【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第01讲 二次函数的图象和性质教案

用心 爱心 专心1 第第 1 1 讲讲 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质 本讲内容包括二次函数的图象和性质 二次函数在给定区间上的最值 二次函数是具有典型意义的初等函数 它的图象是以垂直 0 2 acbxaxy 于轴的直线为对称轴的抛物线 其中 二次项系数决定了抛物线的形状 x a b x 2 a 的符号和 的大小分别确定抛物线的开口方向和开口大小 常数是抛物线在轴aacy 上的截距 抛物线与轴的交点的纵坐标 一次项系数与图象的左右平移有关 yb 二次函数中 当时 若 即 0 2 acbxaxy0 a a b x 2 则函数值随着自变量的增加而减少 若 即 2 a b x yx a b x 2 则函数值随着自变量的增加而增加 当时 若 2 a b xyx0 a a b x 2 即 则函数值随着自变量的增加而增加 若 即 2 a b x yx a b x 2 则函数值随着自变量的增加而减少 当时 二次函数 2 a b xyx a b x 2 取最小值 或最大值 其中 a4 0 a a4 0 a 4 2 acb 为叙述方便 我们用符号表示的函数 表示时 函数的值 xfx afax xf 如 则452 2 xxxf 743532 3 2 f A类例题 例例 1 1 如图 直线是二次函数1 x cbxaxy 2 的图象的对称轴 则 0 2 0 abcD bcC cabB cbaA 11 y x O 用心 爱心 专心2 分析分析 由于所给的条件是二次函数的图象即函数的 形 的特征 欲求的结论是关于系 数的不等式即函数的 数 的性质 因此 解题的关键在于确定结论中系数及其表达式的 几何意义 进而通过图象进行判断 解解 1 1 设 则 由cbxaxxf 2 cbafcbaf 1 1 图象可知 故可以排除A B 由 得0 1 0 1 ff0 a1 2 a b 又 因此 又可以排除D 所以 本题应选 C 02 ab0 c0 abc 解解 2 2 由 得 又 即0 a1 2 a b 02 ab0 1 f 因此 所以 本题应选 C 0 cbab bb babc2 2 3 2 例例 2 2 二次函数的图象的对称轴是直线 试比较qpxxxf 2 5 x 的大小 11 6 3 fff 分析分析 二次函数的图象是开口向上的抛物线 且对称轴为 qpxxxf 2 5 x 若时 函数值随着自变量的增加而减少 若时 函数值随着自变量的5 xyx5 xyx 增加而增加 为便于比较函数值的大小 首先运用图象的对称性将所求的函数值对应的 值移入同一个单调区间 以利于运用函数的增减性质求解 x 解解 由是二次函数的图象的对称轴 得5 xqpxxxf 2 又二次函数中 13 85 85 3 ffff qpxxxf 2 因而当时 函数值随着自变量的增加而增加 所以 01 a5 xyx 3 11 6 fff 评注评注 对于二次函数 若 二次函数图象上的点到对称轴距离cbxaxy 2 0 a 越近 此点对应的函数值越小 在顶点处取得最小值 反之 若 二次函数图象上0 a 的点到对称轴距离越近 此点对应的函数值越大 在顶点处取得最大值 例例 3 3 二次函数的最大值是 14 且 求二次函数 xfy 5 1 2 ff xf 分析分析 二次函数的解析式可以表示为 或 xfcbxaxy 2 其中是函数的图象与轴的交点的横坐标 或 xxay xfx 用心 爱心 专心3 其中直线是抛物线的对称轴 当时 函数取nmxay 2 0 mxmx 最值 求二次函数的解析式只需根据题意选择适当的标准形式 并确定其中的参数 xf 解解 1 1 设二次函数的解析式为 由题意 xfcbxaxy 2 13 4 4 14 4 4 4 5 1 524 2 2 c b a a bac a cbaf cbaf 所以 二次函数的解析式为 xf 1344 2 xxy 解解 2 2 由 得 2 和是二次函数的图象与5 1 2 ff1 5 xfy 轴的交点的横坐标 故可设 于是 x 1 2 5 xxaxf 5 4 9 2 1 525 1 2 22 a xaaaxaxxxaxf 由 所以 4145 4 9 a a 二次函数的解析式为 xf 1344 2 xxy 解解 3 3 由 得二次函数的图象的对称轴为5 1 2 ff xfy 即 故可设 由 解得 2 1 2 x 2 1 x14 2 1 2 xaxf5 1 f4 a 所以 二次函数的解析式为 xf 1344 2 xxy 情景再现情景再现 1 当时 函数有最小值 又 求的值 4 xbaxxxf 2 5 2 fba 2 设 二次函数的图像为下列之一0 b1 22 abxaxy 用心 爱心 专心4 则的值为 a A B C D 11 2 51 2 51 3 若函数满足 则的大小关cbxaxxf 2 1 4 ff 3 2 ff与 系是 不能确定DffCffBffA 3 2 3 2 3 2 B类例题 例例 4 4 若对任何实数抛物线都过一定点 求此定点的坐p142 2 ppxxy 标 分析分析 1 1 先运用特殊化方法求出定点的坐标 再证明抛物线 都过这一定点 142 2 ppxxy 解解 1 1 令 1 120 2 xyp 令 2 521 2 xxyp 由 1 2 解得 33 4 yx 将代入 等式成立 所以 对任何实数33 4 yx142 2 ppxxy 抛物线都过定点 4 33 p142 2 ppxxy 分析分析 2 2 将看作关于的方程 原命题即为当为何142 2 ppxxypyx 值时 方程的解为一切实数 解解 2 2 可化为 142 2 ppxxy12 4 2 xyxp 当且仅当 即时 的解为一切实数 所以对任何 012 04 2 xy x 33 4 y x p 用心 爱心 专心5 实数抛物线恒过定点p142 2 ppxxy 33 4 例例 5 5 如果函数对任意实数t都有 那cbxxxf 2 2 2 tftf 么 4 1 2 fffA 4 2 1 fffB 1 4 2 fffC 1 2 4 fffD 分析分析 等式表明 函数的图象上到直线距离相等 2 2 tftf xfy 2 x 的两点的纵坐标相等 即直线是函数的图象的对称轴 因此 2 x xfy 3 1 ff 解解 由 得函数的对称轴是 2 2 tftf cbxxxf 2 因而有 又当时 函数的值随着增2 x 3 1 ff 2 xcbxxxf 2 x 加而增加 所以 故本题应选 4 1 2 fff A 评注评注 1 若函数对任意实数x都有 xfy xafxaf 则函数的图象关于直线对称 xfy ax 2 本题也可以由得到 2 2 tftf 4 b 由因此 4 4 2 3 1 4 2 cfcfcfcxxxf 4 1 2 fff 例例 6 6 已知函数求24 2 xxy 1 在上的最大值和最小值 11 x 2 在上的最大值和最小值 30 x 分析分析 二次函数在实数范围内或有最大值 或有最小值 但在给定区间上 它的图象 是一段抛物线弧 可以既有最大值 也有最小值 通常运用配方法求解 解解 2 2 24 22 xxxy 1 由 得9 2 112311 2 xxx 当时 函数取最大值 1 x24 2 xxy121 max y 用心 爱心 专心6 当时 函数取最小值 1 x24 2 xxy729 min y 2 由 得4 2 012230 2 xxx 当时 函数取最大值 2 x24 2 xxy220 max y 当时 函数取最小值 0 x24 2 xxy224 min y 评注评注 二次函数在给定区间上的图象是一段抛物线弧 1 所给区间上的11 x 抛物线弧段不含抛物线顶点 保持单调递增 因此它的最值分别在抛物线弧段的两个端点 实现 2 所给区间上的抛物线弧段含抛物线顶点 因此它的最值分别在抛物30 x 线的顶点及抛物线弧段的两个端点之一实现 情景再现情景再现 4 若实数 证明抛物线 10 mmm且 m m x m x m m y 321 2 过两个定点 并求出这两个定点间的距离 5 设二次函数 求 2 1 2 xbaxaxxf 此函数的最值 6 已知二次函数在区间上 的最大值3 12 2 xaxaxf 2 2 3 为 1 求实数的取值范围 a C类例题 例例 7 7 设是方程的两根 求满足 013 2 xx f f 的二次函数 1 1 f xf 分析分析 二次函数的解析式中 共有三个待定系数 题设条件中有三个等式 故本题可运 用列方程组方法求解 解解 1 1 设二次函数 由题意 cbxaxxf 2 3 1 2 1 2 2 cba cba cba 1 2 02 1 22 cba 2 2 Ox y 用心 爱心 专心7 4 3237 1 3 cba 1 2 5 130 1 22 baba 由 3 4 5 解得 4 4 1 cba 因此 所求函数为 44 2 xxxf 解解 2 2 由 可设二次函数 则1 1 f1 1 mxxaxf 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ammaa ammaa ma ma 1 3 1 2 022 1 1 22 ammaa 3 014 ama 1 2 0 1 1 22 maa 4 012 ama 由 3 4 解得 3 1 ma 因此 所求函数为 44 2 xxxf 例例 8 8 已知 求的最小值的0 1 0 2 2 ax a axxxf xf ag 表达式 并求的最大值 ag 分析分析 由于是二次函数在给定区间上的最小值 在求 ag xf 的表达式时 需要注意二次函数所表示的抛物线弧段是否包含顶点 ag xf 表示 其中称为闭区间 1 0 x10 x 1 0 解解 42 2 2 2 22 aaa x a axxxf 若 即时 1 2 0 a 20 a 42 2 1 aa agxf nm 用心 爱心 专心8 若 即时 1 2 a 2 a 2 1 1 1 a fagxf nm 2 2 1 20 42 2 a a a aa ag 当时 得20 a 4 1 1 4 1 42 2 2 a aa ag 当时 4 1 1 1 max gaga2 a0 ag 所以 的最大值为 此时 ag 4 1 1 a 例例 9 9 求的 1 32 2 ttxxxxf 最大值 分析分析 本题是二次函数的最值问题 但所给区间是区间 长度为 1 的 流动区间 因此 原函数 的图象是一段 流 1 32 2 ttxxxxf 动的抛物线弧 当时 抛物线的顶点在弧的中点 2 1 t 此时有 由此得如下解法 1 tftf 解解 由 得原函数图象的对称轴是4 1 32 22 xxxxf 且当时 函数值随着自变量的增加而减少 当时 函数值随1 x1 xyx1 xy 着自变量的增加而增加 x 当时 函数的最大值是 2 1 t 1 32 2 ttxxxxf tf 当时 函数的最大值是 2 1 t 1 32 2 ttxxxxf 1 tf 所以 函数的最大值是 1 32 2 ttxxxxf DC B A 11 y x O 用心 爱心 专心9 2 1 4 2 1 32 2 2 tt ttt tM 情景再现情景再现 7 若抛物线上有两点 qpxxy 2 baybByaA 21 0 0 21 yy 1 求证抛物线与轴有两个交点 且满足 x 0 0 21 xDxC 21 xbax 2 若 且均为整数 求此抛物线的函数表达式 2005 1 1 ya 21 x x 8 若为正数 函数在区间上的最a 22 2 1 3 xxaaxf 4 2 大值为 试求的解析式及的最小值 aM aM aM 习题习题 1 1 1 二次函数与正比例函数图象的位置关系是 2 kxy 0 kkxy A 相离 B 相切 C 相交 D 不能确定 与 k 的值有关 2 2 抛物线 抛物线的顶点为的顶点为且与且与轴的两个交点的横坐标为轴的两个交点的横坐标为cbxaxy 2 11 4 x 一正一负 则一正一负 则中为正数的中为正数的 cba aA只有bB只有cC只有baD 有 3 在下列各图中 与的图象只可能是 bxaxy 2 0 abbaxy 用心 爱心 专心10 O x y O x y O x y y x O A B C D 4 当时 二次函数有最大值 25 函数图象与轴的两个交点的 2 1 x xfy x 横坐标的平方和等于 13 求二次函数的解析式 xf 5 设抛物线过点和cbxaxy 2 2 1 A 1 2 B 1 用表示 acb 2 对任意非零实数 抛物线都不过点 求的值 a 1 2 mmPm 6 某工厂科研组对一项生产工艺流程总结出产量指标函数和消耗指示函数分别为 和 且知cxaxxf 2 1 2 1 4 5 2 2 bxaxxf 2 3 3 1 1 2121 ffff 1 分别求出的解析式 21 xfxf 2 问因素取何值时 函数分别取最大值或最小值 最值各是多x 21 xfxf 少 7 当时 二次函数有最小值 2 最大值 3 求实数的ax 032 2 xxya 取值范围 8 求函数在 1 8 上的最值 86 2 xxy 9 已知的最小值 求实数的取值范围 1 1 22 axaxy 5 min ya 10 已知 若表示函数在上的最小值 82 2 xxxf t xf 1 tt 求在闭区间上的最大值 t 5 5 用心 爱心 专心11 答案答案 情景再现情景再现 1 17 8 522 4 2 2 b a ba a 2 对称轴为若 由 得对称轴位于轴的左边 舍去 B 2a b x 0 a0 by 若 则仅有第 3 图适合 由图象过原点 得 又 得0 a01 2 a0 a 应选 1 aB 3 由 得原二次函数的图象关于对称 所以 B 1 4 ff 2 5 x 应选 3 2 ff B 4 可化简为 m m x m x m m y 321 2 32 1 22 xxxym 由 解得或 即抛物线恒过两定点 032 01 2 2 xx xy 0 1 y x 8 3 y x 和 它们的距离为 0 1 8 3 548 31 22 5 因为 所以 当 4 2 1 2 22 a bxabaxaxxf 2 1 x 时 0 abafxf 2 2 最大值 bfxf 1 最小值 当时 0 abfxf 1 最大值 bafxf 2 2 最小值 6 3 4 12 2 12 3 12 2 22 a a a a xaxaxaxf 用心 爱心 专心12 1 当时 由 0 a0 2 12 a a 2 2 3 x 若即时 0 12 2 12 2 3 a a 1 a 2 223 13 4 12 2 12 2 a a a a a fxf最大值 若即时 0 2 2 3 2 12 a a 01 a 舍去 1 3 10 1 2 3 afxf最大值 2 当时 抛物线的开口向上 0 a 因为 所以此区间的中点的横坐标为 2 2 3 x 4 1 若即时 0 1 4 1 2 12 a a 5 2 a 解得 舍去 1 2 3 fxf最大值0 3 10 a 若即 0 2 4 1 2 12 a a 4 1 a 解得 1 2 fxf最大值 4 3 a 综上 所求的实数的值为或 a 4 3 2 223 注 注 上述解法条理清晰 本题也可以利用 二次函数在闭区间上的最值 只可能 在二次函数图象的顶点或此闭区间的端点处达到 这一性质 通过计算和检验求解 7 由题意 设 21 2 xxxxqpxxy 1 由在抛物线上 得 BA 21211 0 xaxxaxay 21212 0 xbxxbxby 因此 有 21 xbax 用心 爱心 专心13 2 将代入抛物线方程 得2005 1 1 ya 40152005 1 1 21 xx 因为均为整数 于是 21 x x 2006 402 6 2 0 4 400 2004 2005 401 5 11 1 5 401 20051 2 1 2 1 x x x x 所以 本题有四解 所求的二次函数的解析式为 2006 1608398 2400394 40082002 22 22 xxyxxy xxyxxy 8 2 2 222 2 3 3 2 1 2 1 3 a a axxxaaxf 由 0 4 2 ax 当 即时 432 a50 a 2 6 1 3 2 3 2 2 2 a a a xfaM 最大值 当即时 5 a23 a 9 1 2 2 afxfaM 最大值 所以 5 9 1 50 2 6 1 3 2 2 aa a a aM 因为 时 时 所以 50 a5 3 aaM 27 aM 的最小值为 3 aM 习题习题 1 1 1 由抛物线的顶点在轴的负半轴上 两图象的位置关系为相交 应选 CyC 用心 爱心 专心14 2 由抛物线的顶点在第四象限 且与轴相交 因此 且即Ax0 a0 2 a b 又抛物线与轴的两个交点的横坐标异号 得 故应选 0 bx0 cA 3 由 可排除 由二次函数解析式中常数项为 0 可排除 应选 C0 aDA BC 4 设二次函数为 0 25 2 1 2 axaxf 0 4 100 0 2 a axaxxf 由题意 13 4 100 21132 13 21 2 21 2 2 2 1 a a xxxxxx 解得 所求二次函数为 4 a2444 2 xxxf 5 1 由题意 解得 124 2 cba cba ac ab 21 1 2 将代入原axaaxy21 1 2 1 2 mm 式 得 121 1 22 mamaam mmamm 22 2 由题意 关于的方程无非零实数解 a 由 0 0 02 2 0 02 2 2 2 2 m mm mm m mm mm 所求的值为或 0 m2 m 6 1 4 5 2 1 4 1 4 11 2 1 4 1 2 2 2 1 xxxfxxxf 2 当时 1 x 最大值 3 1 xf 当时 1 x 1 2 最大值 xf 用心 爱心 专心15 7 2 1 32 22 xxxy 由及 得 2 最小值 yax 01 a 由得或 又 3 最大值 y0 x2 xax 02 a 综上 所求的取值范围是 a21 a 8 42 86 8421 86 86 2 2 2 xxx xxxx xxy 或 1 当或