高中数学《柱、锥、台和球的体积》文字素材1 新人教B版必修2

用心 爱心 专心1 柱柱 锥锥 台台 球球的的表表面面积积和和体体积积 计计算算问问题题解解题题指指导导 研究柱 锥 台表面积的关键是明确它们的平面展开图的形状 为此应该复习在小 学 初中所学到的有关知识 还要结合在前面的学习中动手折叠几何体的体验 理解 展开是折叠的逆过程 认识了测面展开图的形状 自己就可以得出侧面积公式了 对于面积的计算 有些要用表示数字的字母进行计算 有些可以保留准确值及表示圆 周率的字母 有些实际应用的问题要根据要求的精确度取值 在计算中可以恰当地应 用计算器 但我们要对手算尤其是对含字母式子的变形进行必要的训练 一 侧面积的计算一 侧面积的计算 例l 直平行六面体的底面是菱形 两个对角面面积分别为 求直平行六面 21 Q Q 体的侧面积 解题指导 解决本题首先要正确把握直平行六面体的结构特征 直平行六面体是 侧棱与底面垂直的平行六面体 它的两个对角面是矩形 解 如上图所示 设底面边长为山侧棱长为 两条底面对角线的长分别为 即adc 则 dACcBD 3 2 1 2 1 2 1 2 22 2 1 adc Qld Qlc 由 1 得 由 2 得 代入 3 得 l Q c 1 l Q d 2 2 2 2 2 1 22 a l Q l Q 222 2 2 1 4 alQQ 2 2 2 1 2QQal 2 2 2 1 24QQalS 侧 评述与反思 1 此题需大胆设元 为列方程方便 可以将对角线设出 但设而不解 2 需大胆消元 整体代入 三个方程不能将四个未知数一一解出 也没有必要解出 这里需要将与 的乘积看作一个整体进行计算 al 二二 表表面面积积与与体体积积的的计计算算 例 2 如图 的三边长分别是 以 AB 所在直线为轴 ABC 3 4 5 ACBCAB 将此三角形旋转一周 求所得旋转体的表面积和体积 用心 爱心 专心2 解题指导 一直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几 何体叫做圆锥 但绕它的斜边所在直线旋转就不再是圆锥 这时我们可以自三角形的 直角顶点 C向斜边引垂线 CD 垂足为D 线段CD将这个直角三角形分成两个直角三角形 AD BD分别是两个直角三角形的一条直角边 这样线段 CD旋转一周形成的面将整个旋 转体分成了底面重合的两个圆锥 解 如图所示 所得的旋转体是两个底 面重合的圆锥 高的和为 AB 5 底面半径 故 5 12 AB BCAC DC 5 84 ACBCDCS全 5 48 3 1 3 22 BDCDDACDV 评述与反思 求组合体的面积或体积 首先要弄清它是由哪些基本几何体构成 再 通过轴截面分析和解决问题 若以AC或BC的边为轴旋转一周形戎怎样的几何体 它 们的体积分别走多少 试比较这三个旋转体的体积的大小 三三 求求几几何何体体被被分分割割后后的的体体积积比比 例3 如下图 三棱柱中 若E F分别为 AB AC的中点 平面 111 CBAABC 将三棱柱分成体积为 的两部分 求 FCEB 111 V 2 V 1 V 2 V 解题指导 对应的几何体是一个棱台 一个底面的面积与棱柱 1 V 111 CBAAEF 的底面积相等 另一个底面的面积等于棱柱底面积的 对应的是一个不规则的 4 1 2 V 几何体 显然的体积无法直接表示 可以考虑间接的办法 用三棱柱的体积减去 2 V 来表示 1 V 解 设三棱柱的高为 底面的面积为 S 体积为 则hvshVVV 21 E F分别为 AB AC的中点 SS AEF 4 1 sh S S S ShV 12 7 443 1 1 shVshV 12 5 12 用心 爱心 专心3 故 7 5 1 V 2 V 评述与反思 本题求不规则的几何体的体积时 是通过计算棱柱EBCFBC 11 和棱台的体积的差来求得的 111 CBAABC 111 CBAAEF 四四 相相接接几几何何体体的的体体积积计计算算问问题题 例4 已知等边圆柱 轴截面是正方形的圆柱 的全面积为 S 求其内接正四棱柱的体 积 解题指导 要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考 要求内接正 四棱柱的体积 只需求出 等边圆柱的底面团半径 而根据已知条件可以用 S表示 rr 解 如上图 设等边圆柱的底面半径为 则高 rrh2 22 622SrrrhSS 全侧 6 S r 内接四棱柱的底面边长rra245sin2 S SS rrrhSV 2 3 3 2 9 6 6 4422 底 评述与反思 本题是正四棱柱与圆柱的相接问题 解决这类问题的关键是找到相接几 何体之间的联系 如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等 正四 棱柱的高与圆柱的母线长相等 通过这些关系可以实现已知条件的相互转化 针针对对训训练练 1 1 如图 斜三棱柱的底面为直角三角形 点在 111 ABCABC 90C 2BC 1 B 下底面上的射影 恰为的中点 侧棱与底面成角 侧面与侧面DBC60 11 A ABB 成的二面角为 求此斜三棱柱的侧面积和体积 11 B BCC30 2 2 已知四棱锥 V ABCD 的高为 h 底面为菱形 侧面 VDA 和侧面 VDC 夹角为 120 且 都垂直于底面 另两侧面与底面夹角都是 45 求棱锥的全面积 3 3 一个例圆锥形容器 经过高的截面是等边三角形 向这个容器内注入水 并且放入一 个半径为 R 的球 这时水面恰好与球面相切 问将这个球取出后容器内水面的高度 4 4 如图 在三棱锥中 底面 分别是和ABCP PAABCBCAC DGPA 的中点 为上一点 且 ABEPBPBBE 3 1 21 ABAP 1 求证 平面 EGCDG 2 求截面分棱锥所成两部分的体积之比 CDEABCP 用心 爱心 专心4 5 5 如图 已知棱锥的底面积是 平行于底面的截面面积是ABCV 2 64cm 棱锥顶点在截面和底面上的射影分别是 过的三等分点作平 2 4cmV 1 OOOO1 行于底面的截面 求各截面的面积 参考答案参考答案 1 1 解 又 ACDBABCDB 11 平面BCAC 11BCC BAC面 过作于点 为二面角的平面角 C 1 BBCE ECEA CBBA 1 即 632 30 1 BBACAECESCEA 侧 32 1 DBSV ABC 2 2 解 如下图 面 VDA 底面 ABCD 面 VDC 底面 ABCD 且平面 VDA 平面 VDC VD VD 底面 ABCD VD AD VD CD ADC 是二面角 A VD C 的平面角 ADC 120 又 底面 ABCD 是菱形 DAB 60 连 BD ABD 是等边三角形 取 AB 的中点 H 连 DH VH 则 DH AB 由三垂线定理知 VH AB VHD 是侧面 VAB 与底面所成角的平面角 30 B A D E A1 B 1 C 1 用心 爱心 专心5 VAB VCB S全 2S VAD 2S VAB S ABCD 3 3 由题设可知 圆锥的高为 3R 底面半径为R 设取出球后容器内水面的高度为3 x 则这时水面的半径为x 依题意得 3 3 322 3 4 3 3 3 1 3 3 3 1 RxxRR 解得 x3 15R3 即取出球后容器内水面的高度为 Rx 3 15 R 3 15 4 4 证明 证明 1 平面 且平面 PAABC PAPAB 平面平面 且相交于 PABABCAB 在 中 是边上的中线ABCBCAC CGAB 平面ABCG CGPAB 平面 EGPABCGEG 利用两个平面垂直的性质定理可以证明平面 CGPAB 在 和 中RtPABGEB 设 则 xPA xAB2 xPB3 xBE 3 3 xBG 2 2 6 1 3 2 2 x x PB BG 6 1 2 3 3 x x AB BE PBAGBE PABGEB 90 PAB 90 GEBPBEG PBDG 利用相似三角形的性质 得到 90 GEBDGEG 平面 GCGDG EGCDG 2 APBPDPES PDE sin 2 1 APBPBPAS PAB sin 2 1 用心 爱心 专心6 PAPD 2 1 PBPE 3 2 1 3 sin 2 1 sin 2 1 APBPEPD APBPBPA S S PDE PAB 1 3 3 1 3 1 PDE PAB PDEC PABC SCG SCG V V 三棱锥 三棱锥 1 2 PDEC PDECPABC V VV 三棱锥 三棱锥三棱锥 截面分棱锥为两部分 三棱锥与四棱锥的体积CDEABCP PDEC ABEDC 之比为 1 2 5 5 解 解 设棱锥的高为 其顶点到已知截面之距 的三等分点为 h 11 hVO 1 OO 2 O 3 O 由已知得 64 4 2 2 1 h h 4 1 1 h h hh 4 1 1 hhhVOVOOO 4 3 4 1 11 而 则 OOOOOO 33221 h