运筹学lingo应用说明书

1 研究报告研究报告 课程设计题目 一 企业季度生产计划问题课程设计题目 一 企业季度生产计划问题 摘要 摘要 通过研究企业季度生产计划问题 合理安排生产计划 使得本季度利润 达到最大化 1 问题的提出问题的提出 企业季度生产计划问题的提出主要是为主要综合考虑企业的生产配置问题 从而使企业获得利润最大化 企业季度生产计划问题 某企业生产甲 乙两种产品 第二季度的最大需求量及单位产品利润和每 月的库存成本如表 4 所示 表 4 产品需求量 利润及库存成本 产 品 需求量 4 月5 月 6 月 利润 未计库 存成本 元 单位产品 每月库存 成本 元 单位产 品 甲5004806005 00 2 乙2803504005 50 3 生产这两种产品都必须经由两道工序 分别使用 A B 两类机器 A 类机 器有 4 台 B 类机器有 5 台 假定 4 月和 5 月 A 类机器各有一台检修 6 月份 A 类机器有两台检修 每个月各有一台 B 类机器检修 A 类机器检修需 30 工 时 B 类机器检修需 25 工时 生产单位甲产品需机器 A 为 0 9 工时 机器 B 为 1 2 工时 生产单位乙产品需机器 A 为 0 5 工时 机器 B 为 0 75 工时 不考 虑上述检修计划 每个月各类机器所能提供的总工时数均为 700 工时 该企业仓库容量为 100m2 存贮每单位甲产品需占面积 0 8 m2 每单位乙 产品需占面积 1 1 m2 该季度开始时无库存量 计划在本季度末也无库存 该 厂应如何安排生产计划 才能使本季度获利最大 2 问题的分析 问题的分析 要使本季度利润最大 必须使得收入与成本之差获得最大 而约束条件包括 工时约束 库存量约束和需求量约束 3 基本假设与符号说明 基本假设与符号说明 3 1 基本假设基本假设 机器检修假设 假定 4 月和 5 月 A 类机器各有一台检修 6 月份 A 类机器 有两台检修 每个月各有一台 B 类机器检修 库存量假设 该季度开始时无库存量 计划在本季度末也无库存 2 3 2 符号说明符号说明 CP 1 2 表示有两种产品 JD 1 3 表示有三个月份 CJ CP JD 表示产品与月份形成的矩阵 XS i j 表示第 i 种产品第 j 个月份的销售量 XQ i j 表示第 i 种产品第 j 个月份的需求量 Xij 表示第 i 种产品第 j 个月份的生产量 4 模型的建立与求解结果模型的建立与求解结果 4 14 1 模型的建立模型的建立 工时约束 0 9 X11 0 5 X21 670 0 9 X12 0 5 X22 670 0 9 X13 0 5 X23 640 1 2 X11 0 75 X21 675 1 2 X12 0 75 X22 675 1 2 X13 0 75 X23 XS 1 1 X11 X12 XS 1 1 XS 1 2 X11 X12 X13 XS 1 1 XS 1 2 XS 1 3 X21 XS 2 1 X21 X22 XS 2 1 XS 2 2 X21 X22 X23 XS 2 1 XS 2 2 XS 2 3 XS i j XQ i j i 1 2 j 1 2 3 库存量约束 X11 XS 1 1 0 8 X21 XS 2 1 1 1 100 X11 X12 XS 1 1 XS 1 2 0 8 X21 X22 XS 2 1 XS 2 2 1 1 0 X12 0 X13 0 X21 0 3 X22 0 X23 0 且均为整数 目标函数 max XS 1 1 XS 1 2 XS 1 3 5 XS 2 1 XS 2 2 XS 2 3 5 5 X11 XS 1 1 0 2 X11 XS 1 1 X12 XS 1 2 0 2 X21 XS 2 1 0 3 X21 XS 2 1 X22 XS 2 2 0 3 4 24 2 求解结果求解结果 由上面求解结果可知最优解为生产量为 X11 387 X12 343 X13 313 X21 280 X22 351 X23 399 而销售量为 XS 1 1 387 XS 1 2 343 XS 1 3 313 XS 2 1 280 XS 2 2 350 XS 2 3 400 而需求量为 XQ 1 1 500 XQ 1 2 480 XQ 1 3 600 XQ 2 1 280 XQ 2 2 350 XQ 2 3 400 max z 10879 70元 5 结果分析 结果分析 5 15 1求解结果分析求解结果分析 根据求解结果知 此结果是经过551次迭代求的的全局最优解 Objective value 10879 70 表示最优目标值为10879 70 value 给出最优解中各变量 的值 其中Xij代表第i种产品第j个月份的生产量 XS i j 代表第i种产品第j 个月份的销售量 i 1代表甲产品 i 2代表乙产品 j 1 2 3分别代表第4 5 6 个月份 其结果为 Xij XS i j 399351280 313343387 400350280 313343387 Reduce cost 列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数 表示当变 量有微小变动时 目标函数的变化率 其中XS i j 的reduced cost值均为0 表示XS i j 均为基变量 而Xij的reduced cost值不为0 则说明为非基变量 对于非基变量 Xij 相应的 reduced cost值表示当某个变量Xij 增加一个单位 时目标函数减少的量 本模型中 变量X11对应的reduced cost值为 5 表示当 非基变量x11的值从0变为 1时 此时假定其他非基变量保持不变 但为了满足约 束条件 基变量显然会发生变化 最优的目标函数值 10879 70 5 10884 70 与此类似 其他Xij也做类似说明 Dual price 表示当对应约束有微小变化时 目标函数的变化率 输出结果 中对应于每一个约束有一个对偶价格 若其数值为p 表示对应约束中右端项若 增加1个单位 目标函数将增加p个单位 显然 如果在最优解处约束正好取等 号 也就是紧约束 对偶价格值才可能不是0 本模型中 7 10 12 20行是紧 约束 以第7行为例进行分析 其对偶价格为 0 2 表示当紧约束X11 XS 1 1 4 变为X11 XS 1 1 1时 目标函数值 10879 70 0 2 10879 50 对于非紧约束 如本例中第1 6 11 13 19 21 27行是非紧约束 DUAL PRICE 的值为0 表 示对应约束中不等式右端项的微小变动不影响目标函数 5 25 2 灵敏度的结果分析 灵敏度的结果分析 Ranges in which the basis is unchanged Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X11 0 4000000 3 800000 0 4800000 X21 0 6000000 0 3000000 2 375000 X12 0 2000000 0 4800000 0 4800000 X22 0 3000000 0 3000000 0 3000000 X13 0 0 0 4800000 5 000000 X23 0 0 INFINITY 0 3000000 XS 1 1 5 400000 3 800000 0 2000000 XS 1 2 5 200000 0 2000000 0 2000000 XS 1 3 5 000000 0 2000000 5 000000 XS 2 1 6 100000 INFINITY 2 375000 XS 2 2 5 800000 INFINITY 2 375000 XS 2 3 5 500000 INFINITY 2 375000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 670 0000 INFINITY 185 6250 3 640 0000 INFINITY 158 7500 4 675 0000 135 0000 465 0000 5 675 0000 163 5000 412 5000 6 675 0000 211 6667 375 0000 7 0 0 125 0000 112 5000 8 0 0 125 0000 136 2500 9 0 0 0 0 0 0 10 0 0 90 90909 180 0000 11 0 0 90 90909 218 0000 12 0 0 0 0 0 0 13 100 0000 INFINITY 100 0000 14 100 0000 INFINITY 100 0000 15 0 0 0 0 0 0 16 500 0000 INFINITY 112 5000 17 480 0000 INFINITY 136 2500 18 600 0000 INFINITY 287 5000 19 280 0000 620 0000 180 0000 5 20 350 0000 550 0000 218 0000 21 400 0000 500 0000 400 0000 22 0 0 387 5000 INFINITY 23 0 0 343 7500 INFINITY 24 0 0 312 5000 INFINITY 25 0 0 280 0000 INFINITY 26 0 0 350 0000 INFINITY 27 0 0 400 0000 INFINITY 1 670 0000 INFINITY 181 2500 目标函数中X11变量原来的系数为 0 4 允许增加 Allowable Increase 3 8 允许减少 Allowable Decrease 0 48 说明当它在 0 4 0 48 0 4 3 8 0 88 3 4 范围变化时 最优基保持不变 对Xij XS i j 变量 可以类似解释 由于此时约束没有变化 只是目标函数中某个系数发生变化 所以最优基保持不变的意思也就是最优解不变 当然 由于目标函数中系数发 生了变化 所以最优值会变化 第1行约束中右端项 Right Hand Side 简写为RHS 原来为670 当它在 670 181 25 670 488 75 范围变化时 最优基保持不变 第2 27 行可以类似解释 不过由于此时约束发生变化 最优基即使不变 最优解 最 优值也会发生变化 6 6 模型评价 模型评价 由于企业生产能力的限制 生产量并不能满足需求量 因此不能建立关系 每月份所生产的产品量大于需求量 需要引入销售量这个变量 从而进行均衡 达到模型建立的目标 利润最大化 在进行灵敏度分析的时候 由于有整数约束 lingo软件不进行分析 所 以我们把整数约束去掉 然后进行灵敏度分析 可能结果会有误差 课程设计题目 二 生产任务分配问题课程设计题目 二 生产任务分配问题 6 摘要 摘要 应用 lingo 软件求解生产任务分配问题 求得最优解和最优值 并对其 进行灵敏度分析 1 1 问题的提出问题的提出 由于要考虑总成本中获益最多 需要综合考虑各企业的生产问题及向各订 货企业的配送问题 使其能够获得综合效益最大化 某构件公司有四个构件厂 现接受五个企业预应力梁和预制桩的订货 订 货量分别为 2460 件和 3580 件 单价分别是 0 9 万元和 1 1 万元 各构件厂生 产能力 单位成本 材料单耗等资料见表 12 各公司拥有的材料见表 13 订货 企业与各构件厂的距离见表 14 预应力梁单件重 5 吨 预制桩单件重 3 吨 每 吨公里运费 1 元 按公司利润最大建立并求解模型 表 12 各构件厂生产能力 单位成本 材料单耗资料 生产能力 件 单位成本 元 材料单耗 水泥钢材 项 目 企 业 预应 力梁 h 预制 桩 f 预应 力梁 m 预制 桩 n 预应 力梁 p 预制 桩 q 预应力 梁 v 预制桩 w 11000100058008200400020001000600 280070060008300405020501050510 350080061008350405020601030510 445012005950840040001990990515 合 计 27503700 表 13 各构件厂拥有的材料数量 企业 材料 1234 合计 水泥 s 1000050006000400025000 钢材 t 2500 1200160012006500 表 14 构件厂厂与订货企业之间的距离 公里 订货企 业 构件厂 12345 1151219259 21218151817 31710141115 4169181320 预制桩订货 量 b 8005007803001200 预制梁订货 量 a 500620500480360 7 2 2 问题的分析问题的分析 要使获得综合效益最大化 就得考虑销售收入 生产成本 运输成本 三者 综合考虑或得最大值 3 3 基本假设与符号说明 基本假设与符号说明 3 13 1 基本假设基本假设 假设销售量与预定量正好相等 3 23 2 符号说明符号说明 GJ 1 4 表示四个构件厂 DH 1 5 表示五个订货企业 GD GJ DH 构件厂与订货企业形成的矩阵 h 表示第 i 个构件厂预应力梁的生产能力 f 表示第 i 个构件厂预制桩的 生产能力 m 表示第 i 个构件厂预应力梁的生产成本 n 表示第 i 个构件厂预制桩的 生产成本 p 表示第 i 个构件厂预应力梁的所需的水泥量 q 表示第 i 个构件厂预制 桩的所需的水泥量 v 表示第 i 个构件厂预应力梁的所需的钢筋量 w 表示第 i 个构件厂预制 桩的所需的钢筋量 s 表示第 i 个构件厂所拥有的水泥量 t 表示第 i 个构件厂所拥有的钢材 量 a 表示第 j 个订货企业预应力梁的订货量 b 表示第 j 个订货企业预制桩 的订货量 jl i j 表示第 i 个构件厂到第 j 个订货企业的距离 x i 表示第 i 个构件厂生产预应力梁的数量 y i 表示第 i 个构件厂生 产预制桩的数量 XX i j 表示第 i 个构件厂给第 j 个订货企业预应力梁的销售量 XY i j 表示第 i 个构件厂给第 j 个订货企业预制桩的销售量 4 4 模型的建立与求解结果 模型的建立与求解结果 4 14 1 模型的建立模型的建立 s t 生产能力约束 2750 4 1 x i i 8 3700 4 1i iy x i h i i 1 2 3 4 y i f i i 1 2 3 4 材料约束 x i p i y i q i s i i 1 2 3 4 x i v i y i w i i 1 2 3 4 5 1 Xx j ji y i i 1 2 3 4 5 1 j jiXy a j j 1 2 3 4 5 4 1 i jiXx b j j 1 2 3 4 5 4 1 i jiXy Obj Maxz 9000 11000 5 4 1 5 1 Xx ij ji 4 1 5 1 ij jiXy 4 1 5 1 Xx ij jijlji 3 4 1 5 1 Xy ij jijlji X 4 1 5 1 imjix ij X 4 1 5 1 injiy ij 4 24 2 求解结果求解结果 得到最优解为 生产量为 x 1 1000 x 2 800 x 3 500 x 4 450 y 1 1000 y 2 700 y 3 800 y 4 1105 528 销售量为 Xx i j 027001800 0210000 005000300 36000440200 9 Xy i j 0300180500100 200060000 0000700 10000000 Max z 16923080元 5 5 结果分析结果分析 5 15 1求解结果分析求解结果分析 根据求解结果知 此结果是经过 24 次迭代求的的全局最优解 Objective value 0 1692308E 08 表示最优目标值为 16923080 value 给出最优解中 各变量的值 其中 x i 表示第 i 个构件厂生产预制梁的数量 y i 表示第 i 个构件厂生产预制桩的数量 XX i j 表示第 i 个构件厂给第 j 个订货企业 预制梁的销售量 XY i j 表示第 i 个构件厂给第 j 个订货企业预制桩的销售 量 其结果为 X i 1000 800 500 450 Y i 1000 700 800 1105 528 Xx i j Xy i j 027001800 0210000 005000300 36000440200 0300180500100 200060000 0000700 10000000 Reduce cost 列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数 表示当变 量有微小变动时 目标函数的变化率 其中 Xi Yi XX 1 1 XX 1 2 XX 1 5 XX 2 1 XX 2 3 XX 3 4 XX 4 2 XX 4 4 XY 1 5 XY 2 1 XY 3 3 XY 3 5 XY 4 1 XY 4 2 XY 4 3 XY 4 4 的 reduced cost 值均为 0 表示它们均 为基变量 而 XX 1 3 XX 1 4 XX 2 2 XX 2 4 XX 2 5 XX 3 1 XX 3 2 XX 3 3 XX 3 5 XX 4 1 XX 4 3 XX 4 5 XY 1 1 XY 1 2 XY 1 3 XY 1 4 XY 2 2 XY 2 3 XY 2 4 XY 2 5 XY 3 1 XY 3 2 XY 3 4 XY 4 5 的 reduced cost 值不为 0 则说明为非基变量 对于非基变量 相应 的 reduced cost 值表示当某个变量增加一个单位时目标函数减少的量 本模 型中 变量 XX 1 3 对应的 reduced cost 值为 5 表示当非基变量 XX 1 3 的 值从 0 变为 1 时 此时假定其他非基变量保持不变 但为了满足约束条件 基 10 变量显然会发生变化 最优的目标函数值 16923080 5 16923075 与此 类似 其他非基变量也做类似说明 Dual price 表示当对应约束有微小变化时 目标函数的变化率 输出结果 中对应于每一个约束有一个对偶价格 若其数值为 p 表示对应约束中右端项若 增加 1 个单位 目标函数将增加 p 个单位 显然 如果在最优解处约束正好取 等号 也就是紧约束 对偶价格值才可能不是 0 本模型中 3 4 6 9 19 20 22 25 27 40 行是紧约束 以第 3 行为例进行分析 其对偶价格为 275 表示当紧约束 X 3 2750 变为 X 3 W 乙 W 丙 所以最有价值球员为甲 18 参考文献参考文献 1 谢金星 薛毅 优化建模 LINDO LINGO 软件 北京 清华大学出版社 2005 2 董肇君等 系统工程与运筹学 北京 国防工业出版社 2007 3 江道琪等 实用线性规划方法及其支持系统 北京 清华大学出版社 2006 4 钱颂迪等 运筹学 北京 清华大学出版社 2005 5 熊伟等 运筹学 北京 机械工业出版社 2009 19 工作报告工作报告 1 1 本组成员任务分配问题 本组成员任务分配问题 企业季度生产计划问题 景洁丽 李永娟共同完成 生产任务分配问题 全组人员协同合作 MVP 评价 任振远和陈昱协作完成 2 2 心得体会 心得体会 课程设计是培养学生综合运用所学知识 发现 提出 分析和解决实际问题 锻炼实践能力的重要环节 是对学生实际工作能力的具体训练和考察过程 回顾 起此次运筹课程设计 至今我们仍感慨颇多 的确 从选题到定稿 从理论到 实践 在整整两星期的日子里 可以说得是苦多于甜 但是可以学到很多很多 的东西 同时不仅可以巩固了以前所学过的知识 而且学到了很多在书本上所 没有学到过的知识 通过这次课程设计使我们懂得了理论与实际相结合是很重 要的 只有理论知识是远远不够的 只有把所学的理论知识与实践相结合起来 从理论中得出结论 才能真正为社会服务 从而提高自己的实际动手能力和独 立思考的能力 在设计的过程中遇到问题 可以说得是困难重重 这毕竟第一 次做的运筹课程设计 难免会遇到过各种各样的问题 同时在设计的过程中发 现了自己的不足之处 对以前所学过的知识理解得不够深刻 掌握得不够牢固 通过这次课程设计之后 一定把以前所学过的知识重新温故 同时我们小组每 个人都齐心协力 团队合作精神强才顺利的完成了这次课程设计 这次课程设计终于顺利完成了 在设计中遇到了很多编程问题 最后在焦 老师的辛勤指导下和我们小组的共同努力下 终于游刃而解 同时 在焦老师 的身上我学得到很多实用的知识 在此我们表示感谢 20 附件一 企业季度生产计划问题附件一 企业季度生产计划问题 lingolingo 程序及结果程序及结果 一 一 lingolingo 程序程序 model 企业季度生产问题模型 SETS CP 1 2 JD 1 3 CJ CP JD XS XQ ENDSETS DATA XQ 500 480 600 280 350 400 ENDDATA 0 9 X11 0 5 X21 670 0 9 X12 0 5 X22 670 0 9 X13 0 5 X23 640 1 2 X11 0 75 X21 675 1 2 X12 0 75 X22 675 1 2 X13 0 75 X23 XS 1 1 X11 X12 XS 1 1 XS 1 2 X11 X12 X13 XS 1 1 XS 1 2 XS 1 3 X21 XS 2 1 X21 X22 XS 2 1 XS 2 2 X21 X22 X23 XS 2 1 XS 2 2 XS 2 3 X11 XS 1 1 0 8 X21 XS 2 1 1 1 100 X11 X12 XS 1 1 XS 1 2 0 8 X21 X22 XS 2 1 XS 2 2 1 1 100 X11 X12 X13 X21 X22 X23 XS 1 1 XS 1 2 XS 1 3 XS 2 1 XS 2 2 21 XS 2 3 0 FOR CP i for JD j XS i j 0 X12 0 X13 0 X21 0 X22 0 X23 0 gin X11 gin X12 gin X13 gin X21 gin X22 gin X23 obj max XS 1 1 XS 1 2 XS 1 3 5 XS 2 1 XS 2 2 XS 2 3 5 5 X11 XS 1 1 0 2 X11 XS 1 1 X12 XS 1 2 0 2 X21 XS 2 1 0 3 X21 XS 2 1 X22 XS 2 2 0 3 End 二 结果二 结果 Global optimal solution found Objective value 10879 70 Extended solver steps 125 Total solver iterations 551 Variable Value Reduced Cost X11 387 0000 5 000000 X21 280 0000 5 500000 X12 343 0000 5 000000 X22 351 0000 5 200000 X13 313 0000 5 000000 X23 399 0000 5 500000 XS 1 1 387 0000 0 000000 XS 1 2 343 0000 0 000000 22 XS 1 3 313 0000 0 000000 XS 2 1 280 0000 0 000000 XS 2 2 350 0000 0 000000 XS 2 3 400 0000 0 000000 XQ 1 1 500 0000 0 000000 XQ 1 2 480 0000 0 000000 XQ 1 3 600 0000 0 000000 XQ 2 1 280 0000 0 000000 XQ 2 2 350 0000 0 000000 XQ 2 3 400 0000 0 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 181 7000 0 000000 2 185 8000 0 000000 3 158 8000 0 000000 4 0 6000000 0 000000 5 0 1500000 0 000000 6 0 1500000 0 000000 7 0 000000 0 2000000 8 0 000000 0 2000000 9 0 000000 5 000000 10 0 000000 0 6000000 11 1 000000 0 000000 12 0 000000 5 500000 13 100 0000 0 000000 14 98 90000 0 000000 15 0 000000 0 000000 16 113 0000 0 000000 17 137 0000 0 000000 18 287 0000 0 000000 19 0 000000 0 000000 20 0 000000 0 3000000 21 0 000000 0 000000 22 387 0000 0 000000 23 23 343 0000 0 000000 24 313 0000 0 000000 25 280 0000 0 000000 26 351 0000 0 000000 27 399 0000 0 000000 OBJ 10879 70 1 000000 附件二 生产任务分配问题附件二 生产任务分配问题 lingolingo 程序及结果程序及结果 一 一 lingolingo 程序程序 MODEL 生产任务分配问题 SETS GJ 1 4 s t h f m n p q v w x y 四个构件厂 DH 1 5 a b 五个订货企业 GD GJ DH Xx Xy jl ENDSETS DATA s 10000000 5000000 6000000 4000000 t 2500000 1200000 1600000 1200000 p 4000 4050 4050 4000 q 2000 2050 2060 1990 v 1000 1050 1030 990 w 600 510 510 515 h 1000 800 500 450 f 1000 700 800 1200 a 500 620 500 480 360 b 800 500 780 300 1200 jl 15 12 19 25 9 12 18 15 18 17 17 10 14 11 15 16 9 18 13 20 m 5800 6000 6100 5950 n 8200 8300 8350 8400 enddata sum GJ i x i 2750 24 sum GJ i y i 3700 for GJ i x i h i for GJ i y i f i for GJ i x i p i y i q i s i for GJ i x i v i y i w i sum DH j Xx i j for GJ i y i sum DH j Xy i j for DH j sum GJ i Xx i j a j for DH j sum GJ i Xy i j b j yfx sum GJ i sum DH j Xx i j jl i j 5 yfy sum GJ i sum DH j Xy i j jl i j 3 cbx sum GJ i sum DH j Xx i j m i cby sum GJ i sum DH j Xy i j n i obj max sum GJ i sum DH j Xx i j 9000 sum GJ i sum DH j X y i j 11000 yfx yfy cbx cby end 二 结果二 结果 Global optimal solution found Objective value 0 1692308E 08 Total solver iterations 24 Variable Value Reduced Cost YFX 150300 0 0 000000 YFY 126120 0 0 000000 CBX 0 1455850E 08 0 000000 25 CBY 0 2976200E 08 0 000000 S 1 0 1000000E 08 0 000000 S 2 5000000 0 000000 S 3 6000000 0 000000 S 4 4000000 0 000000 T 1 2500000 0 000000 T 2 1200000 0 000000 T 3 1600000 0 000000 T 4 1200000 0 000000 H 1 1000 000 0 000000 H 2 800 0000 0 000000 H 3 500 0000 0 000000 H 4 450 0000 0 000000 F 1 1000 000 0 000000 F 2 700 0000 0 000000 F 3 800 0000 0 000000 F 4 1200 000 0 000000 M 1 5800 000 0 000000 M 2 6000 000 0 000000 M 3 6100 000 0 000000 M 4 5950 000 0 000000 N 1 8200 000 0 000000 N 2 8300 000 0 000000 N 3 8350 000 0 000000 N 4 8400 000 0 000000 P 1 4000 000 0 000000 P 2 4050 000 0 000000 P 3 4050 000 0 000000 P 4 4000 000 0 000000 Q 1 2000 000 0 000000 Q 2 2050 000 0 000000 Q 3 2060 000 0 000000 Q 4 1990 000 0 000000 V 1 1000 000 0 000000 26 V 2 1050 000 0 000000 V 3 1030 000 0 000000 V 4 990 0000 0 000000 W 1 600 0000 0 000000 W 2 510 0000 0 000000 W 3 510 0000 0 000000 W 4 515 0000 0 000000 X 1 1000 000 0 000000 X 2 800 0000 0 000000 X 3 500 0000 0 000000 X 4 450 0000 0 000000 Y 1 1000 000 0 000000 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