研究 如果将上述框中的条件 A 点坐标 1 0 改为 A 点坐标为 tt 00 又将条件 改为 其他条件不变 那么和有怎么样的数值关系 yx 2 yaxa 2 0 xx CD yH 写出结果并说明理由 答案答案 解 1 由已知可得点的坐标为 2 0 点 C 的坐标为 1 1 点 D 的坐标为 2 4 B 由点 C 坐标为 1 1 易得直线 OC 的函数解析式为yx 点 M 的坐标为 2 2 3 1 2 CMDABMC SS 梯形 即结论 成立 2 3 CMDABMC SS 梯形 设直线 CD 的函数解析式为ykxb 用心 爱心 专心12 则 得 kb kb 1 24 k b 3 2 直线 CD 的函数解析式为 yx 32 由上述可得 点 H 的坐标为 0 2 yH 2 即结论 成立 2 CD xx CDH xxy 2 结论 仍成立 理由如下 点 A 的坐标为 则点 B 坐标为 从而点 C 坐标为 点 D 坐 tt 00 20t tt 2 标为 设直线 OC 的函数解析式为 则 得 24 2 tt ykx tkt 2 kt 直线 OC 的函数解析式为 ytx 设点 M 的坐标为 2ty 点 M 在直线 OC 上 当时 点 M 的坐标为 xt 2yt 2 2 22 2 tt 222 1 2 2 2 3 22 CMDABMC t SStttt 梯形 结论 仍成立 3 理由如下 xx a y CDH 1 由题意 当二次函数的解析式为 且点 A 坐标为 t 0 时 点 C 坐yaxa 2 0 t 0 标为 点 D 坐标为 设直线 CD 的函数解析式为tat 2 24 2 tat ykxb 则 ktbat ktbat kat bat 2 2 2 24 3 2 得 直线 CD 的函数解析式为 yatxat 32 2 则点 H 的坐标为 02 2 atyat H 2 2 2 2 CD xxt 1 CDH xxy a 考点考点 二次函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 分析分析 1 可先根据 AB OA 得出 B 点的坐标 然后根据抛物线的解析式和 A B 的坐标得出 C D 两点 的坐标 再依据 C 点的坐标求出直线 OC 的解析式 进而可求出 M 点的坐标 然后根据 C D 两点的坐标 求出直线 CD 的解析式进而求出 D 点的坐标 然后可根据这些点的坐标进行求解即可 用心 爱心 专心13 2 3 的解法同 1 完全一样 6 6 上海市 上海市 20052005 年年 1010 分 分 在直角坐标平面中 O 为坐标原点 二次函数 的图象与 x 轴的负半轴相交于点 C 如图 点 C 的坐标 2 yxbxc 为 0 3 且 BO CO 1 求这个二次函数的解析式 2 设这个二次函数的图象的顶点为 M 求 AM 的长 答案答案 解 1 C 0 3 OC 3 3 c 3 又 OC BO BO 3 B 3 0 9 3 3 0 2 bb 这个二次函数的解析式为 2 23yxx 2 M 1 4 2 2 23 14yxxx 又由解得 A 1 0 2 23 0 xx AM 2 2 1 142 5 考点考点 二次函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 勾股定理 分析分析 1 由已知可得 B 3 0 又 C 0 3 代入抛物线解析式可求 c b 2 求抛物线顶点坐标和 A 点坐标 在直角三角形中用勾股定理可求 AM 的长 7 7 上海市 上海市 20062006 年年 1212 分 分 如图 在直角坐标系中 为原点 点在第一象OA 限 它的纵坐标是横坐标的 3 倍 反比例函数的图象经过点 12 y x A 1 求点的坐标 5 分 A 2 如果经过点的一次函数图象与轴的正半轴交于点 且 AyBOBAB 求这个一次函数的解析式 7 分 答案答案 解 1 由题意 设点的坐标为 A 3aa 0a 点在反比例函数的图象上 得 解得 A 12 y x 12 3a a 1 2a 2 2a 经检验 是原方程的根 但不符合题意 舍去 1 2a 2 2a 2 2a 点的坐标为 A 2 6 2 由题意 设点的坐标为 B 0m 用心 爱心 专心14 解得 经检验是原方程的根 0m 2 2 62mm 10 3 m 10 3 m 点的坐标为 B 10 0 3 设一次函数的解析式为 10 3 ykx 一次函数图象过点 得 2 6A 10 62 3 k 4 3 k 所求一次函数的解析式为 410 33 yx 考点考点 反比例函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 分析分析 1 根据点位置及坐标特点 代入反比例函数解析式解方程即可求出的坐标 AA 2 根据题意求 B 点坐标 再求解析式 8 8 上海市 上海市 20072007 年年 1212 分 分 如图 在直角坐标平面内 函数 是常数 的图象经过 m y x 0 x m 其中 过点作轴垂线 垂足为 过点作轴垂线 垂足为 连结 14 A B ab 1a AxCByD ADDCCB 1 若的面积为 4 求点的坐标 ABD B 2 求证 DCAB 3 当时 求直线的函数解析式 ADBC AB 答案答案 解 1 函数 是常数 图象经过 0 m yx x m 1 4 A 4m 设交于点 据题意 可得点的坐标为 点的坐标为 BDAC EB 4 a a D 4 0 a 点的坐标为 E 4 1 a 1a DBa 4 4AE a 由的面积为 4 即 得 点的坐标为 ABD 14 44 2 a a 3a B 4 3 3 2 证明 根据题意 点的坐标为 则 C 1 0 1DE 易得 1a 4 EC a 1BEa 用心 爱心 专心15 1 1 1 BEa a DE 4 4 1 4 AE a a CE a BEAE DECE DCAB 3 当时 有两种情况 DCAB ADBC 当时 四边形是平行四边形 ADBC ADCB 由 2 得 得 1 BEAE a DECE 11a 2a 点的坐标是 2 2 B 设直线的函数解析式为 把点的坐标代入 ABykxb AB 得解得 4 22 kb kb 2 6 k b 直线的函数解析式是 AB26yx 当与所在直线不平行时 四边形是等腰梯形 ADBCADCB 则 点的坐标是 4 1 BDAC 4a B 设直线的函数解析式为 把点的坐标代入 ABykxb AB 得解得 4 14 kb kb 1 5 k b 直线的函数解析式是 AB5yx 综上所述 所求直线的函数解析式是或 AB26yx 5yx 考点考点 曲线上点的坐标与方程的关系 待定系数法 两直线平行的判定 平行四边形的判定和性质 等腰梯形的判定和性质 分析分析 1 由函数 是常数 的图象经过 根据点在曲线上点的坐标满足方 m y x 0 x m 14 A 程的关系 求出函数关系式 从而由的面积为 4 求出点的坐标 ABD B 2 由已知 求出 即可证得 BEAE DECE DCAB 3 分和与所在直线不平行两种情况讨论即可 ADBC ADBC 9 9 上海市 上海市 20082008 年年 1212 分 分 如图 在平面直角坐标系中 为坐标原点 二次函数O 的图像经过点 顶点为 2 3yxbx 10 A B 用心 爱心 专心16 1 求这个二次函数的解析式 并写出顶点的坐标 5 分 B 2 如果点的坐标为 垂足为点 点在直线上 求点的坐C 4 0 AEBC EDAE1DE D 标 7 分 答案答案 解 1 二次函数的图像经过点 2 3yxbx 1 0 A 得 所求二次函数的解析式为013b 2b 2 23yxx 则这个二次函数图像顶点的坐标为 B 1 4 2 过点作轴 垂足为点 BBFx F 在中 RtBCF 4BF 3CF 5BC 4 sin 5 BCF 在中 又 可得 RtACE sin AE ACE AC 5AC 4 55 AE 4AE 过点作轴 垂足为点 由题意知 点在点的右侧 DDHx HHA 易证 ADHACE AHDHAD AECEAC 其中 设点的坐标为 则 3CE 4AE D xy 1AHx DHy 若点在的延长线上 则 得 DAE5AD 15 435 xy 点的坐标为 3x 3y D 3 3 若点在线段上 则 得 DAE3AD 13 435 xy 点的坐标为 7 5 x 9 5 y D 79 55 综上所述 点的坐标为或 D 3 3 79 55 考点考点 曲线上点的坐标与方程的关系 二次函数的顶点坐标 锐角三角函数定义 相似三角形的判定 和性质 分析分析 1 根据点在曲线上 点的坐标满足方程的关系 由二次函数的图像经过点 2 3yxbx 可求得 从而得到二次函数的解析式 把二次函数的解析式化为顶点式 10 A 2b 用心 爱心 专心17 可得这个二次函数图像顶点的坐标为 2 14yx B 1 4 2 过点作轴 垂足为点 过点作轴 垂足为点 分点在BBFx FDDHx HD 的延长线上和点在线段上两种情况分别求出点的坐标为或 AEDAED 3 3 79 55 10 10 上海市 上海市 20102010 年年 1212 分 分 如图 已知平面直角坐标系 xOy 抛物线y x2 bx c过点 A 4 0 B 1 3 1 求该抛物线的表达式 并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标 2 记该抛物线的对称轴为直线 l 设抛物线上的点 P m n 在第四象限 点 P 关于直线 l 的对称点为 E 点 E 关于 y 轴的对称点为 F 若四边形 OAPF 的面积为 20 求 m n 的值 答案答案 解 1 将 A 4 0 B 1 3 两点坐标代入抛物线的方程得 解之得 b 4 c 0 2 2 44b0 13 c bc 抛物线的表达式为 2 4yxx 将抛物线的表达式配方得 2 2 424yxxx 该抛物线的对称轴为 x 2 顶点坐标为 2 4 2 点 p m n 关于直线 x 2 的对称点为点 E 4 m n 点 E 关于 y 轴的对称点为点 F 4 m n 则四边形 OAPF 可以分为 OFA 与 OAP 20 OFAPOFAOPA SSS 1 2 OFA SOA n 1 2 OPA SOA n 4 n 5 n 点 P为第四象限的点 n 0 n 5 代入抛物线方程得 m 5 考点考点 曲线上点的坐标与方程的关系 抛物线的性质 轴对称的性质 分析分析 1 根据点在曲线上 点的坐标满足方程的关系 将点 A B 的坐标代 入函数关系式即可求出 b 4 c 0 得到抛物线的表达式 将表达式化为顶点式 即可得到该抛物线的对称轴和顶点坐标 用心 爱心 专心18 2 根据轴对称的性质可得到点 E 和 F 的坐标 由已知四边形 OAPF 的面积为 20 列式求出 n 代入抛物线方程求得 m 11 11 上海市 上海市 20112011 年年 1212 分 分 已知平面直角坐标系O 如图 1 一次xy 函数的图 像与轴交于点 A 点 M 在正比例函数的图像 3 3 4 yx y 3 2 yx 上 且 MO MA 二次函数 2 b c 的图像经过点 A M yxx 1 求线段 AM 的长 2 求这个二次函数的解析式 3 如果点 B 在轴上 且位于点 A 下方 点 C 在上述二次函数的y 图像上 点 D 在一次函数的图像上 且四边形 ABCD 是菱形 求 3 3 4 yx 点 C 的坐标 答案答案 解 1 在一次函数中 当 0 时 3 A 0 3 3 3 4 yx xy MO MA M 为 OA 垂直平分线上的点 而 OA 垂直平分线的解析式为 3 2 y 又 点 M 在反比例函数 上 M 1 3 2 yx 3 2 又 A 0 3 AM 13 2 2 二次函数 2 b c 的图象经过点 A M 可得yxx 解得 这个二次函数的解析式 2 3 3 1bc 2 00c3 5 b 2 c3 yx 5 2 x 3 点 D 在一次函数 y 的图象上 3 3 4 yx 则可设 D n 设 B 0 m m 3 C n 3 n3 4 2 5 nn 3 2 四边形 ABDC 是菱形 AB 3 m DC DC yy 3 n3 4 2 5 nn 3 2 2 13 nn 4 AD 2 235 n0n33n 44 AB DC 3 m 2 13 nn 4 AB AD 3 m 5 n 4 用心 爱心 专心19 解 得 n 1 0 舍去 n 2 2 将 n 2 代入 C n 点 C 的坐标为 C 2 2 2 5 nn 3 2 考点考点 二次函数综合题 线段垂直平分线的性质 曲线上的点与方程的关系 待定系数法 菱形的性 质 勾股定理 分析分析 1 先求出根据 OA 垂直平分线上的解析式 再根据两点的距离公式求出线段 AM 的长 2 二次函数 2 b c 的图象经过点 A M 由待定系数法即可求出二次函数的解析式 yxx 3 可设 D n C n 且点 C 在二次函数 2 3